A fénysebesség meghatározása

A mérés célja:

• egy szellemes módszer megismerése, mellyel a fény sebessége meghatározható ill. nagyfrekvenciás jelek mérhető tartományba transzformálhatók,
• ismerkedés egy modern 100 MHz-es oszcilloszkóppal.

Ennek érdekében:

• összeállítjuk és kalibráljuk a mérőeszközt,
• meghatározzuk a fény sebességét levegőben, szerves üvegben, ill. vízben.

Elméleti összefoglaló

A vákuumra vonatkozó fénysebesség az egyik fontos természeti állandó, melynek meghatározása alapvető szerepet játszott a modern fizikai világkép kialakításában. Az a felismerés, hogy az elektromágneses sugárzás véges sebességgel terjed, alapjaiban rendítette meg a távolhatáson alapuló (a kölcsönhatások végtelen sebességgel való terjedését feltételező) korábbi világképet. A fénysebesség az elektromágnesség Maxwell által kidolgozott általános elméletében, a speciális és általános relativitáselméletben, és a kvantum-térelméletben lépten-nyomon előforduló mennyiség. Azt, hogy a fény haladási sebessége véges, először Olaf Römer dán csillagász mutatta ki 1676-ban a Jupiter egyik holdja keringési idejének változása alapján. Az általa becsült érték $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 225 000 km/s még lényegesen eltér a ma definíciószerűen rögzített 299 792 458 m/s értéktől. (Manapság a lézeres méréstechnika segítségével a fénysebesség nagy pontossággal mérhető. Ezért 1983 óta a távolság egységét a fénysebesség segítségével definiálják: 1 m az a távolság, amit a fény vákuumban 1/299 792 458 s alatt befut.) A fénysebesség meghatározására számos módszert dolgoztak ki, mint pl. a Foucault által javasolt és Michelson által tökéletesített forgó tükrös eljárás, melynek hibája kb. 5 %. A jelen gyakorlat során egy ötletes, a modern elektronika lehetőségeit kihasználó módszerrel ismerkedünk meg, mely valamivel pontosabb, mint a forgótükrös eljárás (hibája kb. 1 %).

1.ábra

A fénysebesség meghatározásánál csak akkor nincs szükség nagy távolságokra, ha igen rövid időket tudunk mérni. A jelen mérésben alkalmazott távolságok nagyságrendje ~ 1 m. A fellépő igen rövid idők (~ ns) mérését az alábbi megoldás teszi lehetővé: Egy olyan LED fényét vizsgáljuk, mely 60 MHz-el villog. (A mérőeszköz blokk-diagramja az 1. ábrán látható.) A fényforrást és az érzékelő egységet (mely a fotodiódát, erősítőt, jelkeverőket és a tápegységet tartalmazza) egy 6 m-es koaxiális kábel köti össze. Ez a kábel továbbítja a fényforrás elektronikája által előállított 60 MHz-es jelet az elektronikai dobozban található keverő egységbe és biztosítja a fényforrás tápfeszültségét. A fényforrás (fotodióda) által kibocsátott fényt, a forrás és az érzékelő közti $\setbox0\hbox{$\Delta s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ út megtétele után, az érzékelő fotodióda 60 MHz-es váltófeszültséggé alakítja, melynek fázisa az eredeti jelhez képest a $\setbox0\hbox{$\Delta s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ úttal arányos $\setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázisszöggel ($\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időtolással) késik. Ekkor a fény sebessége

$\[c = \Delta s / \Delta t\]$

Hogy a ns nagyságrendű időtolás kényelmesebben kezelhető legyen, egy kb. 600-szoros időnyújtást alkalmazunk, aminek megvalósításához az eredeti- és a fáziseltolt jeleket egy 59,9 MHz-es jellel keverjük: Legyen a fényforrásra érkező $\setbox0\hbox{$f_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 60 MHz-es vezérlő feszültség $\setbox0\hbox{$U_1 = \cos \left( \omega_1 t \right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$\omega_1 = 2 \pi f_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. (Az egyszerűség kedvéért a továbbiakban az amplitúdókkal nem foglalkozunk.) Mivel a fény véges sebességgel terjed, a fotodióda $\setbox0\hbox{$U_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jele $\setbox0\hbox{$\Delta t = \Delta s/c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idővel késik $\setbox0\hbox{$U_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-hez képest, ami $\setbox0\hbox{$\phi = \omega_1 \Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fáziskésésnek felel meg, azaz $\setbox0\hbox{$U_2 = \cos \left( \omega_1 t - \phi \right)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ha most $\setbox0\hbox{$U_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-et és $\setbox0\hbox{$U_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t az $\setbox0\hbox{$f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 59,9 MHz-es jellel szorozzuk ("keverjük"), akkor az

