Tömegmérés rezonanciával és hangsebesség meghatározása

Új mérés! A leírás még változhat, DE a zh feladatok szempontjából fontos részek szerda este (2015.10.14) lefixálásra kerülnek!

A mérés célja:

• megismerkedni a hangtani mérések alapjaival, valamint a Fourier-transzformációval és annak alkalmazásával
• megismerkedni laboratóriumban használt Vernier LabPro számítógépes adatgyűjtő rendszerrel, és gyakorlatot szerezni a számítógéppel gyűjtött adatok feldolgozásában.

Ennek érdekében:

• áttekintjük egy hangvilla és egy furulya (síp) működési elvét a legegyszerűbb tárgyalás szerint
• átismételjük a Fourier-transzformáció alapjait
• méréseket végzünk a számítógépes adatgyűjtő rendszerrel, melynek keretében vizsgáljuk a megszólaltatott hangvilla és a síp által keltett hangokat, és meghatározzuk a levegőbeli hangsebességet
• kiértékeljük az eredményeket IGOR Pro szoftverrel

Elméleti összefoglaló

Bevezetés

A laborgyakorlat során egy hangvilla és egy saját készítésű síp által keltett hangrezgéseket vizsgáljuk a Vernier LabPro nevű számítógépes adatgyűjtő rendszer és egy mikrofon segítségével.

Mérések hangvillával

A hangvilla egy U alakú, általában acélból készített hangkeltő eszköz, melyet megütéssel szólaltathatunk meg. Sajátos geometriájának köszönhetően az alaphangon kívüli rezgések gyorsan lecsengenek, így 1-2 másodperc után a kívánt stabil rezgést biztosítja, nagyon kevés és gyenge magasabb hang kíséretében. Ezért a tulajdonságáért kedvelt eszköz a zenészek körében a hangszerek behangolásakor. Az önmagában megszólaltatott hangvilla jellemzően kis hangerővel szól, melyet némiképp befolyásol a megütés ereje, azonban egy megfelelő méretű rezgődobozhoz való csatolással sokkal hatékonyabban növelhetjük a hangerejét. A laborgyakorlaton egy ilyen eszközt fogunk használni, ennek lényege, hogy a félig nyitott fadoboz átveszi a rajta elhelyezkedő hangvilla rezgését, és azt átadja a benne lévő „légoszlopnak”, így felerősítve hallhatjuk a hangvilla rezgése által keltett hangot. Egy hangvilla alaphangjának kiszámolása az alábbi képlet alapján történhet, ilyenkor fontos ismernünk a villa különböző geometriai paramétereit ($\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), Young-modulusát ($\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), sűrűségét ($\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és másodrendű nyomatékát ($\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$).

$\[ f = \frac{1.875^2}{2\pi l^2} \sqrt\frac{EI}{\rho A}\]$

Ezt azonban egyszerűbb módon is elvégezhetjük, ha a csatolt rezgődobozt vizsgáljuk. Azt feltételezve, hogy a doboz a hangvillára van hangolva, a doboz hossza alapján megállapított frekvencia megegyezik a hangvilla frekvenciájával.

Egy ilyen rezgődobozban kialakuló állóhullámokra teljesül, hogy a doboz nyitott végénél duzzadó helyük van, míg a zárt végen csomópont alakul ki. Azaz $\setbox0\hbox{$4L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$4/3L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,$\setbox0\hbox{$4/5L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, stb. hullámhosszú állóhullámokat várhatunk, melyek közül a $\setbox0\hbox{$4L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú alaphang lesz a hallható a tranziensek gyors elhalása után.

Ezzel a frekvencia egyszerűen kiszámolható a $\setbox0\hbox{$c=\lambda\cdot f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ képlet alapján, ahol $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hangsebesség levegőben, $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az állóhullám hullámhossza és $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hang frekvenciája.

