A zaj mint jel

A mérés célja

Különböző mennyiségek mérésénél általában a vizsgált mennyiség várható értékére vagyunk kíváncsiak, és a várható érték körüli fluktuációt zavaró tényezőnek tekintjük. Sok esetben viszont egy fizikai mennyiség "zaja" több információt hordoz a rendszerről mint maga a várható érték [1]. A mérési gyakorlaton különböző zajjelenségeket vizsgálunk egy spektrumanalizátor segítségével. Először ellenállások termikus zajának mérése alapján meghatározzuk a Boltzmann-állandó értékét. Ezután egy félvezető dióda zajának méréséből az elektrontöltés értékét határozzuk meg.

Elméleti összefoglalás

A zaj definíciója

1. ábra

Egy időben változó mennyiség (pl. $\setbox0\hbox{$I(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram, lásd 1. ábra) mérésekor definiálhatjuk a mért mennyiség időbeli átlagát, $\setbox0\hbox{$\left<I(t)\right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, illetve az átlagtól vett eltérést, $\setbox0\hbox{$\Delta I=I(t)-\left<I(t)\right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A zajt jellemezhetnénk egyszerűen az áram szórásnégyzetével, $\setbox0\hbox{$\left<(\Delta I(t))^2\right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azonban ekkor nem vennénk figyelembe hogy mérőrendszerünk csak véges sávszélességgel tud mérni, azaz egy bizonyos határfrekvencia fölött már nem tudjuk felbontani a jel időbeli fluktuációit. Ezért célszerű a zaj értékét a 2. ábrán szemléltetett módon egy bizonyos frekvenciasávra vonatkoztatni: az $\setbox0\hbox{$I(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelet egy $\setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középfrekvencia körüli $\setbox0\hbox{$\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű sáváteresztő szűrőn keresztül mérjük, azaz csak az adott frekvenciasávra jellemző $\setbox0\hbox{$\left<(\Delta I(t|f_0,\Delta f))^2\right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szórásnégyzetet mérünk.

2. ábra

Az így kapott szórásnégyzet kis $\setbox0\hbox{$\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén arányos a $\setbox0\hbox{$\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sávszélességgel, az arányossági tényezőt pedig a zaj spektrális sűrűségének nevezzük:

$\[\left<(\Delta I(t|f_0,\Delta f))^2\right>=S_I(f_0)\Delta f.\]$

Áramzaj esetén az $\setbox0\hbox{$S_I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ spektrális sűrűség mértékegysége $\setbox0\hbox{$\mathrm{A}^2/\mathrm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A mérnöki gyakorlatban gyakran a spektrális sűrűség négyzetgyökével jellemzik egy eszköz zaját $\setbox0\hbox{$\mathrm{A}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mértékegységgel.

Az áramzajhoz hasonlóan definiálhatjuk a feszültségzajt is:

$\[\left<(\Delta V(t|f_0,\Delta f))^2\right>=S_V(f_0)\Delta f.\]$

Egy egyszerű ellenállás esetén $\setbox0\hbox{$\Delta V=R\cdot \Delta I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$S_V=R^2\cdot S_I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Egy nemlineáris eszköznél, pl. egy diódánál $\setbox0\hbox{$S_V=R_d^2\cdot S_I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$R_d=dV/dI$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az eszköz differenciális ellenállása a mérésnél alkalmazott munkapontban.

A fenti definíciók megismerése után érdemes megnézni a mérésnél használt Stanford Research Systems 770 típusú spektrumanalizátor specificációit, melyek szerint a műszer bemeneti zaja a legkisebb méréshatárban $\setbox0\hbox{$5\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ez azt jelenti, hogy a műszer bemenetét rövidre zárva a várt zérus feszültség helyett a bemeneti erősítő feszültségzaját látjuk, melynek a szórása $\setbox0\hbox{$5\mathrm{nV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$1\mathrm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es sávszélességű mérés esetén.

