Nagyfrekvenciás jelek terjedésének fizikai alapjai
Tartalomjegyzék |
Bevezetés
A laborgyakorlat célja, hogy a nagyfrekvenciás (
MHz) méréstechika és jelátvitel területén felmerülő alapfogalmakat és jelenségeket bemutassa. A legfontosabb amit érdemes megjegyezni az, hogy az alacsony frekvenciás hálózatok vizsgálatakor megszokott leírásmódok nagyobb frekvenciákon érvényüket vesztik, és a hagyományos áramköri jelenségeken túlmutató, szokatlan jelenségek lépnek fel, mint pl. a jelek reflexiója. A fizika szempontjából itt a Maxwell-egyenletek nagyfrekvenciás, azaz hullámjelenségeket is figyelembe vevő alkalmazásáról van szó kábelek esetére.
A XIX. század közepén felmerült az igény a nagy távolságokra történő adattovábbításra, akár kontinensnyi távolságokban, pl. tenger alatti kábelek segítségével. (Az első transzatlanti kábelt 1858-ban helyezték üzembe.) Hamar kiderült, hogy a vezetékben történő jeltovábbításánál lényeges a hullámjelenségek figyelembevétele. Ez a technológiai fejlődés és igény az elméleti leírásra időben közel volt a Maxwell-egyenletek (1861) megszületéséhez. A vezetékben terjedő hullámjelenségek leírását ma mint az ún. távíróegyenleteket ismerjük. Ez a Maxwell-egyenletek által megjósolt elektromágneses hullámjelenségek egyik gyakorlati alkalmazása, és e leírás gyakorlati sikere is inspirálóan hatott az elektromágneses sugárzás későbbi felfedezésére (Hertz, 1886).
A fizikus tanulmányok során eddigiekben felmerült egyenáramú (DC) és alacsony frekvenciás váltóáramú (AC) hálózatok vizsgálatakor nem törődtünk azzal, hogy a jel terjedési sebessége véges. Feltételeztük, hogy adott ponton feszültséget kapcsolva egy áramkörre az pillanatszerűen megjelenik minden azonos potenciálú helyen. Mindez nyilvánalóan érvényét veszíti, amikor a jel számára szükséges terjedési idő, 
(itt 
a kábel hossza, 
a közegben érvényes fénysebesség), összemérhető a jel periódusidejével: 
(a gyakorlatban inkább a 
feltétel a használatos). Például a transzatlanti kábel esetére az így kapott frekvencia 
Hz. Ez az eredmény azt jelenti, hogy a hullámjelenségek figyelembe vétele nélkül a transzatlanti kommunikáció csak ennél lényegesen alacsonyabb frekvencián, mai szóhasználattal kb. 
Hz sávszélességen (azaz 6 bit/sec) mehetne csak végbe.
A hullámjelenségek figyelembevétele a modern kommunikációs eszközöknél még fontosabb, mivel pl. 9 GHz-es vivőfrekvenciára (ami egy elterjedt kommunikációs sáv) a hullámhossz mindössze 3 cm. Egy másik gyakorlati példánk a számítógépek, melyek tipikusan 2-3 GHz-es jelekkel dolgoznak (
), melyeket 10-20 cm távolságra juttatnak el, így itt nyilvánvalóan szükséges a hullámjelenségek figyelembevétele az áramkörök tervezésekor. A későbbi tanulmányaink során hasonló jelenségekkel találkozhatunk az Önálló labor tárgy NMR (magmágneses-rezonancia) és ESR (elektronspin-rezonancia) laborgyakorlatain.
Elméleti háttér
A távíróegyenletek
Tekintsük a jelet továbbító vezeték egy infinitezimálisan kicsi darabját, ami az 1. ábrán látható. Ezt legáltalánosabban egy soros, ún. elosztott ellenállás, 
(egysége Ohm per méter), elosztott induktivitás, 
(egysége Henry per méter), elosztott kapacitás, 
(egysége Farád per méter), és a két drót közti elosztott vezetés, 
(egysége Siemens per méter) jellemzi.
