Interferencia és dekoherencia nanoszerkezetekben

Interferencia-kísérletek hat nagyságrenddel kisebb skálán

A fizikában régóta ismertek az interferencia-kísérletek, melyeknek egy emblematikus példája az 1. ábrán szemléltetett kétrés kísérlet. Ha fény két közeli résen halad keresztül, a rések mögé helyezett ernyőn interferencia-képet látunk, azaz az ernyőn látható intenzitásprofil nem egyezik meg az egyik illetve a másik rés kitakarásakor kapott intenzitások összegével, hanem azon tartományokban, ahova a két résen keresztül azonos fázissal érkezik a hullám erősítést, ahol pedig ellentétes (180 fokkal eltolt) fázissal, ott kioltást tapasztalunk. Természetesen ugyanez a jelenség a legkülönbözőbb közegekben megfigyelhető a vízhullámoktól a hanghullámokig.

1. ábra. Kétrés kísérlet fénnyel

A modern fizika fejlődésével az interferencia-kísérletek újabb értelmezést kaptak, hiszen jól demonstrálták a részecske hullám dualitást. Ha az 1. ábrán szemléltetett kísérletben nagyon kis fényintenzitást, és nagyon érzékeny ernyőt használunk, akkor először véletlenszerű felvillanásokat látunk az ernyő különböző pontjain, mely a fény részecske-természetét támasztja alá. Ha viszont sokat várunk, akkor a véletlenszerű felvillanásokból kirajzolódik a jól ismert interferencia-kép (lásd 2. ábra).

2. ábra. Interferencia-kép kialakulása egyedi fotonbecsapódásokból

További érdekesség, hogy ha a két rés mellé detektorokat helyezünk, és próbáljuk megállapítani, hogy a fényt alkotó fotonok éppen melyik résen haladnak keresztül, akkor azt tapasztaljuk, hogy minél pontosabban detektáljuk a résen áthaladó fotonokat, annál inkább elvész az interferenciakép. Azaz akár egyetlen foton is képes mindkét résen áthaladva önmagával interferálni, viszont ha megmérjük, hogy merre ment a foton, akkor az interferencia megszűnik.

Az elmúlt évtizedekben a nanofizika fejlődésének köszönhetően a kétrés kísérlethez hasonlóan izgalmas interferencia-kísérleteket mintegy 6 nagyságrenddel kisebb méretskálájú nanoáramkörökben is sikerült megvalósítani, ebbe a témakörbe nyújtunk betekintést a következőkben.

Fáziskoherencia-hossz

A nanovezetékek tárgyalásánál már említettük, hogy egy nanoáramkörben akkor tapasztalhatunk interferencia-jelenséget, ha annak mérete kisebb a fáziskoferencia-hossznál. Próbáljuk ezt a karakterisztikus méretskálát egy kicsit pontosabban definiálni.

3. ábra.

Ha egy elektronhullámot egy adott pontban szétválasztunk, és feltételezzük, hogy a két parciális hullám két különböző trajektórián keresztül jut el egy másik pontba, ahol újra egyesülnek (3. ábra), akkor ebben a pontban a hullám intenzitását

$\[ T=\left| t_1 \right|^2 + \left| t_2 \right|^2 + 2\left| t_1t_2 \right| \exp\left(-\tau_L/\tau_\phi \right) \]$

alakban írhatjuk, ahol $\setbox0\hbox{$t_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$t_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az egyik illetve a másik trajektóriához tartozó komplex amplitúdó, $\setbox0\hbox{$\tau_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig az egyik pontból a másik pontba történő eljutáshoz szükséges karakterisztikus idő. A két trajektória mentén az elektronok szóródásokat szenvednek. Rugalmas (pl. rácshibákon, szennyezőkön, történő) szóródás esetén egy időben konstans fázistolás lép fel, de ez nem befolyásolja az interferencia-képességet, legfeljebb azt, hogy a parciális hullámok találkozásakor erősítést vagy gyengítést tapasztalunk. Ha viszont az elektronhullám az egyik trajektória mentén egy rugalmatlan szórást szenved (pl. elektron-fonon kölcsönhatás), akkor megváltozik az energiája, és így a hullámok egyesítésekor egy időben fluktuáló, kiátlagolódó interferenciaképet kapunk. A fenti képletben $\setbox0\hbox{$\tau_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ezen, rugalmatlan szórásoknak köszönhető koherenciavesztés karakterisztikus időskáláját adja meg. Ennél az időnél lényegesen hosszabb skálán a parciális hullámok egyesítésekor egyszerűen az intenzitások adódnak össze, és a fázisviszonyoktól függő interferenciatag (a fenti képlet utolsó tagja) elvész.