Ha megvizsgáljuk a hangvilla frekvenciáját megadó korábbi képletet, négyzet vagy téglalap alapú villaágakat feltételezve a másodrendű nyomaték $\setbox0\hbox{$I/A=b^2/12$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nek adódik, ahol $\setbox0\hbox{$b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a négyzet/téglalap oldalhossza (a két ágat összekötő egyenes mentén, azaz a rezgés tengelyébe eső oldal). A fenti képletet átalakítva láthatjuk, hogy megjelenik benne a villa ágainak tömege, mint paraméter.

$\[f = \frac{1.875^2}{2\pi l} \sqrt\frac{EI}{m}\]$

Ebből kifolyólag, ha változtatjuk a villa ágainak tömegét, akkor annak elhangolódik a frekvenciája. Ezzel az elvvel a hangvilla tömegmérésre is használható, ha a mérendő tömeget ráhelyezzük a villa egyik ágára, az elhangolja a frekvenciát, és ebből meghatározható a tömeg nagysága.

Ennél a leegyszerűsített leírásnál két fontos dolgot kell figyelembe vennünk: egyrészt, a mérendő tömeg anyaga és geometriája eltérő lehet, mint a villa paraméterei, így a fenti képlet nem alkalmazható a frekvencia kiszámolására. Ehelyett egy kalibrációt kell készítenünk, hogy különböző tömegek mennyire hangolják el a villa frekvenciáját. Természetesen az elv akkor működik, amikor az ismeretlen tömeg jóval kisebb, mint a hangvilla tömege.

Másik fontos megjegyzés, hogy a hangvilla előnye, a felharmonikusok gyors lecsengése, főként a nagyon precízen egyformára kialakított villaágaknak köszönhető. Így, amennyiben egy tömeget helyezünk az egyik ágra, ezt a precíz kialakítást elrontjuk. Ezért a mérés során a tömeg rögzítésére használt mágneseket nem csak az egyik ágra helyezzük, hanem mindkettőre, így biztosítva, hogy a villa kialakításának elrontása lehetőleg kicsi legyen.

Mérések síppal

A gyakorlat egyik feladata egy síp elkészítése és ennek vizsgálata. Az elkészítés pontos menete a Mérési feladatok között olvasható.

A síp működésének alapja, hogy a hangszerben egy olyan rezgő légoszlop tud kialakulni, amelynek frekvenciája a kívánt zenei hangot adja. A hangszer felépítése egyszerű, így kevés barkácsolással könnyen elkészíthető. A síp egy hosszú csőből áll, aminek anyaga jellemzően fa (esetleg műanyag). Ezt a csövet nevezik a síp testének. A test egyik végén, ahol a hangszerbe a levegőt fújjuk, egy keskeny, a levegő áramlását irányító rés helyezkedik el, majd ezt követi az úgynevezett labium (ajak), ami a hangszer talán legfontosabb része, mivel itt keletkezik a hang.

Amikor a sípba belefújunk, a beáramló levegő a labiumon „megtörik” és örvények keletkeznek, ezáltal a sípban lévő légoszlop rezgésbe jön és hang keletkezik. A hang keletkezésének elve hasonló, mint a hangvillánál használt rezgődoboznál, így a síp alaphangját egyszerűen kiszámolhatjuk annak hosszából. A rezgődoboz egyik vége a labium lesz, itt duzzadó helye van az állóhullámnak, míg a másik vég a síp vége, ahol szintén egy duzzadó hely lesz. Így a kialakuló állóhullámok rendre $\setbox0\hbox{$2L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,$\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,$\setbox0\hbox{$2/3L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hullámhosszúak lesznek, azaz az alaphang hullámhossza $\setbox0\hbox{$2L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A hangvillához képest jelentős különbség, hogy a síp esetén felharmonikusok is megjelenhetnek jelentősebb amplitúdóval, ennek mértéke függ a megfújás erősségétől.

Az Options/Graph Options/Axis Options gombok segítségével jeleníthetjük meg a 6. ábrán látható ablakot, ahol a grafikon tulajdonságait állíthatjuk be.

5.ábra: Trigger beállítása	6.ábra: A grafikon beállítása

A mérést a fő ablakban (7. ábra) található Collect/Stop gombbal indíthatjuk el, ill. állíthatjuk le.