$\[U_1 ' = \cos [( \omega_1 + \omega_2 ) t] + \cos [( \omega_1 - \omega_2 ) t ] \]$

$\[U_2 ' = \cos [( \omega_1 + \omega_2 ) t - \phi] + \cos [( \omega_1 - \omega_2 ) t - \phi ] \]$

összetett jeleket kapjuk, ahol kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó $\setbox0\hbox{$2 \cos \alpha \cdot \cos \beta = \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggést. Az összegfrekvencia igen magas ($\setbox0\hbox{$f_1+f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 119,9 MHz), amit szűrőkkel elnyomunk. A különbségi frekvenciához tartozó ($\setbox0\hbox{$f_1-f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 100 kHz) komponenseket, az

$\[U_1 ' = \cos [( \omega_1 - \omega_2 ) t ]\]$

referenciajelet és a

$\[U_2 ' = \cos [( \omega_1 - \omega_2 ) t - \phi ]\]$

késleltetett jelet pedig oszcilloszkópon jelenítjük meg. Vegyük észre, hogy a fázistolás állandó maradt. Így a hozzá tartozó időtolás 600-szorosára nőtt, miközben a frekvenciák 600-ad részükre csökkentek, azaz bármely jobb oszcilloszkópon megjeleníthetők. A fentiek értelmében $\setbox0\hbox{$ \phi = \omega_1 \Delta t = ( \omega_1 - \omega_2 ) \Delta t' $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz

$\[\Delta t' = \frac{\omega_1}{\omega_1 - \omega_2} \Delta t = 600 \Delta t \]$

vagyis az oszcilloszkópon látott $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 1 μs idő $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 1/600 μs ≈ 1,6×10^-9 s tényleges időkésésnek felel meg.

Összefoglalva: Az a $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő, ami alatt a fény megteszi a két fotodióda közti távolságot, nem egyéb, mint a kevert alacsonyfrekvenciás jelek oszcilloszkópon észlelt fáziskülönbségének megfelelő időtolás ($\setbox0\hbox{$\Delta t'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és az időnyújtási faktor (600) hányadosa.

A mérőberendezés és használata

2. ábra

Az összeállított mérőeszköz és annak vázlatos rajza a 2. és 3. ábrákon látható.

Részei:

• fényforrás + tartó ("lovas")
• fényérzékelő/elektronika egység
• kétcsatornás 100 MHz-es oszcilloszkóp (HAMEG)
• koaxiális kábelek BNC csatlakozókkal (1 db 6 m-es, 2 db 1,5 m-es)
• optikai pad mm-skálával
• 150 mm fókusztávolságú lencse + tartó ("lovas")

A mérésnél használt további eszközök:

• szerves üveg tömb + tartó ("lovas")
• kétablakú vízzel töltött cső + tartók
• HAMEG frekvenciamérő

Az eszköz összeállítása

3. ábra: Mérési elrendezés vázlata (Jelölések: (1) 6 m-es kábel; (2) 1,5 m-es kábel; (a) fényforrás vezérlő jel ki- és bemenet; (b) referencia jel; (c) vizsgált jel; (d) fényérzékelő bemenete)

Állítsa lábaira a fényérzékelő/elektronikai egységet, majd helyezze az optikai pad végéhez úgy, hogy az lehetőség szerint merőleges legyen az előlapra! Rögzítse a fényforrást az optikai padon kb. 1 m-re a fényérzékelőtől! Kapcsolja össze a fényforrást, az elektronikai dobozt és az oszcilloszkópot a mellékelt koaxiális kábelekkel a 3. ábra szerint, úgy, hogy a 6 m-es (1. kábel) legyen a fényforrás és az elektronikai doboz a csatlakozói között, míg az 1,5 m-esek (2. kábelek) az elektronika és az oszcilloszkóp közt! Földelje az oszcilloszkóp mindkét csatornáját (GND), majd állítsa a nullvonalakat a képernyő közepére úgy, hogy fedjék egymást! Ekkor kapcsolja mindkét csatornát váltófeszültségre (AC), 0,5 V/cm-re, és az időlépést 2 μs/cm-re! Csatlakoztassa és kapcsolja az elektronikát a hálózati feszültségre. (Az előlap jelzőlámpája és a fényforrás LED-je világít.) Ekkor egy kb. 100 kHz-es jel (referencia jel) látható az oszcilloszkóp képernyőjén.