Ha két rugalmatlan szórás között nem történik rugalmas szórás, azaz $\setbox0\hbox{$\tau_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összemérhető a momentum relaxáció $\setbox0\hbox{$\tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ karakterisztikus idejével, akkor az a távolságskála melyen belül interferenciát tapasztalunk egyszerűen

$\[ L_\phi=v_F \tau_\phi, \]$

ahol $\setbox0\hbox{$v_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektronok Fermi-sebessége. Ha viszont két rugalmatlan ütközés között számos rugalmas ütközés történik, akkor az elektronok diffúzív trajektóriák mentén mozognak. Ebben az esetben is $\setbox0\hbox{$v_F \tau_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ trajektóriahossz után vész el az interferencia-készség, azonban ez a trajektóriahossz a diffúzív mozgás miatt térben csak

$\[ L_\phi=\sqrt{D\tau_\phi} \]$

eltávolodást eredményez a kiindulási ponttól, ahol $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a diffúziós állandó, mely a momentumrelaxációs időből két dimenzióban $\setbox0\hbox{$D=v_F^2\tau_m/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ képlettel számolható.

Aharonov-Bohm gyűrű

Nanoáramkörökben az interferencia-jelenségeket nem tudjuk a ernyő mentén detektálni, olyan elrendezést kell találni, melyben például az áramkör két (vagy pár) kontaktusán keresztül feszültséget adunk a mintára, és a mért áramban jelenik meg az interfernecia valamilyen hangolható paraméter függvényében. Erre talán a legjobb példa a nanogyűrűkben tapasztalható Aharonov-Bohm jelenség.

Az egyik kontaktusból bejövő elektronhullámot egy kör alakú gyűrű két ága mentén két részre osztjuk, és a gyűrű másik oldalára helyezett kontaktuson keresztül egyesül a két parciális hullám (4. ábra). Zérus mágneses térben az elektronok a felső ágon $\setbox0\hbox{$k_F s_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg az alsó ágon $\setbox0\hbox{$k_F s_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázist vesznek fel, ahol $\setbox0\hbox{$k_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Fermi-hullámszám, $\setbox0\hbox{$s_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$s_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a két kontaktus közötti trajektóriahossz a felső illetve az alsó ág mentén (lásd 4. ábra). Ennek megfelelően az interferenciatag $\setbox0\hbox{$\cos(k_F(s_1-s_2))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel arányos.

4. ábra Aharonov-Bohm gyűrű

Véges mágneses térben azonban a fenti fázisok mellett az elektronok $\setbox0\hbox{$(e/\hbar ) \int \vec{A} \mathrm{d}\vec{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ún. Aharonov-Bohm fázist is felvesznek, ahol $\setbox0\hbox{$\vec{A}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vektorpotenciál, az integrálást pedig az elektronok trajektóriája mentén kell elvégezni. A gyűrű felső és alsó ágának járulékát összegezve:

$\[G\sim T = |t_1+t_2|^2 = \left| e^{i k_F s_1 + \frac{i e}{\hbar} \int \limits_1 \vec{A} \mathrm{d}\vec{s}} + e^{i k_F s_2 + \frac{i e}{\hbar} \int \limits_2 \vec{A} \mathrm{d}\vec{s}}\right|^2 = \]$