Puskalövések zaja

A zaj fogalma egy klasszikus példával is jól szemléltethető, nézzük meg hogy mi történik ha egy puskából véletlenszerűen lövöldözünk, úgy hogy a lövések időpontja egymástól teljesen független. Ha a szomszédos lövések között eltelt átlagos idő $\setbox0\hbox{$\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ akkor $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt a lövések átlagos száma értelemszerűen $\setbox0\hbox{$\left< N \right> =\Delta t/\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A tényleges lövésszám azonban nyilvánvalóan fluktuálni fog az átlagérték körül. A szórásnégyzet meghatározásához érdemes kiszámolni a $\setbox0\hbox{$P_N(\Delta t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ valószínűséget, azaz annak a valószínűségét, hogy $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lövés dördül. Ha $\setbox0\hbox{$P_N(\Delta t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét ismerjük, akkor $\setbox0\hbox{$P_N(\Delta t+dt)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéke a

$\[P_N(\Delta t+dt)=P_{N-1}(\Delta t)\frac{dt}{\tau}+P_N(\Delta t)\left(1-\frac{dt}{\tau}\right)\]$

egyenlettel írható fel, azaz a kezdeti $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és az utána következő $\setbox0\hbox{$dt<<\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt vagy $\setbox0\hbox{$N-1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ill. $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ill. $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lövés dördül. A megfelelő valószínűségeket a lövések függetlensége miatt szorozhatjuk össze. A fenti egyenlet átrendezésével a

$\[\frac{dP_N(\Delta t)}{dt}=\frac{P_{N-1}(\Delta t)-P_N(\Delta t)}{\tau}\]$

differenciálegyenletet kapjuk. Megmutatható, hogy ezen feltételt a

$\[P_N(\Delta t)=\frac{(\Delta t)^N}{\tau^N N!}e^{-\Delta t/\tau}\]$

Poisson eloszlás elégíti ki. A Poisson eloszlás speciális tulajdonsága, hogy a szórásnégyzet megegyezik a várható értékkel, azaz

$\[\left< (\Delta N)^2 \right>=\left< N \right>=\frac{\Delta t}{\tau}.\]$

Elektronok sörétzaja

A fenti gondolatmenetet vonatkoztathatjuk elektronokra is ha teljesül az, hogy az elektronok véletlenszerűen, egymástól függetlenül jutnak át az egyik elektródából a másikba. Tegyük fel, hogy mérőrendszerünkkel az elektromos áramot $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időbeli felbontással tudjuk mérni. Egy $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű mintavételezési intervallum alatt $\setbox0\hbox{$I=Ne/\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramot detektálunk ahol a $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt áthaladó eletronok $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ számának eloszlását a fenti Poisson eloszlás adja meg. Így a mért áram várható értéke $\setbox0\hbox{$\left< I \right>=\left< N \right>e/\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg az áram szórásnégyzete $\setbox0\hbox{$\left< (\Delta I)^2 \right>=\left< (\Delta N)^2 \right>e^2/(\Delta t)^2=\left< N \right>e^2/(\Delta t)^2=\left< I \right>e/\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A Nyquist - Shannon mintavételezési törvény szerint $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időfelbontás esetén a mért jelet $\setbox0\hbox{$f_{\mathrm{max}}=1/2\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ maximális frekvenciáig tudjuk rekonstruálni. Ez alapján az áram szórásnégyzete:

$\[\left< (\Delta I)^2 \right>=\int_0^{f_\mathrm{max}}S_I(f)df=2e\left< I \right>\cdot f_\mathrm{max},\]$

azaz:

$\[S_I=2e\left< I \right>.\]$

A puskagolyós analógia alapján az elektronok diszkrét töltéséből adódó áramzajt sörétzajnak szokták nevezni. Fontos megemlíteni, hogy a fenti képlet alapján a sörétzaj fehér zaj, azaz a spektrális sűrűség frekvenciafüggetlen. Az előbbiekben levezetett zajformula a sörétzajnak is egyik speciális esetét írja le, az ún. Poisson zajt, mely egymástól független elektronok detektálására vonatkozik. A kvantummechanikából ismert Pauli elv szerint két elektron nem lehet ugyan abban az állapotban, azaz egy adott időpontban nem tudunk két teljesen egyforma állapotú elektront detektálni. Egy makroszkópikus vezetőben az elektronok nem egymástól függetlenül, hanem inkább sorban egymást követve érkeznek az árammérőhöz, így a fenti zajformula nem érvényes. Azonban a Poisson zaj feltételét megvalósíthatjuk akkor, ha az elektronok útjába egy olyan akadályt helyezünk, melyen véletlenszerűen az elektronoknak csak egy kis része tud keresztüljutni (3a. ábra).