A soros ellenállás oka a vezetékdarabokban lévő veszteség, az induktivitás oka pedig az, hogy az egyes drótdarabokat mágneses tér veszi körbe, ezért lesz egyetlen drótszálnak is önindukciója. A írja le a két vezetékdarab közti elektromos vezetést, ami akkor is jelen van, ha nagyon jó dielektrikum választja el a két vezetőt egymástól. Mivel a két drót nincs azonos potenciálon, ezért lesz köztük a kapacitás.
 |
| 1. ábra: A jelterjedésben vizsgált vezeték egy darabjának áramköri modellje. |
Látható, hogy a fenti értékek közül értéke elsősorban a vezető anyagi minőségétől függ (értéke nagyfrekvencián a skin-effektus miatt megnő), azonban , és értéke nagyban függ attól, hogy a két drót egymáshoz képest hogyan helyezkedik el (pl. sodort érpárra 
, de értéke nagy). Egymástól adott távolságra elhelyezkedő drótpár esetére értéke fix, viszont nagyban függ a környező dielektrikumtól (utóbbi probléma a sós víz miatt a transzatlanti kábelnél merült fel). Mindezen problémákra kínál megoldást a koaxiális kábel (Heaviside, 1880), amiben a földelt külső vezetéken belül helyezkedik el a másik drót. Ennek előnye, hogy minden paramétere jól definiált, mind az elektromos, mind a mágneses erővonalak belül a két koaxiális vezeték között helyezkednek el, amint azt a 2. ábra mutatja. A korábbi merev falú, levegővel kitöltött koaxiális kábeleket mára a rugalmas dielektrikummal kitöltött kábelek váltották fel (tipikusan 
és 
).
 |
2. ábra: A koaxiális vezeték keresztmetszete az elektromos és mágneses tér  , ill.  vonalaival a kábel alapvető, ún. TEM00 módusára. A belső vezetéken változó feszültség van, míg a külső leggyakrabban le van földelve.
|
A koaxiális kábelek hosszegységre eső kapacitására és önindukciós együtthatójára e két paraméter definiciójából adódik:
![\[ \widetilde{C}=\frac{2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_{\text{r}}}{\ln(D/d)}, \qquad \widetilde{L}=\frac{\mu_0 \mu_{\text{r}}\ln(D/d)}{2\pi}, \]](/images/math/6/9/0/690a2bceed2cc1530ee78e457e0c9a56.png)
\noindent ahol 
az árnyékolás belső átmérője és a kábel belső vezetőjének külső átmérője, 
és 
az ismert fizika állandók, 
és 
az anyagra jellemző paraméterek.
A távíróegyenletek bemutatásához a legegyszerűbb eset tárgyalásához feltesszük, hogy mindkét drót tökéletes vezető (
) és tökéletesen szigetelt egymástól (
), tehát a jelenség csak és -től fog függeni. (A teljesen általános eset is megoldható, csak bonyolultabb eredményekre vezet.) Ekkor mind a feszültség (
), mind az áram (
) hely- és időfüggő lesz, és leírásukra a következő két csatolt, lineáris, elsőrendű parciális-differenciálegyenlet adódik (Heaviside, 1880):
![\[ \begin{aligned} \frac{\partial U(x,t)}{\partial x}=-\widetilde{L} \frac{\partial I(x,t)}{\partial t}\\ \frac{\partial I(x,t)}{\partial x}=-\widetilde{C} \frac{\partial U(x,t)}{\partial t}. \end{aligned} \]](/images/math/b/4/2/b42c7453324b14212652250b1c030ea8.png)
Ezek a távíróegyenletek a Maxwell-egyenletekből véges differenciák segítségével elemi úton levezethetők. További összevonással két ekvivalens hullámegyenletet kapunk mind az áramra, mind a feszültségre:
![\[ \begin{aligned} \frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial t^2}=\frac{1}{\widetilde{L}\widetilde{C}}\frac{\partial^2 U(x,t)}{\partial x^2}\\ \frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial t^2}=\frac{1}{\widetilde{L}\widetilde{C}}\frac{\partial^2 I(x,t)}{\partial x^2}. \end{aligned} \]](/images/math/7/b/2/7b2d296fb325fdba98591229785c26e2.png)
Az ismert alakú hullámegyenletekből leolvasható, hogy a kábelben terjedő zavar sebessége 
, és a legáltalánosabb megoldás a feszültségre és áramra:
![\[ \begin{aligned} U(x,t)=U^+ f(\omega t- k x)+U^-f(\omega t+ k x)\\ I(x,t)=I^+ f(\omega t- k x)+I^-f(\omega t+ k x), \end{aligned} \]](/images/math/c/d/d/cdd1833774e27b35ce35085d1bddd450.png)
ahol 
a terjedő hullám körfrekvenciája, 
pedig a hullámszáma. 