$\[2+2\cdot cos\left(k_F(s_1-s_2)+\frac{e}{\hbar} \oint \vec{A} \mathrm{d} \vec{s}\right) = 2+2\cdot cos(\delta_0 + 2 \pi \Phi/\Phi_0),\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\Phi=B\cdot A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gyűrű által körbezárt mágneses fluxus, $\setbox0\hbox{$\Phi_0=e/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig az úgynevezett fluxuskvantum. Látszik, hogy a vezetőképesség a fluxus változtatásával a fluxuskvantum periódusa szerint oszcillál. Ezt az oszcillációt először Webb és társai mutatták ki mezoszkopikus arany gyűrűn.¹

A 4. ábrán szándékosan különbözőnek jelöltük a felső és alsó ág hosszát, hiszen egy valós rendszerben nem lehet garantálni, hogy mindkét ág mentén pontosan ugyan olyan hosszú trajektória mentén haladjanak az elektronok. Ráadásul, ha a gyűrű két ága egy-egy szélesebb vezeték, akkor mindkét ágon több, különböző hosszúságú trajektória mentén juthat el az elektron az egyik kontaktusból a másikba, és ha ezek a trajektórahosszok túlzottan eltérnek, akkor a szabad elektron terjedésből adódó $\setbox0\hbox{$k_F\cdot s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázisok kiátlagolódnak, a koherencia elvész.

Tanulságos az Aharonov-Bohm gyűrűben reflexiót számolva megnézni a releváns folyamatokat. A legalapvetőbb (nulladrendű) folyamat, ha az elektronok be se jutnak a gyűrűbe, hanem a gyűrű elején reflektálódnak (5. ábra, bal oldal). A következő, első rendben az elektronok úgy tudnak reflektálódni, hogy bejutnak a gyűrűbe, és jobbról vagy balról egyszer megkerülik azt, majd a bal oldali kontaktuson keresztül elhagyják a gyűrűt (5. ábra, középső és jobb oldali panel). Az Aharonov-Bohm effektus a nulladrendű, illetve az elsőrendű folyamatok interferenciájából adódik, melyek között a mágneses térből felvett fázis $\setbox0\hbox{$2 \pi \Phi/\Phi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Azonban széles vezetékek esetén a $\setbox0\hbox{$k_F\cdot s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázisok kiátlagolódnak.

5. ábra. Reflexióhoz járulékot adó alapvető folyamatok Aharonov-Bohm gyűrűben

Érdemes megvizsgálni, a két elsőrendű folyamat interferenciáját, azaz amikor az elektronok balról illetve jobbról kerülik a gyűrűt. E két folyamat között a mágneses tér hatására $\setbox0\hbox{$4 \pi \Phi/\Phi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fáziskülönbség lép fel, azaz a vezetőképesség a fluxuskvantum fele szerinti periódussal oszcillál. Két tetszőleges trajektória közötti $\setbox0\hbox{$k_F\cdot s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázisok itt is kiátlagolódhatnak, azonban minden egyes balról kerülő trajektóriához találunk egy időtükrözött jobbról kerülő trajektóriát, azaz egy trajektóriapárt, melyen pontosan ugyan azon a trajektórián, de ellentétes irányban halad az elektron. Az időtükrözött trajektóriapárok között a $\setbox0\hbox{$k_F \cdot s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázisok különbsége pontosan zérus, így nulla mágneses térben mindig konstruktív interferenciát látunk, illetve véges mágneses térben a fluxuskvantum felének periódusával oszcillál a vezetőképesség. Ezt hívják Altshuler-Aronov-Spivak oszcillációnak.