Az első sörétzaj-mérést Walter Schottky végezte 1918-ban [2]: híres kísérletében egy vákuumdióda anódáramának zaját vizsgálta. A vákuumdióda felépítését a 3b. ábra szemlélteti. Egy fűtött katódból véletlenszerűen kilépő elektronok a katód és anód közé kapcsolt feszültség hatására eljutnak az anódba, ahol áramot detektálunk. A vákuumdióda ideális eszköz a sörétzaj tanulmányozásához, hiszen az elektronok valóban véletlenül, és egymástól függetlenül emittálódnak, így a mért zajsűrűség és az áram hányadosából az elektrontöltés a Poisson zaj formulája alapján meghatározható.

3a. ábra	3b. ábra

Poisson zajt modern elektronikai eszközökben is tapasztalhatunk, például egy diódát alkotó félvezető p-n átmenet is biztosítja az elektronok véletlen és független emisszióját megfelelően kicsi áram esetén.

Termikus zaj

Az előbbiekben bemutatott sörétzaj egy nemegyensúlyi zaj, melyet csak akkor tapasztalunk, ha a vizsgált áramköri elemen áramot folyatunk keresztül. Zajt azonban egyensúlyi állapotban is tapasztalhatunk pusztán az elektronok termikus fluktuációi miatt. A termikus zaj megértése komolyabb elméleti hátteret igényel, azonban maga a jelenség egy nagyon egyszerű formulával leírható: egy $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromos ellenállással rendelkező áramköri elemen

$\[S_V=4k_B T\cdot R\]$

feszültségzaj-sűrűséget mérhetünk attól függetlenül, hogy pontosan milyen fizikai rendszer adja az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállást. A termikus zaj szintén fehér zaj, azaz a zajsűrűség nem függ a frekvenciától. Ezen jelenség segítségével a $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérséklet és az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállás ismeretében a feszültségzaj méréséből a Boltzmann-állandó meghatározható.

Egyéb zajforrások

A termikus zaj és a sörétzaj mellett érdemes megemlékezni az 1/f zajról, mely a zajsűrűség tipikus 1/f jellegű frekvenciafüggéséről kapta a nevét. Ezen zajtípus számos fizikai folyamatból származhat, például a szennyezők és rácshibák véletlen mozgásából adódó ellenállásfluktuációkból. Az 1/f zaj a sörétzajhoz hasonlóan nemegyensúlyi zaj, a spektrális sűrűség a feszültség növelésével nő. Az 1/f zaj tipikusan alacsonyfrekvenciás ($\setbox0\hbox{$<100-1000 \mathrm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) méréseknél dominál, míg magasabb frekvenciákon a termikus zaj illetve bizonyos eszközökben a sörétzaj a legfontosabb zajforrás.

Az eddigiekben csak a vizsgált rendszerünk belső zajáról beszéltünk, azonban zajmérésnél mindig fontos a külső forrásokból adódó elektromágneses zavarokra is gondolni. Egy áramkör kapacitív vagy induktív csatolással könnyen felvesz zajt a környezetből például az elektromos hálózat 50 Hz-es frekvenciájánál, monitorok képernyőjének frissítési frekvenciájánál, kapcsoló üzemű tápok működési frekvenciájánál, vagy akár rádióállomások, mobiltelefonok sugárzási frekvenciájánál. Ezen zavaró tényezők kiküszöbölésének alapvető módszere a vizsgált áramkör árnyékolása: alacsony jelszintű méréseknél mindig árnyékolt kábeleket, illetve fém dobozba zárt áramköröket érdemes használni.