Az optikai út beállítása

4.ábra

A fényforrást és az előtte levő kondenzor lencsét úgy állítsa be, hogy a vörös fényfolt az elektronikai doboz előlapjára essen! Helyezze a 150 mm-es lencsét a fénysugár útjába! A fényforrás, a lencse és a fényérzékelő bemente legyenek azonos magasságban. A beállítás megkönnyítésére helyezzen papírlapot a fényérzékelő bemeneti nyílása (3. ábra, d) elé! Úgy állítsa a kondenzort és a fényforrást, hogy a 150 mm-es lencse a fénysugarat a bemeneti nyílásra fókuszálja! Ezután mozgassa 13 mm-rel az előlap felé a lencsét (ui. a fotodióda 13 mm mélyen van a bemeneti nyílás mögött)! Ha elveszi a papírlapot egy újabb 100 kHz-es jel jelenik meg az oszcilloszkóp II csatornáján (ld. 4. ábra), melynek amplitúdója még meglehetősen kicsi lehet. Ezt a jelet vizsgáljuk a továbbiakban.

Mozgassuk addig a lencsét, míg a II csatornán látható jel amplitúdója maximális lesz! A fényforrás hátlapján levő csavarok állításával is keresse meg az érzékelőre eső fényintenzitás maximumát! (Helyes beállítás esetén a csúcstól-csúcsig feszültség ~ 4 V.)

Megjegyzések:

• Az oszcilloszkóp időskálája kalibrált állásban legyen.
• A mérés előtt a két jel nullpontjai a fázistoló gomb segítségével fedésbe hozhatók. Ezzel kompenzáljuk a koaxiális kábelek és az optikai rendszer eredő fázistolását.
• A jelnek a referenciajelhez viszonyított eltolódása a nullátmenetek távolsága alapján határozható meg.

A mérés végrehajtása

a) Az időnyújtási tényező mérése: Bár a 60 MHz-es alapfrekvenciát és az 59,9 MHz-es keverő frekvenciát a berendezés nagy pontossággal állítja elő, a különbségi frekvencia hibája értelemszerűen nagyobb. Minthogy az időnyújtási tényező értéke és pontossága ettől függ, célszerű a különbségi frekvenciát közvetlenül mérni. Ez az elektronikai doboz b kimenetére csatlakoztatott frekvenciamérő segítségével történik.

b) A levegőre vonatkozó fénysebesség mérése: Állítsa az időosztást 1 μs/cm-re. A fázistolóval hozza fedésbe a jel nullpontjait a referencia jel nullpontjaival. A fényforrás mozgatásával vegye fel a $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időtolást az optikai út $\setbox0\hbox{$\Delta s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszának függvényében.

c) Törésmutató mérése: A fázistolóval hozza fedésbe a mérendő jel nullpontjait a referencia jel nullpontjaival. (A folyadék törésmutatójának meghatározásánál a nullázást a folyadéktartó edény kétszeres falvastagságának megfelelő üveglap fényútba helyezésével végezze.) Helyezze a fényforrás és érzékelő közé a vizsgálandó mintát (szerves-üveg tömb vagy folyadékkal teli edény), és határozza meg az időtolást.

A 100 MHz-es HAMEG oszcilloszkóp használata

A HAMEG HM 1004 mikroprocesszor vezérel oszcilloszkóp felépítése és kezelőszerveinek elhelyezése hasonlít a korábban megismert kisebb teljesítményű eszközére. Ezért csak néhány fontos különbségekre és lehetőségre hívjuk fel a figyelmet. Az oszcilloszkóp kétcsatornás. Az 1 mV – 20 V/osztás feszültségtartományokban, ill. A állásban a 0,5 s – 5 ns/osztás, B állásban pedig a 20 ms – 5 ns/osztás időtartományokban működik. A képernyőn történő alfanumerikus kijelzés és kurzor leolvasás teszi kényelmessé használatát. Kilenc mérési beállítás menthető el. A beépített RS-232 soros interface-en keresztül PC-ről vezérelhető. Fontos tulajdonsága, hogy a két függőleges bemeneti csatornához az A mellett egy második (B), több mint ezerszeres nagyítású időosztás-készlet is rendelkezésre áll, ami lehetővé teszi a bemenőjel igen kis részleteinek tanulmányozását. A berendezés előlapja az 5. ábrán látható.