6. ábra. Altshuler-Aronov-Spivak oszcillációk hosszú, de kis átmérőjű fémhengerben is megfigyelhetők

Az időtükrözött párok interferencia-járuléka vastag vezetékek esetén sem átlagolódik ki. Erre a legjobb példa Sharvin és Sharvin eredeti kísérlete, melyben egy kis átmérőjű ($\setbox0\hbox{$~1\mu m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) szigetelő drótra vékony magnéziumréteget vittek fel, és a drót két oldala között mértek vezetőképességet (6. ábra). Ebben az elrendezésben nyilvánvaló, hogy az elektronok teljesen különböző hosszúságú trajektóriák mentén juthatnak el ez egyik kontaktusból a másikra, így a $\setbox0\hbox{$\Phi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ periódusú Aharonov-Bohm oszcillációk kiátlagolódnak. Ezzel szemben az időtükrözött trajektóriák interferenciájából adódó $\setbox0\hbox{$\Phi_0/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ periódusú Altshuler-Aronov-Spivak oszcillációk megmaradnak, és kísérletileg is kimutathatók, lásd A.G.Aronov és Yu.V.Sharvin összefoglaló cikke, 7. ábra. ²

Vezetőképesség-fluktuációk

Említettük, hogy túl széles vezetékkel készített Aharonov-Bohm gyűrűben a $\setbox0\hbox{$k_F\cdot s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázisok kiátlagolódnak. Ez volt az oka annak, hogy az első próbálkozások Aharonov-Bohm oszcillációk kimutatására nanoszerkezetekben nem sikerültek, illetve a periodikus oszcillációk helyett a vezetőképesség a mágneses tér függvényében egy véletlenszerű fluktuációt mutatott. Később kiderült, hogy a vezetőképesség fluktuációja nanoszerkezetekben egy általános interferencia-jelenség.

7. ábra. A nanovezetékben az elektronok különböző diffúzív trajketóriák mentén juthatnak el az egyik kontaktusból a másikba

Egy megfelelő szélességű és hosszúságú (a momentumrelaxációs szabadúthossznál hosszabb, de a fáziskoherencia hossznál rövidebb) nanovezetékben az elektronok számtalan különböző diffúzív trajketória mentén juthatnak el az egyik kontaktusból a másikba (8. ábra). A kis méret miatt ($\setbox0\hbox{$L<L_\phi $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) ezek a diffúzív trajektóriák interferálnak egymással. A mágneses térrel hangolhatjuk az egyes trajektóriákhoz tartozó fázist, így változtathatjuk az interferenciafeltételeket, de mivel nagyon sok véletlen trajektória interferenciajárulékáról van szó, ezért a mágneses tér függvényében a vezetőképesség nem periodikus oszcillációt, hanem egy véletlenszerű fluktuációt mutat (lásd 8. ábra). Fontos azonban megjegyezni, hogy ha a mágneses teret oda-vissza változtatjuk, akkor ez a véletlenszerű vezetőképesség-fluktuáció pontosan reprodukál, hiszen a vezetéken belül a mérés során nem változik a szórócentrumok helye, így a sok trajektória interferenciájából adódó vezetőképesség-korrekció a mágneses tér egyértelmű függvénye. Ha viszont felmelegítjük, és újra lehűtjük a nanovezetéket, akkor a rácshibák pozíciója megváltozik, és így jellegre hasonló, de a részletekben a korábbitól teljesen eltérő vezetőképesség-fluktuációt kapunk a mágneses tér függvényében.

8. ábra. Vezetőképesség-fluktuációk

Megmutatható, hogy sok nyitott vezetési csatornával rendelkező ($\setbox0\hbox{$M\gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), diffúzív ($\setbox0\hbox{$L\gg l_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) de még fáziskoherens ($\setbox0\hbox{$L\ll L_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) nanovezetékben a vezetőképesség-fluktuációk nagysága univerzális, a fluktuációk szórása a vezetőképesség értékétől függetlenül $\setbox0\hbox{$e^2/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (lásd 8. ábra).

Érdemes megjegyezni, hogy a diffúzív trajektóriák közötti fázisviszonyok nem csak a mágneses térből adódó Aharonov-Bohm fázis segítségével hangolhatók, hanem az elektronok Fermi-hullámhosszának változtatásával is, amit a mintára tett feszültséggel, vagy egy szomszédos kapuelektróda potenciáljának változtatásával érhetünk el.