Mérési elrendezés

A méréshez használt eszközök

A méréshez egy Stanford Reserch Systems 770 típusú spektrumanalizátort használunk. A későbbiekben csak a műszer legfontosabb funkcióit ismertetjük, részletes specifikációk és leírás a műszer adatlapjában és használati utasításában érhető el. A műszer előlapjának fényképe és a kezelőfelülete szintén az említett adatlapban tekinthetők meg.

A spektrumanalizátor jele egy saját fejlesztésű szoftverrel (SRS770_beolvasas.exe) számítógépbe beolvasható illetve fájlba kimenthető.

A termikus és a sörétzaj méréséhez egy lezárható alumínium dobozba helyezett panel áll rendelkezésre. A panelen levő csatlakozókba lehet bekötni a termikus zaj méréséhez használt R ellenállásokat és a sörétzaj méréséhez szükséges R1 és R2 ellenállásokat. (4. ábra). A dobozon három BNC csatlakozó és a tápfeszültség bekapcsolására szolgáló kapcsoló található. A méréshez különböző áramköri elemek állnak rendelkezésre: ellenállások, jumper, kondenzátorok, BNC-BNC toldó, BNC csatlakozós koax kábel.

4. ábra

A termikus zaj mérésének elve

A termikus zaj mérésénél a doboz egyik BNC csatlakozójának belső pontja és földpontja közé egy ellenállást kötünk, a BNC csatlakozót pedig egy BNC-BNC toldó segítségével (lásd 4. ábra felső csatlakozó) közvetlenül a spektrumanalizátor Signal In (A) bemenetére kötjük és ebben az elrendezésben mérjük az ellenállás feszültségzaját. Mivel a mért termikus zaj összemérhető a műszer bemeneti zajával ($\setbox0\hbox{$\approx 5\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) ezért a mért zaj a termikus zaj és a műszer bemeneti zajának összege lesz:

$\[S_V=4k_B T\cdot R + S_0.\]$

Ha a mérést több ellenálláson is megismételjük akkor az $\setbox0\hbox{$S_V(R)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvény meredekségéből a szobahőmérséklet ismeretében megkapjuk a Boltzmann-állandó értékét.

A sörétzaj mérésének elve

A sörétzaj mérésekor az 5. ábrán bemutatott kapcsolást érdemes alkalmazni. Tápegységként használjunk egy 9V-os elemet, így a meghajtó feszültségünk zaja kisebb lesz mint ha bármilyen elektromos hálózatra kötött tápegységet használnánk. A teleppel kössünk sorba egy nagy ellenállást ($\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és egy félvezető diódát. Diódaként érdemes egy alacsony zajszintű tranzisztort használni úgy, hogy azt az 5. ábra szerint nyitó irányban a bázis és emitter kontaktusokon keresztül kötjük az áramkörbe és a kollektor elektródát nem használjuk.

5. ábra

A körben folyó egyenáramot könnyen meghatározhatjuk az $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenálláson eső feszültség mérése alapján (a biztonság kedvéért érdemes az $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállás értékét is pontosan megmérni, és ezzel számolni a névleges érték helyett). A feszültség- és ellenállás-méréshez használjunk 4.5 digites Goodwill digitális multimétert.

Az áram meghatározása után mérjük meg a spektrumanalizátorral a diódán jelentkező feszültségzajt. (Ennél a mérésnél az ábrán pirossal jelölt $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállást és $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kondenzátort ne kössük az áramkörbe!) Az így mért feszültségzaj

$\[S_V=2e\left< I \right> \cdot R_d^2 +S_0,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$R_d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a dióda differenciális ellenállása a beállított munkapontban, $\setbox0\hbox{$S_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a műszer bemeneti zaja.