7.ábra: Logger Pro fő ablak

A mérés végén az adatokat nem a Save utasítással kell elmenteni (ekkor olyan fájlt kapnánk, amit később is csak ezzel a programmal tudnánk megnyitni), hanem exportálni kell (File/Export As/Text')! Az így elmentett text fájlokat később bármely más adatkezelő programmal (Igor Pro, Excel, stb.) meg lehet nyitni.

Síp készítése

A síp (furulya) készítésének leírását az Ezermester c. újság 1998-as márciusi kiadásának alapján készítettük, a laborgyakorlatnak megfelelően átírva. Az eredeti leírás ezen a linken olvasható.

7.ábra: Síp sematikus vázlata

• A síp testének kiválasztása

A korábbi képletek alapján számolja ki, hogy milyen hosszúságú síptestet kell használnia a 440Hz-es alaphang megszólaltatásához. Vegye figyelembe, hogy a test hossza 4-5 cm nagyobb kell legyen, mint a valós rezgőcső hossza.

Vágjon le egy megfelelő hosszúságú darabot a műanyagcsőből!

• A labium kialakítása

Ez a sípkészítés legnehezebb művelete, mivel a megfelelően kialakított ajak a kulcsa a tiszta hang keltésének.

A cső egyik végétől mérjünk le 2 cm-t, majd egy szikével merőlegesen vágjuk be a csövet kb 5mm-nyire. Ettől a vágástól mérjünk le további 1 cm-t (azaz a végtől 3cm-t), majd innen a korábbi bevágásig ferdén vágjuk be a csövet, ezzel egy ék alakot kiformázva. Érdemes először kisebb meredekségű bevágást ejteni és utána korrigálni, nehogy túl mély éket alakítsunk ki.

8.ábra: Merőleges bevágás	9.ábra: Ferde bevágás a labium kialakításához

• Labium formázása

Az előző lépésben készített ékalak éle egyenetlen lesz, ami rontja a síp hangjának minőségét, nehéz lesz megszólaltatni és levegősen fog szólni. Ezen javíthatunk, ha egy reszelővel eldolgozzuk a vágáskor kialakult sorját, valamint az ékalakot szabályosra formázzuk. A reszelővel óvatosan dolgozzunk, mert túlreszelve elrontható az eddigi munkánk.

10.ábra: Megfelelően bevágott síp	11.ábra: Labium élének kialakítása, simítása

• Befúvónyílás kialakítása

A síp ék felőli végén ki kell alakítanunk egy, a test belső átmérőjéhez képest keskeny, nyílást, ez lesz a befúvónyílás. Ehhez vágjunk le egy kb. 2 cm hosszú darabor a farúdból, a pontos méretet az ék kezdete és a test végének megfelelően mérjük le. Ebből a fadarabból egy szike segítségével hasítsunk le egy darabot, enyhén átlósan, azaz egyik végén kicsit több anyagot szedjünk le. Ezt is érdemes kisebb lépésekben végezni, különösen ügyelve a balesetek elkerülésére!

12.ábra: Befúvónyílás dugójának levágása	13.ábra: Kész dugó szigetelőszalaggal megvastagítva

Amint elkészül a kívánt alak, helyezzük bele a síp végébe. Ha nem szorul a fadarab a síp testében, szigetelőszalaggal körbetekerve növelhetjük a vastagságot.

• Lezáró rúd elkészítése

Az előző lépések végén a síp az alaphangon megszólaltatható, ha a végét kezünkkel befogjuk. Más hangok keltéséhez azonban lyukak kialakítása helyett a síp testének hosszát fogjuk változtatni. Ehhez egy olyan lezárást készítünk, aminek pozíciója változtatható a síp testében.

A rendelkezésre álló farúdból mérjen le egy akkora darabot, ami elég hosszú, hogy a sípban elérjen a labiumig, valamint ilyen, teljesen betolt pozícióban is lógjon ki elegendő rész a mozgatáshoz.