Gyenge lokalizáció

Az 5. ábra vonatkozásában láttuk, hogy ha a forrás kontaktusból indulva egy adott irányban megkerüli az elektron az Aharonov-Bohm gyűrűt és visszajut a forrás kontaktusba, akkor ehhez a folyamathoz társíthatunk egy időtükrözött folyamatot, melyhez pontosan ugyan az $\setbox0\hbox{$k_F\cdot s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázis tartozik, így az időtükrözött trajektóriapárok interferenciájának konstruktív vagy destruktív jellege csak az Aharonov-Bohm fázistól, azaz a gyűrű területén megjelenő mágneses fluxustól függ. Ennek köszönhető, hogy egy hosszú de kis átmérőjű fém hengerben is megjelenhetnek a mágneses térben periodikus interferenciaoszcillációk az időtükrözött trajektóriapárok interferenciájának köszönhetően.

9. ábra. Az időtükrözött trajektóriapárok konstruktív interferenciája miatt zérus mágneses térben megnő a kiindulási pontba történő visszaszóródás valószínűsége

Zérus mágneses térben azonban nem jelenik meg Aharonov-Bohm fázis, így a fázisdiffúziós hosszon belüli időtükrözött trajektóriapárok mindig konstruktívan interferálnak a körbezárt területtől függetlenül. Ennek köszönhetően az időtükrözött trajektóriapároknak köszönhető interferencia-járulék nem csak a 6. ábrán szemléltetett hengeres geometriában, hanem tetszőleges mintán megfigyelhető. Egy A pontból egy B pontba sok különböző trajektórián eljuthat az elektron, így a sok trajektória interferenciajáruléka kiátlagolódik (9. ábra, bal oldal). Ha viszont a diffúzív mozgás során az A pontól az A pontba visszajut egy tetszőleges trajektórián az elektron, akkor a megfelelő időtükrözött trajektórián zérus mágneses térben ugyan azt a fázist veszi fel, azaz a kiindulási pontba történő visszajutás esetén az időtükrözött trajektóriapár konstruktívan interferál (9. ábra, jobb oldal). Ez azt jelenti, hogy megnő a forrás elektródába történő visszaszóródás valószínűsége, azaz megnő a minta ellenállása. Ezt a jelenséget hívjuk gyenge lokalizációnak. A mágneses tér bekapcsolásával azonban a különböző fluxust bezáró időtükrözött trajektóriapárok interferencia-járuléka kiátlagolódik az eltérő Aharonov-Bohm fázis miatt, azaz az ellenállás visszacsökken az interferencia-járulék nélküli értékre. Ezt a jelenséget szemlélteti a 10. ábra látható tipikus kísérleti görbe, melynek illesztéséből a fázisdiffúziós hossz meghatározható.

10. ábra. Egy vékonyréteg minta ellenállása zérus mágneses térben a gyenge lokalizáció miatt maximumot mutat

A gyenge lokalizáció jelensége nem csak elektronokra, hanem tetszőleges diffúzív közegben terjedő hullámra jelentkezhet: ha a közegbe egy adott irányból érkezik a hullám, és a visszavert hullám intenzitását márjük különboző irányokban, akkor az időtükrözött trajektóriák interferenciájának köszönhetően a bejövő hullámmal ellentétes irányban visszavert hullám intenzitása megnő bármilyen más irányban visszevert hullámintenzitáshoz képest (11. ábra). Ezt a jelenséget felhőben terjedő radarhullámokra is megfigyelték.

11. ábra. Időtükrözött trajektóriapárok interferenciájának köszönhetően megnő a bejövő hullámmal ellentétes irányba visszaszórt hullám intenzitása

Koherenciavesztés

Az eddigiekben nanoszerkezetekben jelentkező interferencia-jelenségeket vizsgáltunk. Most nézzük meg részletesebben, hogy milyen tényezők okozhatják a fent ismertetett interferencia-jelenségek megszűnését.