A következő lépés a dióda differenciális ellenállásának* a meghatározása. Ehhez a spektrumanalizátor Source Out kimenetéről egy $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenálláson és egy $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kondenzátoron keresztül váltóáramot keverünk a telepből jövő egyenáramhoz, és a spektrumanalizátorral megmérjük a vátóáramú feszültségesést a meghajtó jellel azonos frekvencián. A spektrumanalizátor kimeneti feszültségszintjét és az $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállást úgy kell megválasztani hogy a diódán folyó váltóáram az egyenáramnál lényegesen kisebb legyen. A $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitás azt a célt szolgálja, hogy a telepből jövő egyenáramból semennyi ne tudjon a spektrumanalizátor kimenete felé elfolyni. Célszerű $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét úgy megválasztani hogy a meghajtó frekvencián vett impedancia lényegesen kisebb legyen $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél. Így a differenciális ellenállást $\setbox0\hbox{$R_d=\Delta U_{\mathrm{rms}}/\Delta I_{\mathrm{rms}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ képlet szerint számoljuk, ahol $\setbox0\hbox{$\Delta I_{\mathrm{rms}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Source Out kimeneten kiadott váltófeszültség rms értékének (szórásának) és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállásnak a hányadosa, $\setbox0\hbox{$\Delta U_{\mathrm{rms}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a diódán mért váltóáramú feszültség rms értéke.

Ha különböző $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállásokkal megmérjük $\setbox0\hbox{$S_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\left< I \right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét akkor az $\setbox0\hbox{$S_V(\left< I \right> \cdot R_d^2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényre egyenest illesztve megkapjuk az elektron töltésének értékét.

• A diódára kapcsolt egyenfeszültség egy állandó átfolyó áramot határoz meg, vagyis meghatározza a karakterisztika egy pontját, ezt nevezzük munkapontnak. A munkapontban tudjuk definiálni a dióda egyenáramú ellenállását, ami a rákapcsolt egyenfeszültség és az átfolyó áram hányadosa. A feszültség kis változtatásának (modulálás) hatása az áramra attól függ, hogy hol van a munkapont, hiszen a karakterisztika nemlineáris. A dióda differenciális (dinamikus) ellenállásának az adott munkaponti feszültség kis változását és a kialakuló áramváltozás hányadosát nevezzük.

Az SRS770 spektrumanalizátor használata és beállítása

Az SRS770 spektrumanalizátor egy egycsatornás 100kHz sávszélességű 16bit felbontású műszer, mely a bemenetén mért jel Fourier-spektrumát határozza meg. A műszer legfontosabb funkciói a MENU gombcsoport segítségével állíthatók.

• A FREQ gomb segítségével lehet a vizsgált frekvenciatartományt beállítani. A FREQ gomb megnyomása után a képernyő jobb szélén jelennek meg a beállítási lehetőségek, melyeket a képernyő melletti gombokkal érünk el. Számértékeket a forgató gombbal illetve az ENTRY gombcsoporttal állíthatunk be. A legfontosabb beállítás a Span, mellyel a vizsgált frekvenciatartomány szélességét állíthatjuk be. A frekvenciatartomány kezdeti vagy középfrekvenciáját a Start freq vagy Center freq menüben állíthatjuk. Fontos megjegyezni, hogy Span-ben beállított frekvenciasávot a műszer mindig 400 mérési pontra osztja, így a legnagyobb 100kHz-es sávszélességnél 100kHz/400 azaz 250Hz felbontással tudjuk felvenni a spektrumot.

• A MEAS gomb segítségével állítható be, hogy pontosan mit akarunk mérni. Ezen belül a Measure menüben választhatjuk ki, hogy a jel komplex Fourier transzformáltját (Spectrum) vagy a zajsűrűséget (PSD, power spectral density) akarjuk mérni. Belátható hogy a PSD a Fourier transzformált abszolút érték négyzete megfelelő normálással. A Display menüben Log Mag funkciót állítsunk be, a Units menünen pedig Volts RMS mértékegységet válasszunk ki. A Window menüben választható ki az FFT-nél alkalmazott ablakfüggvény, ezt PSD mérésekor Hanning ablakra állítsuk.

• A DISPLAY gomb segítségével állíthatjuk be a képernyőn megjelenő Marker-eket. A CONTROL/MARKER gomb megnyomása után a forgató gombbal állíthajuk be a Marker pozícióját. A képernyő tetején leolvasható a Marker pozíciója és az adott pozíciónál mért érték. Marker width=Spot beállításnál egy konkrét pontnál olvashatjuk le a spektrumot, míg Marker width=Norm/Wide és Marker Seeks=Mean beállításnál pedig az adott Marker pozíció körüli szélesebb tartományban vett átlagos spektrumot kapjuk meg.

