Termoelektromos jelenségek
A Landauer-formula tárgyalásakor láttuk, hogy egy elektródából egy egycsatornás nanovezetékbe folyó áram az elektróda Fermi-függvényének energia szerinti integrálja szerint származtatható:
Ha egy transzmissziós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó egycsatornás nanovezeték elektródái közé feszültséget kapcsolunk, a nanovezetékben
áram folyik, mely alapján vezetőképességet kapunk. A következőkben azt vizsgáljuk meg, hogy mi történik, ha elektródáknak nem csak a kémiai potenciálja tér el, hanem a hőmérsékletük is különböző lehet (1. ábra).1. ábra. Különböző kémiai potenciálú és hőmérsékletű elektródák közötti átmeneti valószínűségű szórócentrummal rendelkező egycsatornás nanovezeték elektromos és hőtranszport tulajdonságaira vagyunk kíváncsiak. |
Az elektromos áram továbbra is a fenti képlettel számítható figyelembe véve, hogy az elektródák Fermi-függvényeiben nem csak a kémiai potenciál, hanem a hőmérséklet is eltérő:
A termodinamikából ismert összefüggés alapján hasonlóan származtatható az elektródából a nanovezetékbe folyó hőáram is:
illetve ennek megfelelően a két elektróda között folyó hőáram transzmissziós valószínűség esetén:
Itt fontos megjegyezni, hogy ha az első elektródából/elektródába folyó hőáramot számítjuk, akkor a fenti képletben szerepel. Ugyanígy számíthatnánk a 2. elektródából/elektródába folyó hőáramot, ekkor az energia szerinti integrálban szorzófaktor szerepelne. Mivel ez a két számolás ugyanakkora hőáramot kell hogy adjon, így a kétféle számolás szükségszerűen ugyanarra az eredményre vezet.
A fentiek alapján az elektromos vezetőképesség számolását (Landauer-formula) kiegészítve kiszámolhatjuk az 1. ábrán látható rendszer hővezetőképsségét, illettve Seebeck- és Peltier-együtthatóját is.
Termofeszültség számolása (Seebeck-effektus)
Számoljuk ki az 1. ábrán szereplő rendszerre az elektromos áramot a két elektróda eltérő hőmérséklete esetén! Ehhez hívjuk segítségül a szilárdtestfizika alapjai tárgyban már megismert Sommerfeld-sorfejtést, melynek segítségével egy tetszőleges energiafüggő mennyiség Fermi-fügvénnyel vett szorzatának integrálja közelíthető:
Ezen Sommerfeld-sorfejtés alapját az képezi, hogy az függvényt alakban közelítjük, ahol a függvényt a 2. ábra szemlélteti. A Sommerfeld-sorfejtés első tagja a zérus hőmérsékletű Fermi-függvénnyel, azaz -nél zérussá váló lépcsőfügvénnyel vett integrál. A második tag energiafüggetlen esetén értelemszerűen zérust ad (lásd 2. ábra), így ezen integrál első rendben -vel arányos. A 2. ábra alpján a függés is indokolható.
2. ábra. A Sommerfeld-sorfejtés szemléltetése. A függvényen látható negatív és pozitív csúcs alatti (egyenlő) terület nagyságrendbe esik, így . |
A Sommerfeld-sorfejtés alapján:
Ha energiafüggését csak lineáris rendben tekintjük, , így
ahol , , , pedig a transzmissziós valószínűség átlaga és között. Tegyük fel, hogy csak egy végtelen belső ellenállású feszültségmérőt kapcsolunk a két elektróda közé. Ekkor a nanovezetéken értelemszerűen zérus áram folyik. Ha a két elektróda hőmérséklete megegyezik, akkor a Landauer-formulává egyszerűsödő fenti képlet szerint zérus áramnál zérus feszültséget mérünk. Ha viszont a két elektróda hőmérséklete eltér, akkor zérus áram mellett
termofeszültség jelentkezik, ahol a nanovezeték Seebeck-együtthatója. Látszik, hogy nagy termofeszültséget erősen energifaüggő transzmisszió esetén kapunk. Ezt szemléletesen is megérthetjük a 3. ábra segítségével. Először tételezzük fel, hogy a két elektróda kémiai potenciálja még megegyezik. Ekkor a közös kémiai potenciál fölött a melegebb oldalon több betöltött elektronállapot található, így onnan elektronok indulnak meg a hidegebb oldal felé. A közös kémai potenciál alatt viszont a hidegebb oldalon található több betöltött, míg a melegebb oldalon több betöltetlen állapot, így itt a melegebb elektróda felé indulnak meg elektronok. Ha a transzmisszió energiafüggetlen, akkor a kémiai potenciál fölötti és alatti energiáknál elinduló ellentétes előjelű áramkomponensek kiegyenlítik egymást, így összességében nem történik töltésátrendeződés. Ha viszont a transzmisszió erősen energiafüggő, akkor ezen két áramkomponens eltér, és így töltések rendeződnek át az egyik elektródáról a másikra, így végül egy termofeszültség alakul ki a két elektróda között, és ennek köszönhetően egy véges (termo)feszültség épül fel a két elektróda között egészen addig míg az áram nullává nem válik.
3. ábra. Seebeck-effektus fizikai alapjának szemléltetése. |
Hővezetőképesség, Wiedemann-Franz törvény