és 
a pozitív, illetve negatív 
irányba terjedő jel amplitúdója, 
egy tetszőleges függvény. Vegyük észre, hogy a 
mennyiség dimenziója valóban m/s.
Egy speciális eset az, amikor a kábelen csak egy irányba haladó hullám van jelen. Ez a megoldás:
![\[ \begin{aligned} U(x,t)=U_0 e^{i(\omega t- k x)}\\ I(x,t)=I_0 e^{i(\omega t- k x)}. \end{aligned} \]](/images/math/1/7/b/17bda5e19986fa1b178bd4606ac94bcb.png)
Ezt a speciális megoldást a távíróegyenletekbe visszaírva azt kapjuk, hogy a feszültség és áram aránya a haladó hullámra:
![\[ \frac{U(x,t)}{I(x,t)}=\sqrt{\frac{\widetilde{L}}{\widetilde{C}}}=Z_0, \]](/images/math/4/2/0/42092ec1c6d0285584f917e078fd290a.png)
ahol a 
ellenállás dimenziójú mennyiséget a kábel hullámimpendaciájának nevezzük.
Visszaverődések a kábel végéről
A hullámegyenlet konkrét megoldását a kezdeti és peremfeltételek (pl. a drót végén előírt amplitúdó) ismeretében kaphatjuk meg. Középiskolás hangtani jelenségekkel analóg a következő két eset: amikor a koax kábel végét rövidre zárjuk (
), ill. amikor a koax kábel végén szakadás van (
). E két esetet szemlélteti a 3. ábra. Amennyiben a vezeték hossza és a gerjesztő hullám frekvenciája között jól meghatározható összefüggések állnak fenn (
a zárt végre és 
nyitott végre, 
egész), a vezeték mentén feszültség állóhullámok alakulnak ki. A csomó- és duzzadóhelyeket a jól ismert bezárt illetve nyitott végű síppal való analógia alapján kaphatjuk meg. E két esetet a hanghullámokra vonatkozó analógia alapján úgy érthetjük meg, hogy mind a lezárt, mind a nyitott végről visszaverődik a hullám, és a kábelmenti feszültségben látható állóhullám kép az odafelé haladó és visszavert hullámok interferenciájának eredménye. A DC áramköröknél szerzett ismeretek azt mondanák, hogy a feszültség a rövidrezárt drótpárban végig 0, míg a szakadásos végű drótpárra végig a meghajtó generátor feszültségét veszi fel.
 |
3. ábra: Sematikus áramkör szinuszos meghajtó generátorral aminek  kimenő ellenállása van, koaxiális vezeték aminek a végén  lezáró impedancia van. A generátorból jön ki a teljes teljesítmény ha  . A lezárás három értékére vonatkozó vezetékbeli feszültség eloszlást is mutatjuk 20 pillanatfelvételre, amikor  . Vegyük észre, hogy esetén a vezetékben homogén a feszültség maximuma,  esetén mindkét végén csomópont van (ekkor forráson is 0 feszültséget mérünk), és  esetén mindkét végén duzzadóhely van.
|
A nagyfrekvenciás adat- vagy energiaátvitel nyilvánvalóan azt követeli meg, hogy a kábel végéről ne legyen visszaverődés. Az A. függelékben megmutatjuk, hogy ez akkor lép fel, amennyiben a lezáró impedanciára fennáll:
![\[ Z_{\text{l}}=Z_0\,, \]](/images/math/1/d/6/1d645ae2a5758b9be2e2e9eabed95f2b.png)
ahol 
a vezeték hullámimpedanciája. Amennyiben ez a feltétel nem teljesül, akkor a visszavert és a kábel végére érkező hullámok amplitúdójának arányára fennáll:
![\[ \Gamma=\frac{Z_{\text{l}}-Z_0}{Z_{\text{l}}+Z_0}, \]](/images/math/e/7/0/e70ce2a45531aa4098b85dbb1e85ffd7.png)
ahol 
az ún. reflexiós tényező; 
komplex értéke mellett is komplex, ami azt fejezi ki, hogy a visszavert hullám fázisa nem többszöröse 
-nek. Vegyük észre, hogy a két fentebb tárgyalt határesetben, és , amikor is maximális a reflexió ill. 0 fokos fázistolással visszavert hullámmal.
