Kaotikus kettős inga vizsgálata V-scope-pal

A mérés célja:

• megismerkedni egy kaotikus rendszerrel,
• tanulmányozni a mozgás kaotikussá válását.

Ennek érdekében:

• röviden bemutatjuk a kaotikus kettős ingát,
• mérjük a kaotikus kettős inga mozgását V-scope segítségével,
• kiértékeljük a mérési eredményeket.

Elméleti összefoglaló

A kaotikus kettős inga

1. ábra

Kettős ingát úgy készíthetünk, hogy egy inga végéhez csuklóval egy másik ingát erősítünk (1. ábra). Ez a rendszer, egyszerűsége ellenére, kaotikusan viselkedik.

A káosz fogalma

2. ábra

A kaotikus rendszer viselkedése hosszútávon megjósolhatatlan. Ennek oka a kezdőfeltételekre való rendkívüli érzékenység: ha a rendszert a legcsekélyebb mértékben különböző kezdeti feltételekkel hagyjuk magára, akkor véges időn belül teljesen eltérően fog viselkedni. Ugyanakkor pontosan ugyanazt a kezdőállapotot – ha másért nem, a Heisenberg-féle határozatlansági reláció miatt – soha nem tudjuk megvalósítani.

Mikor lehet egy rendszer kaotikus? Ha a rendszernek legalább három szabad paramétere van és a rendszert leíró differenciál-egyenletek nemlineáris tagot is tartalmaznak. A három szabad paraméter azért szükséges, mert ekkor a fázistérben kialakulhat olyan trajektória, amely nem konvergál sem egy véges ponthoz, sem a végtelenbe, és ugyanakkor soha nem záródik. Két dimenzióban ez nem lehetséges (2. ábra).

A kettős inga, mint kaotikus rendszer

A kettős inga egy állapotát legegyszerűbben a két kar szöghelyzetével és szögsebességével adhatjuk meg. Ez összesen négy paraméter, de – konzervatív rendszer esetében – az energia-megmaradás miatt a négyből csak három paraméter változhat függetlenül. A rendszer differenciál-egyenletei könnyen felírhatóak és adott kezdeti feltételek mellett numerikus módszerekkel megoldhatóak. Numerikus modellezésnél, a valódi kísérletektől eltérően, természetesen megtehető, hogy pontosan ugyanabból az állapotból indítjuk el a rendszert - és ekkor a megoldás is ugyanaz lesz.

A mérési gyakorlaton azt vizsgáljuk, hogy különböző indítási helyzetek (azaz különböző kezdeti energiák) esetében mennyire érzékeny a rendszer a kezdőfeltételekre. Ehhez a kettős ingát a lehető legpontosabban ugyanabból a helyzetből többször egymásután el kell indítani, és az egyes mozgásokat össze kell hasonlítani. Az összehasonlítás sokféle paraméter szerint lehetséges, de a különbségek akkor a leglátványosabbak, ha az egyes karok forgásszögét ábrázoljuk az idő függvényében.

A V-scope mérőberendezés

A V-scope mérőberendezés és a Vscope for Windows szoftver részletes leírása a Csatolt ingák vizsgálata V-scope-pal című fejezetben található.

A mérési elrendezés

3. ábra

A gyakorlaton vizsgált kettős inga golyós csapágyakkal egymáshoz, illetve egy stabil állványhoz erősített fa lapokból áll (tehát az 1. ábrán látható rajztól eltérően kettős fizikai inga, ahogy 3. ábrán látható). A golyóscsapágyaknak köszönhetően a rendszer csillapítása kicsi (de természetesen nem nulla). Az energiaveszteség csökkentése érdekében fontos az állvány minél stabilabb rögzítése (ólom és beton nehezékekkel).

A mozgás vizsgálatakor a rögzített tengelyű, hosszú ingakar (továbbiakban nagy kar) rögzített végét választjuk a koordinátarendszer origójának. A két kart összekapcsoló tengelyhez rögzíthetjük a V-scope sárga, míg a rövidebb ingakar (továbbiakban kis kar) végéhez a kék gombocskát. A V-scope tornyait a kettős ingától kb. 3 m távolságra, az ingák lengéssíkjával párhuzamosan állítjuk fel. A méréshez használható „sablon”-ban a vízszintes tengelyt $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nek, a függőleges tengelyt $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nak definiáltuk.

Mérési feladatok

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

• A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.

1. Ellenőrizze, hogy a V-scope tornyai megfelelően vannak-e csatlakoztatva a mikroszámítógéphez, illetve a mikroszámítógép a PC-hez! Kapcsolja be a mikroszámítógépet és a PC-t, majd indítsa el a V-scope for Windows szoftvert! A „Sablonok” mappában nyissa meg a méréshez előkészített, de adatokat nem tartalmazó kaotikus.vsw fájlt („sablon”-t)! A Csatolt ingák vizsgálata V-scope-pal jegyzet 1.1.5 részében leírtak szerint állítsa be az origót a nagy ingakar tengelyéhez.