• Az INPUT gomb megnyomása után Input Source=A, Grounding=Ground, Coupling=AC beállításokat alkalmazzunk. Az Input range menüben állíthatjuk be a mérés érzékenységét, ezt mindig az adott mérésnél alkalmazható legérzékenyebb értékre állítsuk. Zajspektrum mérésekor lehetőleg a legérzékenyebb, -60dBV méréshatárt válasszuk, mely 1mV-os méréshatárnak felel meg. A képernyő alsó részén mindig láthatjuk az aktuális méréshatár értékét. Ha ez alatt az OVERLOAD felirat villog akkor a bemenetet túlvezéreltük, így a mért adatok nem használhatók.

• A SCALE gomb megnyomásával változtathatjuk az ábrázolt adatok skáláját. Az X-axis-t állítsuk log skálára. Az Y/Div menü segítségével nagyíthatjuk ki a számunkra érdekes görbeszakaszt y irányban. Automatikus skálát az ENTRY/AUTOSCALE gombbal állíthatunk be.

• Az ANALYZE gomb megnyomása után None beállítást alkalmazzunk.

• Az AVERAGE gomb megnyomása után állíthatjuk be az átlagolás értékét, celszerű 1000-2000 görbére átlagolni.

• A SOURCE gombbal állíthatjuk be a Source Out kimenetet. Ha nincs szükség meghajtó jelre akkor mindig kapcsoljuk ki a kimenetet. Kimenő jel alkalmazása esetén a Configure menüben állíthatjuk be a kimenő jel frekvenciáját és amplitudóját.

• A SYSTEM menü Setup commun almenüjében Output to=GPIB-t válasszunk. Ezen beállítások mellett tudjuk a mért értékeket a számítógép soros portján keresztül beolvasni.

• A mintavételezést a CONTROL/START gombbal indíthatjuk.

Mérési feladatok

0. A Spektrumanalizátor használatának begyakorlása

Nulladik feladatként ismerkedjünk meg a spektrumanalizátor kezelésével! Az Input A bementre csatlakoztassuk Vegyük sorra az előző pontban ismertetett Menu funkciókat. Nézzük meg, hogy az egyes funkciókon belül milyen paramétereket, mérési, számítási, megjelenítési, skálázási módokat lehet állítani. Ha szükséges, nézzük meg az egyes beállítások definícióját, értelmezését a műszer gépkönyvében. Egy funkció áttekintése végén olyan értékeket, beállításokat hagyjunk, amelyek a termikus zaj méréséhez szükségesek. A készüléknek hagyományos, katódsugárcsöves monitora van. Ezen a kijelzőn rendkívül sok információ jelenik meg: leolvashatók a mérési adatok és a lényeges mérési paraméterek beállított értékei. Próbáljuk ki az adatok beolvasását a számítógépbe és a mentést excel-file-ba.

1. Külső zajok azonosítása

Azonosítsuk a spektrumban jelentkező nagyobb csúcsok forrását! Ehhez az áramkört körülvevő fém dobozt levett tetővel egy hosszabb koax kábelen keresztül csatlakoztassuk a spektrumanalizátorhoz, és a doboz mozgatása közben figyeljük meg, hogy hol nő illetve csökken a spektrumban megjelenő csúcsok amplitudója. A 0-100kHz-es frekvenciatartományban egy mérési pont 250Hz szélességű tartománynak felel meg. Ilyen felbontású mérésnél bizonyos csúcsok beleolvadhatnak a fehérzaj háttérbe, pl. az 50Hz-es hálózati frekvenciát és annak felharmonikusait nyilvánvalóan nem látjuk ilyen felbontásnál. Emiatt érdemes a spektrum különböző szűkebb tartományait lényegesen jobb frekvenciafelbontással is felvenni. Keressünk jellemző zaj-frekvenciákat a katódsugárcső előtt, a számítógép tápegységénél és a monitora körül, a multiméter közelében és értelmezzük azokat!