5.ábra

A mérés szempontjából elsősorban a képernyő alatti 35-38. számú kezelőgombok érdekesek, melyek a kurzorvonalak megjelenítésével ill. állításával kényelmessé teszik a mérési eredmények leolvasását. A 35. gomb lenyomva tartása kapcsolja be vagy tünteti el a kurzor vonalakat. A 35. és 37. gombok rövid együttes lenyomása kapcsolja be (vagy ki) az ún. kurzorkövető funkciót, melynél mindkét kurzor vonal aktív (állítható).

A 37. gomb kettős rendeltetésű. Rövid lenyomásával I - II - I sorrendben változtatható hogy melyik kurzor vonal aktív. Az aktív kurzort folytonos pöttyözött vonal jelzi. A megszakított pöttyözött vonal inaktív (nem állítható) kurzort jelez. A 37. gomb hosszú lenyomva tartása kapcsol át a feszültség ($\setbox0\hbox{$\Delta V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és időmérés ($\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) között, és vissza. Feszültségmérő ($\setbox0\hbox{$\Delta V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) üzemmódban a kurzorvonalak vízszintesek, és távolságuk a képernyő alján kerül megjelenítésre. Időmérő ($\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) üzemmódban a kurzorvonalak függőlegesek, távolságuk vagy "$\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$..." (időmérés) vagy "$\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$..." (frekvenciamérés) formátumban kerül kijelzésre a képernyőn.

A kurzor vonalak a 38. jobbra-balra kitéríthető gomb segítségével mozgathatók. A mozgás sebessége nő a gombra kifejtett erővel. Ha a gombot elengedjük, automatikusan visszatér középre, és a kurzor megáll.

A kurzorvonalak alkalmazásával kényelmesen és nagy pontossággal olvasható le az időtolás.

Mérési feladatok

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

• A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.

1. Állítsa össze a mérőeszközt, állítsa be az oszcilloszkópot és az optikai elemeket!

• Az oszcilloszkópot melyik jelre érdemes triggerelni? Ha egy zajjal terhelt szinusz jelre triggerelünk, akkor milyen trigger szint mellett lesz a legkisebb illetve a legnagyobb az időmérés hibája?

• A mérési naplóba mindig jegyezze fel az oszcilloszkóp beállításait!

2. Mérje meg a különbségi frekvenciát! Ennek ismeretében határozza meg az időnyújtási tényező pontos értékét!

• A 60 MHz-es alapfrekvencia pontosnak tekinthető.

3. Határozza meg a levegőre vonatkozó fénysebességet a $\setbox0\hbox{$\Delta s(\Delta t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvénykapcsolat meredekségéből!

• Ezt a mérést csak az optikai elemek precíz beállítása mellett lehet pontosan elvégezni. A fényforrást nem elég egy adott pozíciónál a detektorra fókuszálni, hanem a fényforrás akár 1m-es mozgási tartományában végig a detektorra fókuszált jel mellett kell mérni. Ha ez nem teljesül, akkor elképzelhető hogy bizonyos pozícióknál a direkt nyalábnak csak kis része jut el a detektorba, ekkor elképzelhető, hogy a mért jel nagy részét többszörösen visszaverődő nyaláb, vagy a következő pontban ismertetett háttérjel adja.

• A mérési elektronikán belül előfordulhatnak áthallások, azaz akkor is mérünk 100kHz-es jelet, ha a detektort teljesen kitakarjuk. Határozzuk meg ennek a háttérjelnek az amplitúdóját. Ügyeljünk arra, hogy a mérés során a detektor végig ennél a zavaró háttérjelnél lényegesen nagyobb jelet mutasson (azaz a fényforrás jelének nagy része eljusson a detektorba).

• A mérést igyekezzünk a lehető legérzékenyebb oszcilloszkóp beállítások mellett elvégezni, azaz alkalmazzuk a lehető legkisebb időalapot és a lehető legnagyobb feszültségerősítést.

4. Határozza meg a szerves-üveg minta levegőre vonatkoztatott törésmutatóját!

• Vegye figyelembe, hogy törésmutató a közegekben vett fénysebességek hányadosa!

• Ez a mérés a mérőeszköz felbontóképességének határán mozog, így különösen ügyeljünk az optikai rendszer és az oszcilloszkóp optimális beállítására, illetve a mérési hiba reális meghatározására.

5. Határozza meg a víz levegőre vonatkoztatott törésmutatóját!