• A mérőpár egyik tagja tartsa ott valamelyik gombocskát a beállítás alatt!

Rögzítse a sárga gombocskát a nagy, a kék gombocskát a kis ingakar végén lévő tartóba, majd ellenőrizze a Csatolt ingák vizsgálata V-scope-pal jegyzet 1.1.4 részében leírt beállításokat!

• Ezután érdemes elindítani a mérést az inga nyugalmi helyzetében. Egyrészt ellenőrizheti a rendszer működését, másrészt a sárga gombocska $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátájából leolvashatja a nagy karhosszát.
• Ezután érdemes kiszámolni, hogy az egyes indítási szögekhez (5°, 30°, stb.) a sárga gombocska milyen $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátái tartoznak.

2. A nagy kar végén lévő cérna segítségével térítse ki a nagy kart körülbelül 5°-kal a függőlegeshez képest! A kis kart hagyja szabadon, függőleges helyzetben lógni! A piros „Record New Data” gombra való kattintással indítsa el a V-scope-ot és a „műszerek”-en olvassa le a sárga gombocska $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátáját! Ha szükséges, finoman változtasson az induló helyzeten, majd ha a gombocska a kívánt helyen nyugalomban van, engedje el a cérnát!

• Vigyázzon arra, hogy az indításkor ne rántsa meg a cérnát, az inga ne kapjon kezdősebességet!
• A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven a saját hallgatói mappájába!

Ezután a piros „Record New Data” gombra való kattintással indítsa el újra a V-scope-ot, és a „műszerek” segítségével állítsa be a lehető legnagyobb pontossággal az előző indítási helyzetet! Győződjön meg róla, hogy mindkét inga nyugalomban van és engedje el a cérnát!

• A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven!

Ismételje meg még kétszer a mérést! (Tehát ugyanabból az indítási helyzetből összesen 4 mérést végezzen!)

3. Ismételje meg a 2. pontban leírtakat a nagy ingakar 30, 60, 90, 120, 150 és 175°-os kitérítésével! Mindegyik esetben négy-négy mérést végezzen!

4. Nyissa meg a Vscope for Windows szoftver segítségével egyenként a fájlokat! A visszajátszó gombok (Csatolt ingák vizsgálata V-scope-pal jegyzet 1.1.5 része, 3.ábra táblázata) segítségével keresse meg azt a pillanatot, amikor a mozgás elindul! Az „óráról” (az időt mutató „műszerről”) olvassa le az ehhez a pillanathoz tartozó $\setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időt! Az Edit/Trim Data parancs hatására megjelenő „Trim Data” ablakban (Csatolt ingák vizsgálata V-scope-pal jegyzet 1.1.7 része) vágja le a $\setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpont előtti adatokat! Ezáltal a mozgás kezdőpillanata $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lesz. Ehhez hasonlóan vágja le a $\setbox0\hbox{$t=30\,\text{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ utáni adatokat! Így a továbbiakban egyforma hosszúságú adatsorokkal lehet dolgozni. Ezután mentse el a módosított fájlt! A Save Table paranccsal kapcsolatos problémák miatt (Csatolt ingák vizsgálata V-scope-pal jegyzet 1.1.6 része) az adatok text­fájlba való kiolvasásához használja a kiolvaso.exe programot!

• Az adatok további kiértékelése szabadon választható programmal (pl. Excel táblázatkezelő, Pascal, Basic, gnuplot, stb.) végezhető.

5. A V-scope a gombocskákat nem egy időben, hanem felváltva méri (először a sárga, majd a kék gombocskát). Így a kék gombocska relatív helyzetének pontosabb kiszámításához a sárga gombocska koordinátáihoz tartozó időadatokat a mintavételezési periódussal csökkenteni kell, és a kék gombocska koordinátáihoz tartozó időpontokhoz interpolációval kell meghatározni a sárga gombocska koordinátáit. Ezután a sárga és a kék gombocska $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátáiból határozza meg a kék gombocska sárga gombocskához viszonyított $\setbox0\hbox{$x_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ relatív koordinátáit!

6. A sárga gombocska $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, illetve a kék gombocska $\setbox0\hbox{$x_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$y_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ koordinátáiból határozza meg a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Figyeljen arra, hogy a kis kar többször is körbefordulhat, ezért a szög $\setbox0\hbox{$2\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél nagyobb, illetve negatív is lehet!

• Egy lehetséges módszer a gombocskák sebességének, majd a karok előjeles szögsebességének meghatározása, majd ennek a függvénynek idő szerinti numerikus integrálása. Természetesen más módszert is választhat.

7. Ábrázolja (külön-külön) a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Az ugyanonnan elindított mérések eredményeit ugyanabban a grafikonban ábrázolja! Vizsgálja meg, hogy különböző indítási helyzetek esetében mennyi ideig „reprodukálódik” a mozgás és mikor válik kaotikussá! Eredményeit foglalja táblázatba és értékelje!

• Becsülje meg a mérés hibáját is!