2. A Boltzmann-állandó meghatározása

Mérjük meg különböző ellenállások feszültségzaját, és határozzuk meg a Boltzmann-állandó értékét!

A méréshez használjunk $\setbox0\hbox{$0\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os ellenállást (rövidzár), illetve $\setbox0\hbox{$1k\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os, $\setbox0\hbox{$3.3k\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os, $\setbox0\hbox{$6.8k\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os és $\setbox0\hbox{$10k\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-os ellenállásokat. A spektrumanalizátort PSD mérésre állítsuk, célszerű a mértékegységet Vrms-nek beállítani. A spektrumanalizátort állítsuk a lehető legkisebb méréshatárba (-60dBV), és figyeljünk arra hogy a mérés közben soha ne villogjon az Overload jelzés. A PSD számolásához állítsunk be Hanning ablakot.

A spektrumot vegyük fel a műszer teljes frekvenciatartományában (0-100kHz), és számoljunk egy átlagos spektrális sűrűséget egy szélesebb frekvenciatartományra. A mért spektrumból csak azokat a tartományokat vegyük figyelembe, ahol egyértelműen termikus zajra utaló fehérzajt látunk. Alacsony frekvencián ettől eltérést okozhat az 1/f zaj, magas frekvencián pedig az ellenállásból és a műszer kapacitásából adódó levágási frekvencia. A spektrumban a környezetben elhelyezett műszerekre jellemző frekvenciáknál csúcsok jelennek meg, ezeket ki kell hagyni az átlagos zajsűrűség számolásánál. A mérés során érdemes kiszámolni az adott ellenállásra várt zajsűrűség értékét, hiszen így rögtön észrevesszük ha például egy érintkezési hiba miatt téves értékeket mérünk.

4. Az elektron töltésének mérése

Állítsuk össze az 5. ábrán szemléltetett kapcsolást, és mérjük meg a BD139 tranzisztor feszültségzaját különböző $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállásoknál, úgy hogy a diódán keresztül kb. 1, 3 és 10$\setbox0\hbox{$\mu\mathrm{A}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram folyjon. (PSD mérés, Hanning ablak, -60dBV méréshatár.) Az áram értékét mindig pontosan határozzuk meg az $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenálláson eső feszültség mérése alapján. A spektrumot 0-100kHz frekvenciatartományban mérjük, az SCALE - Y/div menü segítségével nagyítsuk ki úgy a jelet, hogy ne a kiugró csúcsok, hanem a számunkra érdekes háttér dominálja a képernyőt. Válasszuk ki azt a frekvenciatartományt ahol már lecseng az alacsonyfrekvenciás 1/f zaj de még nem kezd el levágni a zajsűrűség az RC időállandók miatt. A spektrumot log x skála mellett vizsgáljuk.

Minden $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállás-értéknél mérjük meg a dióda differenciális ellenállását. Ehhez a Source Out kimeneten keresztül keverjünk ~1kHz-es váltóáramot a 9V-os elemből jövő egyenáramhoz. A csatoló kondenzátor értéke 100nF, számítással igazoljuk, hogy az ellenállása elhanyagolható a kör összes ellenállása mellett. Az áramkör összeállítása előtt érdemes a Source Out kimenetet közvetlenül a Signal In (A) bemenetre kötni, és megmérni a kimeneti feszültséget. Ehhez 1kHz középfrekvencia körüli keskeny (~300Hz) frekvenciasávot használjunk, a műszerrel PSD helyett Spectrum-ot mérjünk Flattop ablakkal. Állítsuk be a legkisebb méréshatárt, melynél még nem tapasztalunk Overload-ot. Érdemes arra figyelni, hogy a kimeneti jel beállításánál amplitudót állítunk be, míg a Fourier spektrumban rms értéket mérünk. Ha ezen tesztméréssel meggyőződtünk a műszer helyes beállításáról, akkor csatlakoztassuk az 5. ábrán pirossal jelölt áramköri részt és mérjük meg a differenciális ellenállások értékét. Figyeljünk arra, hogy a váltóáram kicsi maradjon az egyenáramhoz képest, érdemes a tranzisztoron jelentkező váltóáramú feszültséget 5mVrms alatt tartani.