A rúd egyik végét tekerje be szigetelőszalaggal, úgy, hogy lezárja a síp testét, de könnyen mozgatható legyen benne. Itt is érdemes több lépésben dolgozni, ne legyen túl vastag a szigetelőszalag réteg. Végül kenje be a szigetelőszalagot vákuumzsírral, ezzel elősegítve a könnyebb mozgatást és a jobb tömítettséget.

Ezzel a saját készítésű síp elkészült, amennyiben a labium kialakítása megfelelő, könnyen megszólaltatható és különböző hullámhosszú hangok kelthetők.

Mérési feladatok

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

• A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.

Hangvilla vizsgálata

1. Mérje meg a hangvilla frekvenciáját az adatgyűjtő segítségével! Állítson be egy megfelelő mintavételezési időt úgy, hogy a képernyőn legalább 10 periódus látszódjon. Üsse meg a hangvillát, majd a tranziensek elhalása után, amikor a számítógépen szabályos szinuszos jelalak látható, állítsa le a mérést.

• Az adatgyűjtés megfelelő beállításához számolja ki a hangvilla frekvenciáját kétféle módon (hangvilla paraméterei, rezgődoboz mérete)! A kapott értékeket vesse össze! Melyik módszerrel számolt frekvenciának nagyobb a hibája?
• Várja meg, a tranziensek elhalását, a tiszta alaphang beállását.
• Hova célszerű helyezni a mikrofont a méréskor?
• A méréshez célszerű a mérőrendszert oszcilloszkóphoz hasonló üzemmódban használni. Ehhez a Data Collection ablakban állítsunk be ismétlődő mintavételezést (repeat), melynek hatására a beállított mérési hossz eltelte után újra kezdi a mérést a rendszer. A mintavételezést a Data Collection ablak Trigger fülében szinkronizálhatjuk a mért jel periódusával

2. Vizsgálja a hangvilla csillapítását, ehhez mérjen a lehető leghosszabb ideig.

• A méréshez véges mintavételezést használjon, amit a Data Collection ablakban az ismétlődő mintavételezés kikapcsolásával érhet el.
• Az előzőekben meghatározott alapfrekvencia alapján határozza meg, milyen mérési frekvenciát célszerű beállítani, itt vegye figyelembe a Nyquist-Shannon-féle mintavételezési tételt!
• Fontos figyelembe venni azt is, hogy a Vernier LabPro adatgyűjtő által egy mérés alatt maximálisan 12000 mérési pont rögzíthető. A gyakorlatban ez azt jelenti, hogy a mérési idő és a frekvencia szorzata ennél kisebb kell legyen. Azaz 1 kHz-es mérési frekvencia esetén maximálisan 12 s-ig mérhetünk.
• A tranziensek hatásának elkerülése érdekében a mérést a megütés után indítsa, vagy vágja le az adatsor első másodperceit.

3. Határozza meg a hangvilla frekvenciáját gyors Fourier-transzformációval (FFT)! Ehhez használja az IGOR PRO szoftvert! Válasszon megfelelő mérési frekvenciát és időintervallumot, valamint (a kiértékeléskor) FFT ablakot.

• Mi alapján határozza meg az optimális frekvenciát és időtartamot? Milyen frekvencia felbontással tud így mérni? Miért fontos a mérésnek megfelelő FFT ablak kiválasztása?

4. Vizsgálja meg, milyen mértékben rontja el a hangvilla tulajdonságait a paramétereinek változtatása! Először helyezzen egy mágnest az egyik ágra és vizsgálja a rezgés lecsengését. Ezután helyezzen egy ugyanilyen mágnest a másik ágra, minél pontosabban a másik mágnessel megegyező helyre. Szintén vizsgálja meg a lecsengési időt, valamint minél pontosabban határozza meg az így kialakított hangvilla frekvenciáját. Határozza meg a mágnesek tömegét a frekvencia eltolódásából! Végezze el a mérést úgy, hogy mindkét mágnest az egyik ágra helyezi!

• Milyen irányú frekvenciaeltolódást vár a mágnesek felhelyezésekor? Becsülje meg ennek mértékét! (mágnes mérete, tömege, villa tömege, paraméterei, stb. becslése)
• Ha azzal a feltételezéssel élünk, hogy a felhelyezett mágnesek csak a villa tömegét módosítják, a frekvencia eltolódásából meghatározható a mágnesek tömege. Fejezze ki a mágnesek tömegét a mért frekvenciákkal!