A leggyakrabban használt koaxiális kábelek hullámimpedanciája 
. Ez az érték megállapodásból született, és a 60-as évektől kezdve elterjedt ipari sztenderd lett. Néhány helyen találkozhatunk még 
-os koaxiális kábelekkel is. Érdekességképp ezen értékek és az történeti hátteréről olvashatunk a B. függelékben.
A DC és alacsony frekvenciájú (néhány kHz-es AC) eszközöknél megszokhattuk, hogy egy ideális feszültség forrás belső ellenállása 
, míg ideális feszültségmérő bemenő ellenállása végtelen. A nagyfrekvenciás hálózatoknál minden mérőeszköz bemenő és kimenő ellenállása , mivel ekkora hullámimpdanciájú kábeleket csatlakoztatunk hozzájuk. Amennyiben egy adott hullámimpedanciájú vezetéket az ennek megfelelő ellenállással zárunk le, úgy nem alakulnak ki állóhullámok (hiszen nincs reflexió a végről), és a teljes vezeték hosszában azonos feszültséget mérhetünk.
A lezáró impedancia
A kábelt lezáró impedancia megvalósításának egy érdekes esetét mutatja a 4.a ábra. Az áramkör sajátossága, hogy valós 50 Ohm impedanciájú lezárást valósít meg, miközben nem tartalmaz jelentős rezisztív elemet a tekercs kis ellenállásán kívül. A 4.b ábra mutatja az áramkörben párhuzamosan kapcsolt 
és 
impedanciájának 
, valós és képzetes részeit 
pF és 
H esetére, és feltettük, hogy a tekerecsnek van egy kicsi, kb. 1 Ohm-os valós ellenállása is. (A gyakorlaton használt vörösréz (
) tekercsünk 0.5 m hosszú, 1 mm átmérőjű, ennek DC ellenállása 11 m
. 10 MHz-en a behatolási mélység 20 
m, ezért az ellenállása felmegy 130 m-ra.) Az áramkör ezen részére 10 MHz-en az impedancia valós része 50 Ohm, míg a képzetes rész nagy pozitív értékű (440 Ohm), amit a sorba kötött 
pF-os kondenzátorral tudunk kompenzálni. Így el tudjuk érni azt, hogy ez az áramkör valós 50 Ohm impedanciájú lezárásnak tűnjön. Ezt az áramkört a magmágneses rezonancia spektroszkópiában használják rádiófrekvenciás pulzusok adás-vételére.
 |
4. ábra: a) Rezisztív elemet nem tartalmazó áramkör, ami behangolható a kábel hullámimpedanciájára. A példánkban csak a  értékét változtatjuk. b) Az áramkörbeli párhuzamosan kapcsolt és rész impedanciájának, valós és képzetes része a frekvencia függvényében konkrét értékekre (a 10 MHz alatti rész 10 szeresre van nagyítva). Vegyük észre, hogy 10 MHz-en a képzetes rész nagy pozitív értékű miközben a valós rész 50 Ohm.
|
Az 5. ábrán mutatjuk a 4.a ábra áramkörének reflexióját, 
, a frekvencia függvényében a
illesztõ kondenzátor három értékére. Az optimálisan beállított érték mellett a reflexió nullává válik.
Visszaverődések vizsgálata
A Smith chart
Mérési feladatok
A mérést két alkalomra bontva fogjuk elvégezni.
I. A kábelvégi reflexió vizsgálata (első mérési alkalom)
1. Oszcilloszkóppal
Itt oszcilloszkóppal mérjük meg a kábelvégi reflexió hatását a forrás kimenetére.
