Mozgó töltések és áramok által keltett tér
Tartalomjegyzék |
Az elektromos áram mágneses tere
A Biot-Savart törvény
A válasszal, hogy mi is az indukciós tér forrása, még adósak vagyunk. Néhány egyszerű kísérlettel könnyű bemutatni, hogy az elektromos áram mágneses teret kelt maga körül. Egy kis vasreszelék vagy egy iránytű alkalmazásával szemléletesen láthatóvá lehet tenni egy áramjárta vezető mágneses terét.
 |
 |
 |
| 1.1.1 a ábra | 1.1.1 b ábra | 1.1.1 c ábra |
A jelenség vizsgálatához tekintsük az elképzelhető legegyszerűbb modellt, vagyis vizsgáljuk meg egy igen kisméretű, áramjárta vezetékdarab által keltett mágneses indukciós teret (1.1.2 ábra) és adjuk meg ennek matematikai alakját!
 |
| 1.1.2 ábra |
A mérések azt mutatják, hogy a 
áramjárta kis vezetékdarab indukciós terét az 
helyvektorral megadott pontban a Biot-Savart törvény segítségével adhatjuk meg:
![\[d\vec B = \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{d\vec s \times \vec n}{r^2} \]](/images/math/8/9/e/89ef1468568844f12b21b181312740c3.png) |
(1.1.1) |
ahol is 
az -el párhuzamos egységvektor és 
a vákuum mágneses permeabilitása, melynek értéke: 
Tm/A.
Jó példa a Biot-Savart törvény egyszerű alkalmazására a körvezető terének meghatározása a szimmetriatengelyen. (Természetesen jó példa a végtelen hosszú, áramjárta vezető is, de ezt a problémát majd az előadáson vagy a gyakorlaton oldjuk meg.) Ehhez tekintsük az ábrán látható 
sugarú körvezetőt, melynek indukciós terét a szimmetriatengelyen a kör középpontjától x távolságban szeretnénk meghatározni.
 |
| 1.1.3 ábra |
A körvezető egy kis, az 
pontot is tartalmazó, 
darabkáján átfolyó áram hatásaként kialakul a – felfelé mutató – 
tér, mint ez az 1.1.3 ábrán is látszik, és amelynek nagysága a Biot-Savart törvény alapján:
![\[dB = \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{r^2}= \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{a^2+x^2} \]](/images/math/6/3/7/6374a089e889774a7a573e978fd3f738.png) |
(1.1.2) |
mivel a 
pontba mutató merőleges a vezető síkjára, így a vezető darabra is. Jól látszik az ábrán az is, hogy az átellenes, azaz a 
pontot is tartalmazó, ugyanolyan hosszú szakasz által keltett 
tér a tengelyre szimmetrikusan helyezkedik el az pontot magába foglaló szakasz 
teréhez képest. A két vektor tengelyre merőleges komponensei összeadásnál kiejti egymást. Ez azt jelenti, hogy mindössze a tengely-menti komponensekkel kell számolnunk, azaz:
![\[dB = \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{a^2+x^2}sin(\phi)= \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac{ds}{a^2+x^2} \frac {a}{\sqrt {a^2+x^2}}= \frac {\mu_o}{4\pi} I \frac {ds} {\left[a^2+x^2 \right]^{\frac32}}a \]](/images/math/7/3/d/73d9d1ac59e7b4b1bceaeaccd34a3797.png) |
(1.1.3) |
A pontban megkapjuk az indukciós tér nagyságát, ha kiintegrálunk az egész körre, azaz helyett 
– t helyettesítünk be:
![\[B = \frac {\mu_o}{2} \frac {Ia^2} {\left[a^2+x^2 \right]^{\frac32}} \qquad {\rm illetve} \qquad \vec B = \frac {\mu_o}{2\pi} \frac {\vec {\mu}} {\left[a^2+x^2 \right]^{\frac32}} \]](/images/math/0/7/0/0705f2dcb4cc3cf726c7f4fba34656d6.png) |
(1.1.4) |
ahol kihasználtuk, hogy a körvezető mágneses momentuma 
. Ebből az eredményből például következik, hogy a körvezető középpontjában az indukciós tér nagysága:
![\[B = \frac {\mu_o}{2} \frac {I} {a} \]](/images/math/a/7/f/a7f76e566d0d05910f53de3917db9299.png) |
(1.1.5) |
Az 1.1.3 - ből pedig következik, hogy távoltérben 
a 
– nel. Ez igen érdekes eredmény, hiszen az elektrosztatikában láttuk, hogy egy elektromos dipólus elektromos terének nagysága távoltéri közelítésben szintén a távolság köbével fordítottan arányos. Ez azt jelenti, hogy egy körvezető tere hasonló egy északi és egy déli pólussal rendelkező rúdmágnes (mágneses dipól) teréhez, lásd a 1.1.4 a. és b. valamint az 1.1.5 ábrát.
 |
 |
| 1.1.4 ábra | 1.1.5 ábra |
Foglaljuk most össze ezt az igen fontos eredményt: egy köráram bizonyos szempontból úgy viselkedik, mint egy rúdmágnes, azaz a mágneses tere (távoltérben) hasonló szerkezetű. Azt is láttuk , hogy a mágneses térbe helyezett köráramra ható forgatónyomaték is hasonlóan írható fel (Elektromos töltések mozgása statikus mágneses térben 8.3), mint egy dipólus (mágneses) esetében. (Ez - az elektrosztatikai analógiát felhasználva - abból következik, ahogyan az elektromos dipólus kölcsönhat az elektromos térrel, azaz 
; könnyű észrevenni a hasonlóságot a 
formulával.)