Hőmérséklet miatti koherenciavesztés

A fentiekben az elektronhullámokat monokromatikusnak tekintettük, azaz feltételeztük hogy jól definiált energiával rendelkeznek. Ez teljesül nagyon alacsony hőmérsékleten, és nagyon kicsi mérőfeszültség mellett, hiszen ekkor gyakorlatilag csak a Fermi-szintnél levő elektronok adnak járulékot a vezetőképességhez. Véges hőmérsékleten azonban a Fermi-energia körüli véges $\setbox0\hbox{$kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia-tarományban levő elektronok adnak járulékot a transzporthoz, így a különböző energiájú (és különböző hullámhosszal rendelkező) elektronok interferenciajáruléka kiátlagolódhat. Egy $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiájú elektron által $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt felvett fázis $\setbox0\hbox{$\phi=Et/\hbar$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ha a transzportban résztvevő elektronok között $\setbox0\hbox{$\Delta E=kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiakülönbség lehet, akkor az azonos fázissal indított elektronhullámok között nagyságrendileg $\setbox0\hbox{$\tau_\phi\approx \hbar/kT$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt akkor akkora fáziskülönbség lép fel, hogy a különböző energiájú elektronokhoz tartozó fázis már teljesen kiátlagolódik (12. ábra, jobb oldal). Ennek megfelelően interferencia-jelenséget akkor láthatunk ha a nanoszerkezeten történő áthaladáshoz szükséges $\setbox0\hbox{$\tau_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő (12. ábra, bal oldal) kisebb $\setbox0\hbox{$\tau_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél.

12/a. ábra. A nanoszerkezeten az elektronok $\setbox0\hbox{$\tau_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt haladnak át	12/b. ábra. Azonos fázissal induló különböző hullámhosszal rendelkező hullámok együttes járuléka $\setbox0\hbox{$\tau_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő után kiátlagolódik

Egy nanoszerkezetet jellemezhetünk az ún. Thouless energiával, mely az elektronok nanoszerkezeten belül eltöltött $\setbox0\hbox{$\tau_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idejének megfeleltetett $\setbox0\hbox{$E_T=\hbar/\tau_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia. Ezen definíció alapján egyszerűen azt mondhatjuk, hogy az adott nanoszerkezetben $\setbox0\hbox{$kT>E_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén a hőmérsékleti kiszélesedés miatt elmosódnak az interferenciajelenségek.

A fázisok hőmérséklet miatti kiátlagolódása hasonló jelenség a fehér fénnyel végzett interferncia-kísérlethez: az interferenciakép a különböző hullámhosszúságú komponensek keveredése miatt mosódik el. Ez viszont nem jelenti azt, hogy az elektronok (vagy a fény) interferencia-képessége, koherenciája megszűnne, hiszen ha a mérőrendszerben ki tudunk választani egy adott energiához tartozó részecskéket (pl. színszűrővel), akkor ezekre megjelenik az interferenciakép. Ennek megfelelően a fázisok fent részletezett kiátlagolódását nem koherenciavesztésnek (decoherence) hanem fázisvesztésnek (dephasing) szokták nevezni.

Környezet miatti koherenciavesztés

A kétrés kísérlet tárgyalásánál említettük, hogy ha tudjuk detektálni, hogy a részecskék melyik résen haladnak át, akkor megszűnik az interferencia-képesség. Ezt a jelenséget általánosabban is megfogalmazhatjuk. Az Aharonov-Bohm gyűrű példájával élve a forrás kontaktusból érkező elektronok haladhatnak a felső ágon (13. ábra, bal oldal), amit jelöljünk az $\setbox0\hbox{$|1\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kvantummechanikai állapottal, és haladhatnak az alsó ágon (13. ábra, jobb oldal), amit jelöljünk a $\setbox0\hbox{$|2\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapottal.

13. ábra.