- Vegyük fel oszcilloszkóp segítségével a nagyfrekvenciás jelgenerátor kimenetének feszültségét a lezáró impedancia három esetére (0, 50 és szakadás) a frekvencia (0.001 MHz-15 MHz) függvényében a mérőprogrammal. (Segítség: BNC T a forrás kimenetén, egyik vége oszcilloszkópon minél rövidebb dróttal 50 Ohmmal lezárva, másik végén egy ismert hosszúságú BNC kábel, mérőeszköz leírás \aref{muszer_fuggelek}. függelékben. A forrás 2-es kimenetére triggereljük az oszcilloszkópot. A mérőprogramban a rflabor <startfreq> <stopfreq> <numberofpoints> paranccsal tudjuk a frekvencia változtatása mellett felvenni az oszcilloszkóp 1-es csatornáján mért jel nagyságát és az 1-es és 2-es csatornán mért jel egymáshoz viszonyított fázisát. A save paranccsal tudjuk elmenteni a mérésünk eredményét. A readscope paranccsal fel tudjuk venni az oszcilloszkópon éppen látható jelet.)
- A kapott görbék segítségével határozzuk meg a kábelbeli jel terjedési sebességét. Ebből határozzuk meg a BNC kábelben lévő dielektrikum
relatív dielektromos állandóját (
), és írjuk le röviden, hogy a módszer hogyan használható egy elszakadt kábelban a szakadás helyének meghatározására.
2. Duplexerrel
Itt a hybrid magic tee (Tee a továbbiakban) segítségével vizsgáljuk a kábelvégi reflexiót. A vizsgált frekvenciatartomány: 2-20 MHz.
- A Tee bekötése:
- a forrás, - a oszcilloszkóp CH2 (trigger forrás), 50 Ohm-os lezárással, 
- az oszcilloszkóp másik bemenete, CH1 50 Ohm-mal lezárva. Ekkor a CH1 és CH2-n ellentétes fázisú jelet kell látunk, amit vegyünk is fel (readscope parancs)! A következő esetben: - a forrás, - oszcilloszkóp CH2, 50 Ohmos lezárással, - 50 Ohmmal lezárva, 
- az oszcilloszkóp másik bemenete, CH1 50 Ohmmal lezárva. Ideális esetben ekkor 0 jelet kellene látnunk, azonban a duplexer tökéletlensége miatt mégis látunk egy kis jelet CH1-en, amit vegyünk is fel!
- A Tee segítségével vegyük fel a kábel végéről visszavert jel nagyságát a frekvencia függvényében (2-15 MHz), úgy mint az előző feladatban, de a -re a reflexióra bevizsgált kábelt helyezzük, rövidre zárva, lezáratlanul és 50 Ohmmal lezárva. Milyen az oszcilloszkóp CH1-en mért jele a frekvencia függvényében erre a három esetre és miért? (Segítség: a duplexer mindhárom esetben a visszavert jel nagyságát mutatja meg, ami nem interferál a forrás jelével. Ezért itt nem várjuk olyan állóhullámképek kialakulását mint az I/1/1. feladatban.) Vizsgáljuk meg, hogy 10 MHz-es frekvencián a CH1 csatornán látható jelhez képest hogyan változik CH2-n látható jel fázisa akkor, amikor a kábel végét rövidre zárjuk, vagy lezáratlanul hagyjuk. Ehhez vegyük fel e két esetre az oszcilloszkóp jelét!
3. Pulzus kábelvégi reflexiójának vizsgálata
A jelgenerátoron állítsunk be 1 MHz-es frekvenciájú szinusz jelet. A BURST megnyomása után beállítható, hogy a generátor e jel hány periódusát küldje ki milyen ismétlési idővel. Az I/2/2. mérési feladatbeli összeállítást használjuk fel arra, hogy a 25 m-es kábel végéről történő reflexiót megmérjük. Az oszcilloszkóp jelét vegyük fel, és a visszavert pulzus időkésésének tekintsük az összetartozó fázisú jelek közti időkülönbséget. Mit látunk a rövidzár, szakadás és 50 Ohmos lezárás eseteire? Az impulzus visszaverődési idejéből határozzuk meg a kábelbeli fénysebességet, és a kapott eredményt hasonlítsuk össze I/1/2. mérési feladat eredményével. Próbáljuk ki ugyanezt, ha nem szinusz, hanem négyszögjelet használunk, és az így kapott jelalakokat is vegyük fel! A szakadást tartalmazó koaxiális kábelen látott reflexióból számoljuk ki a szakadás helyzetét.