A különböző $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékeknél mért $\setbox0\hbox{$S_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\left< I \right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékek alapján határozzuk meg az elektron töltését.

Kitekintés

A mérési gyakorlat keretében két - más mérésből jól ismert - fizikai állandó értékét mérjük meg zajmérés segítségével. Kutató laboratóriumokban azonban a zajmérést gyakran olyan területen alkalmazzák, ahol más mérési módszer csak korlátozottan, vagy egyáltalán nem áll rendelkezésre [1]. A következőkben ilyen mérésekből adunk rövid ízelítőt.

• A pontos hőmérsékletmérés - különösen extrém körülmények között - sokszor nehézséget jelent, hiszen számos fizikai folyamat (pl. fémek ellenállásváltozása, higanyszál megnyúlása) alkalmas a hőmérsékletváltozás detektálásra, azonban ezek a hőmérők az abszolút hőmérséklet mérésére csak pontos kalibráció után alkalmasak. Ezzel szemben a zajmérés segítségével közvetlenül az abszolút hőmérsékletet lehet meghatározni [3], így zajmérés megfelelő (a laborgyakorlat mérésénél lényegesen nagyobb) pontosság esetén akár hőmérsékletstandardként is használható.

• Az elektron töltését jól ismerjük, azonban számos olyan rendszer ismert ahol a kvázirészecskék az elektrontöltés többszörösét vagy tört részét hordozzák. Ezen rendszereknél a zajmérés kiválóan alkalmas a kvázirészecske-töltés meghatározására [4,5].

• Az elemi részecskék speciális statisztikákat követnek. Az elektronok például fermionként viselkednek, és a Pauli elv miatt két elektron nem lehet azonos kvantummechanikai állapotban, ezzel szemben a fotonok bosonként viselkednek, és szeretnek olyan állapotba szóródni amiben már több foton is található (lásd indukált emisszió a lézerekben). Ezen különbségek zajméréssel kiválóan kimutathatók, hiszen megfelelően megválasztott rendszerekben a fermionok a Poisson zajnál kisebb, míg a bosonok a Poisson zajnál nagyobb zajt mutatnak [6-8].

• A klasszikus és kvantumos kaotikus rendszerek jelentősen különböznek egymástól. A klasszikus káosz esetén ugyan a rendszer viselkedése érzékenyen függ a kezdeti feltételektől azonban mégis teljesen determinisztikus mozgást kapunk. Ezzel szemben kvantumkáosz esetén a részecskék viselkedése alapvetően véletlenszerű. A klasszikus és a kvantumkáosz közötti átmenet jól megmutatható zajmérésekkel, hiszen az előbbi esetben zérus, míg az utóbbiban véges sörétzajt várunk [9].

Zajmérésekkel részletesebben az Új kísérletek a nanofizikában tárgy keretében ismerkedhetünk meg.

Hivatkozások

[1] C. W. J. Beenakker, C. Schönenberger: Quantum shot noise, Physics Today 56, p37 (2003)

[2] W. Schottky: Über spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizitätsleitern, Annalen der Physik 57 p541–567 (1918)

[3] Lafe Spietz et al.: Primary Electronic Thermometry Using the Shot Noise of a Tunnel Junction, Science 300, p1929 (2003)

[4] Jehl et al.: Detection of doubled shot noise in short normal-metal/ superconductor junctions, Nature 405, p50 (2000)

[5] R. de-Picciotto et al.: Direct observation of a fractional charge, Nature 389, p162 (1997)

[6] R. Hanbury Brown and R. Q. Twiss: Correlation between Photons in two Coherent Beams of Light, Nature 177, p27 (1956).

[7] W.D. Oliver et al.: Hanbury Brown and Twiss-Type Experiment with Electrons, Science 284, p299 (1999)

[8] M. Henny et al.: The Fermionic Hanbury Brown and Twiss Experiment, Science 284, p296 (1999)

[9] S. Oberholzer et al.: Crossover between classical and quantum shot noise in chaotic cavities, Nature 415, p765 (2002)