5. Mérje meg különböző ismert tömegek esetén a frekvencia eltolódást és készítsen kalibrációs görbét, ami alapján egy ismeretlen tömeg által okozott frekvencia eltolódásból meghatározható a tömeg mértéke! Határozza meg, milyen tömegfelbontással tud ezzel a módszerrel tömeget mérni!

• Az előző feladatban azt feltételeztük, hogy a villára helyezett tömeg egyszerűen csak a villa tömegét módosítja. A fenti képleteket áttekintve látható, hogy ez egy jó közelítés, de pontos méréshez nem lesz megfelelő. Mivel egy így kialakított rendszer esetén a számítások bonyolultak, nem a képletek alapján célszerű számolni, hanem inkább ismert tömegekkel kalibrálni az eszközt.
• Gondolja át a mérés lehetséges hibáit, ezeket jegyezze le a mérési naplóba is!
• A frekvencia eltolódása nem csak a tömeg megnövekedéséből adódik, hanem a geometriai paraméterek változtatása is közrejátszik. Így a súlyok elrendezése is befolyásolja a mérést. Ebből kifolyólag, amennyiben lehetséges érdemes több kalibrációs görbét felvenni és ezekkel dolgozni.
• A frekvencia felbontás a mérési idő növelésével javítható, ez azonban a mintavételezési frekvenciát csökkenti. A mérés idejét a lecsengésnek megfelelően célszerű meghatározni, a mérési frekvenciánál figyelembe kell venni a Nyquist-Shannon-féle mintavételezési tételt, valamint az eszköz specifikációját.

6. Határozza meg két ismeretlen tömeg nagyságát minél pontosabban!

• Az előző feladat kalibrációs görbéi segítségével határozza meg az ismeretlenek tömegét, adja meg a hibáját.
• Ezt a mérést érdemes több mérési idővel elvégezni (és esetleg több mérési frekvenciával).

7. Készítsen egy olyan sípot, melynek alaphangja 440 Hz!

• A síp készítéséhez egy éles szikét használ, ezért különös óvatossággal járjon el! Szükség esetén kérje a mérésvezető segítségét!
• Számolja ki a megfelelő alaphang keltéséhez szükséges test hosszát, majd ettől 2-3 cm-rel hosszabb darabot vágjon le a PVC csőből.

8. Állítson elő különböző zenei hangokat (legalább 8-at)!

• A síp alaphangja 440 Hz, ebből a zenei hangok $\setbox0\hbox{$f_{n+1}=f_{n}*2^{frac{1}{12}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ képlet alapján számíthatók (félhang lépésekben). C-D-E-F-G-A-H-C' sorban E-F és H-C' között félhang távolság, a többi hang között egész távolság van.
• Számolja ki, hogy a különböző zenei hangok frekvenciájához milyen hullámhossz tartozik, ennek megfelelően határozza meg, hova kell helyezni a mozgatható lezárást.
• Méréssel ellenőrizze, milyen frekvenciákat kapott ezeknél a hosszaknál és vesse össze a várakozásokkal.

9. Az előző feladatban mért adatokból határozza meg a hangsebességet levegőben!

• Ábrázolja a $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-$\setbox0\hbox{$\lambda^-1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ grafikonon az adatokat és illesszen egyenest. A kapott meredekség megadja a hangsebességet.
• Vegye figyelembe a hőmérsékleti tényezőt és hasonlítsa össze a kapott értéket a várt adattal.

10. Két kiválasztott hang esetében vizsgálja a felharmonikusok megjelenését!

• Egy adott alaphang esetén milyen frekvenciáknál vár felharmonikusokat? Adja meg az első 2-3 felharmonikus értékét!
• Válasszon megfelelő mérési frekvenciát és időtartamot úgy, hogy 2-3 felharmonikus látszódjon!
• Ha a felharmonikusok arányát vizsgáljuk FFT-vel, jó választás a téglalapablak?