Az Ampèr törvény
Bár a Biot-Savart törvény alkalmazása áramjárta vezetők mágneses indukciós terének meghatározására a magnetosztatikában egy jól használható általános módszer, azonban néhány, valamilyen szimmetriával rendelkező elrendezés esetében egy másik módszer segítségével könnyebben, azaz egyszerűbb számolással juthatunk ugyanarra az eredményre. Lássuk ezt a másik módszert! Ehhez tekintsük a következő ábrát!
 |
| 1.2.1 ábra |
Az áramokat körülvevő - akár fiktív – zárt hurok mentén kiintegrált indukciós tér arányos a hurkon átmenő teljes árammal; ez az Ampère törvény:
![\[ \oint\limits_s \vec B d\vec s = {\mu_o}\sum_{j=1}^N I_j \]](/images/math/0/a/d/0ad9a6482cbb040e55937f16010636d6.png) |
(1.2.1) |
ahol a 
skalárszorzatot jelent.
Azt, hogy az áramokat milyen előjellel vegyük figyelembe a jobbkéz-szabály alapján határozhatjuk meg:
 |
 |
| 1.2.2 a ábra | 1.2.2 b ábra |
A 1.2.1 ábrán látható elrendezést tekintve tehát: 
.
Az Ampère-törvény használhatóságára lássunk két példát! Az első az áramjárta 
hosszú, egyenes vezető tere. A 1.1.1 a ábra jól mutatja, hogy a mágneses indukciós tér szerkezete – az elrendezés hengerszimmetriájából adódóan – olyan, hogy nagysága csak a vezetőtől mért távolságtól függ; irányának megállapításához pedig a jobbkéz-szabály vagy a Biot Savart alkalmazására van szükség. A törvény alkalmazása most már igen egyszerű (az 1.2.2 b ábra alapján):
![\[ \oint\limits_s \vec B d\vec s = 2r\pi B \qquad {\rm illetve} \qquad {\mu_o}\sum_{j=1}^N I_j = {\mu_o}I \]](/images/math/f/8/d/f8d46f7caeb22bf6fbe912df291d5438.png) |
(1.2.2) |
tehát:
![\[ 2r\pi B = {\mu_o}I \qquad {\rm azaz} \qquad B = \frac {{\mu_o}I}{2r\pi} \]](/images/math/8/f/5/8f5969acd97319c494ff27a154247b5f.png) |
(1.2.3) |
A másik – viszonylag egyszerű, de igen fontos – elrendezés a szolenoid vagy hosszú, egyenes tekercs, amelynek hossza általában jóval nagyobb, mint az átmérője; lásd a 1.2.3 a és b ábrát:
 |
 |
| 1.2.3 a ábra | 1.2.3 b ábra |
A 1.2.3 b ábra, mely a szolenoid mágneses terét mutatja vasreszelékkel, jól szemlélteti azt a tapasztalati tényt (ezt egyébként a Biot-Savart törvény segítségével ki is lehet számítani, de csak a bátrabbak próbálkozzanak vele; a számításokból egyébként az is kijön, hogy az indukciós tér a tekercs végénél fele akkora, mint belül), miszerint az indukciós tér a tekercsen belül homogén, míg a szolenoidon kívül közvetlenül mellette csaknem zérus. Kihasználjuk még azt is, hogy az indukciós tér vektora a tekercs szélénél csaknem párhuzamos a tekercs tengelyével. Tekintsük most az 1.2.4 ábrán látható 
menetű, 
hosszúságú szolenoidot:
 |
| 1.2.4 ábra |
Ezután próbáljuk meg alkalmazni az Ampère-törvényt! Az 1.2.1 bal oldalán szereplő körintegrált a kék vonallal jelölt hurokra kell kiszámítani. Az előzőekben felsorolt tapasztalati tények alapján (melyeket a 1.2.3 b ábra szemléltet) a körintegrál egyszerűsödik a 
szorzatra, míg az összáram: 
(hiszen az 
áram -szer megy át a hurok által határolt területen). Ezeket a tagokat behelyettesítve az 1.2.1-be némi átrendezés után kapjuk a szolenoid belsejében kialakult indukciós tér nagyságát:
![\[ B = \frac {{\mu_o}NI}{\ell} \]](/images/math/5/b/f/5bf5b2eef48e5c9d288a026f37c40d38.png) |
(1.2.4) |
A toroid (1.2.5 a ába) esetében hasonlóan járunk el a mágneses indukciós tér nagyságának meghatározásánál.
 |
 |
| 1.2.5 a ábra | 1.2.5 b ábra |
Első közelítésben úgy tekinthetünk egy – az ábrán is látható – toroidot, mint egy körbe hajlított szolenoidot, amelynek hossza helyett most a toroid középkörének 
kerületét helyettesítjük. Ezek szerint tehát a szaggatott vonal mentén B értéke:
![\[ B = \frac {{\mu_o}NI}{2r\pi} \]](/images/math/3/9/4/3946c8f0297e1118e9e7e5bcadede1aa.png) |
(1.2.5) |
Azonban nem ez az igazán lényeges különbség a szolenoid és a toroid között. A szolenoid mágneses erővonalai kijutnak a tekercs belsejéből és "kívül záródnak", míg a toroid indukciós erővonalai (koncentrikus köröket alkotva; lásd az 1.2.5 b ábra) belül záródnak és kívül az indukciós tér csaknem zérus.