Interferencia esetén a rendszer szuperponált állapotban van, a teljes hullámfüggvény:

$\[|\psi\rangle = \alpha|1\rangle + \beta|2\rangle.\]$

Ha az elektronok kölcsönhatnak a környezetükkel (pl. rácsrezgések), akkor a teljes hullámfüggvényben a környezet hullámfüggvényét ($\setbox0\hbox{$|\Phi_\mathrm{env}\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) is figyelembe kell venni. Kezdetben (a kölcsönhatás bekapcsolása előtt) a teljes hullámfüggvényt írhatjuk az elektron-hullámfüggvény és a környezeti hullámfüggvény szorzataként. Ha viszont a kölcsönhatás következtében a környezet hullámfüggvénye különbözővé válik aszerint hogy az elektron alul vagy felül halad, akkor a teljes hullámfüggvényt már nem lehet szorzat alakban írni, azaz az elektronállapot összefonódik a környezet állapotával:

$\[|\Psi\rangle = (\alpha|1\rangle + \beta|2\rangle)|\Phi_\mathrm{env}\rangle\;\;\longrightarrow\;\;\alpha|1\rangle|\Phi_\mathrm{env1}\rangle + \beta|2\rangle|\Phi_\mathrm{env2}\rangle.\]$

Ha valamilyen, csak az elektronokra vonatkozó fizikai mennyiséget (például az Aharonov-Bohm gyűrű transzmisszióját) mérjük, akkor a $\setbox0\hbox{$\hat{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ operátorral jellemezhető mennyiség várható értékére:

$\[\langle \Psi |\hat{T} |\Psi \rangle = |\alpha |^2 \langle 1 |\hat{T}|1\rangle + |\beta|^2 \langle 2|\hat{T}|2\rangle + \alpha^*\beta \langle 1|\hat{T}|2\rangle \langle \Phi_\mathrm{env1}|\Phi_\mathrm{env2}\rangle + \beta^*\alpha \langle 2|\hat{T}|1\rangle \langle \Phi_\mathrm{env2}|\Phi_\mathrm{env1}\rangle\]$

adódik, ahol figyelembe vettük, hogy a $\setbox0\hbox{$\hat{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ operátor csak az elektron-hullámfüggvényre hat. Az első két tag a felső illetve az alsó ágon haladó nyalábok intenzitásának az összege, mely akkor is megjelenik, ha nem koherens a rendszerünk. A két ágon haladó hullám interferenciáját az utolsó két tag írja le. Fontos megjegyezni, hogy ha $\setbox0\hbox{$\langle \Phi_\mathrm{env1}|\Phi_\mathrm{env2}\rangle \rightarrow 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor elveszik az interferencia, azaz ha a felül és alul haladó parciális elektronhullám különböző nyomot hagy a környezetben (13. ábra), akkor nem látunk interferenciát. Ebben az esetben ténylegesen elvész az interferenciakészség, koherenciavsztés történik.

Nanoáramkörökben a koherenciavesztés egyik fontos forrása ez elektron-fonon kölcsönhatás, aminek az erőssége függ a hőmérséklettől.

Környezetben hagyott nyom és dekoherencia közötti kapcsolat bemutatása egy szemléletes példán

A környezetben hagyott nyom és a interferenciakészség közti szoros kapcsolat jól szemléltethetó Stern, Aharonov és Imry gondolatkísérletével.² Egy szétválasztott elektronnyaláb két résen, vagy az Aharonov-Bohm gyűrű két ágán keresztül haladhat, a felül haladó elektron hullámfüggvénye $\setbox0\hbox{$u_1(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az alul haladóé pedig $\setbox0\hbox{$u_2(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (14. ábra). Egy töltött részecske segítségével szeretnénk detektálni, hogy hol halad az elektron. A töltött részecske hullámfüggvénye $\setbox0\hbox{$\chi(q)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, melyhez $\setbox0\hbox{$\Delta q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helybizonytalanság tartozik. A töltött részecske és az elektron közötti Coulomb-potenciál $\setbox0\hbox{$V(q-x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a kölcsönhatás csak az alsó ágon haladó elektronnal számottevő, a felső ágon haladó elektronnal vett kölcsönhatást elhanyagolhatónak tekintjük.

1. ábra. Vezetőképesség fluktuációk

Először nézzük meg, hogy mi a feltétele annak, hogy a töltött részecske segítségével detektálni tudjunk egy alsó ágon haladó elektront. Ha alul halad az elektron, a töltött részecske gyorsul a Coulomb erő hatására. Kölcsönhatás ideje (t) alatt az impulzusváltozás: $\setbox0\hbox{$\delta p = t\cdot \partial V/\partial q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ha az impulzusváltozás nagyobb az impulzus $\setbox0\hbox{$\Delta p \approx \hbar / \Delta q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ bizonytalanságnál, akkor a részecske állapotából kiolvashatjuk az "útinformációt":

$\[\delta p > \Delta p \Leftrightarrow \frac{\partial V}{\partial q}\cdot t > \frac{\hbar}{\Delta q} \Leftrightarrow \langle\chi_1|\chi_2\rangle qll 1\]$

Az alsó ágon haladó részecske hullámfügvénye megváltozik a kölcsönhatás miatt: $\setbox0\hbox{$|u_2(x)|\cdot e^{-i(E+V(q-x))\cdot t/\hbar}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

• A kölcsönhatás ideje alatt felszedett fázis: $\setbox0\hbox{$\Phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.
• q bizonytalansága miatt a fázis is bizonytalan: $\setbox0\hbox{$\Delta \Phi = \frac{1}{\hbar} \frac{\partial V}{\partial q} \cdot \Delta q \cdot t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$
• Ha a fázisbizonytalanság nagy lesz, elveszik az interferencia:

$\[\Delta \Phi > 1 \Leftrightarrow \frac{\partial V}{\partial q} \cdot t > \frac{\hbar}{\Delta q}\]$

Töltött részecske, mely csak az alsó ágon áthaladó elektronnal hat kölcsön (a felső ágon haladó elektronnal elhanyagolható a kölcsönhatás). Helykoordináta: $\setbox0\hbox{$q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, helybizonytalanság: $\setbox0\hbox{$\Delta q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

• Ha alul halad az elektron, a töltött részecske gyorsul az erő hatására. Kölcsönhatás ideje (t) alatt az impulzusváltozás: $\setbox0\hbox{$\delta p = \frac{\partial V}{\partial q}\cdot t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

• Ha az impulzus változás nagyobb az impulzus bizonytalanságnál,akkor a részecske tárolta az "útinformációt":

$\[\delta p > \Delta p \Leftrightarrow \frac{\partial V}{\partial q}\cdot t > \frac{\hbar}{\Delta q} \Leftrightarrow \langle\chi_1|\chi_2\rangle<<1\]$

Ugyan az a két feltétel! Ugyanakkor veszik el az interferencia, amikor a környezet állapota megkülönbözethetővé válik alul illetve felül haladó elektron esetén!

Környezet miatti koherenciavesztés Aharonov Bohm gyűrűben

Ha a kétrés kísérletben megmondható, hogy az elektron melyik résen haladt át (nyomot hagy a környezetében) $\setbox0\hbox{$\rightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ interferencia megszűnik.

Interferométer: Aharonov - Bohm elrendezés QDot-tal az egyik ágban.

„Útvonal” detektor = QDot + mellette kvantum vezeték (QPC): a Dotban lévő elektron visszaszórást okoz QPC-ben, minél több e-t szór vissza a QPC-ban, annál nagyobb nyomot hagy a környezetén.

Környezet miatti koherenciavesztés: a környezetben minnél nagyobb nyomot hagy az $\setbox0\hbox{$e \rightarrow |\langle \Phi_{env1}|\Phi_{env2}\rangle|$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csökken $\setbox0\hbox{$\rightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az interferencia láthatósága csökken (láthatóság: $\setbox0\hbox{$\nu = Ampl/Avg$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$)

• Detektor „érzékenységét” QPC-ra adott ($\setbox0\hbox{$V_d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) feszültség növelésével javíthatjuk: $\setbox0\hbox{$I_{QPC}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nő, több elektront tud visszaszórni.

• A detektor érzékenységének a növelésével az interferencia láthatósága csökken!