Fajhő mérése

Szerkesztés alatt!

A mérés célja:

• elmélyíteni a hallgatók fajhővel kapcsolatos ismereteit,
• megismertetni a hallgatókat a fajhőmérés két módszerével.

Ennek érdekében:

• összefoglaljuk a fajhő mérésével kapcsolatos ismereteket, ismertetjük a keverési kaloriméterrel ill. az elektromos fűtésű kaloriméterrel történő fajhőmérést,
• a gyakorlat során megmérjük néhány anyag fajhőjét.

Elméleti összefoglaló

Egy anyag belső energiája ($\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a rajta végzett makroszkopikus munka ($\setbox0\hbox{$W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), vagy egy másik testtel létrejött kontaktus során molekuláris szinten lezajló energia átadás ($\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) útján változtatható meg. Ezt a tapasztalatot rögzíti a hőtan I. főtétele:

$\[ \Delta U = \Delta Q + \Delta W \]$

ahol $\setbox0\hbox{$\Delta U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a belső energia megváltozása, $\setbox0\hbox{$\Delta W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a testen végzett makroszkopikus munka, $\setbox0\hbox{$\Delta Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a molekuláris mechanizmussal a testnek átadott energia, amit \textit{hőnek} (hőmennyiségnek) nevezünk. Ha egy testtel hőt közlünk (pl. elektromos fűtőtesttel melegítjük), akkor belső energiája és ezzel együtt hőmérséklete is megváltozik. A tapasztalat szerint nem túl nagy hőmennyiség közlése esetén a bekövetkező hőmérséklet-változás ($\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) egyenesen arányos a közölt hővel ($\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), fordítottan arányos a vizsgált anyag tömegével ($\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és függ a vizsgált anyag minőségétől is:

$\[ \Delta t = \frac{Q}{cm} \]$

ahol az anyagra jellemző $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandót fajhőnek nevezzük. Számértéke megadja, hogy egységnyi tömegű anyaggal mennyi hőt kell közölnünk ahhoz, hogy hőmérsékletét 1 K-nel megváltoztassuk. Mértékegysége $\setbox0\hbox{$Jkg^{-1}K^{-1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A testtel közölt hő azonban nemcsak a belső energia megváltoztatására, hanem munkavégzésre is fordítódhat:

$\[ \Delta Q = \Delta U - \Delta W \]$

Ennek megfelelően a fajhő:

$\[ c = \frac{1}{m} \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{1}{m} \frac{\Delta U}{\Delta t} - \frac{1}{m} \frac{\Delta W}{\Delta t} \]$

Mivel a munkavégzés függ a folyamat körülményeitől, a fajhő csak akkor határozható meg egyértelműen, ha a hőközlés folyamatát pontosan rögzítjük. Ennek megfelelően, elvileg igen sokféle fajhő definiálható, a gyakorlatban ezek közül kettőt használnak, az állandó térfogaton ($\setbox0\hbox{$c_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és az állandó nyomáson ($\setbox0\hbox{$c_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) mért fajhőt. Gázok esetében e kétféle fajhő számottevően különböző, szilárd és folyékony anyagoknál közel azonos értékű. A fajhő – különösen alacsony hőmérsékleten – a hőmérséklettől is függ. A mérés során szilárd anyagokat vizsgálunk amelyeknek fajhője a vizsgált hőmérsékleteken állandónak tekinthető és amelyeknél a $\setbox0\hbox{$c_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$c_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ eltérése is elhanyagolható. Ezért a továbbiakban egyszerűen "fajhő"-ről beszélünk és az index nélküli $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelölést használunk. (Szigorúan véve $\setbox0\hbox{$c_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t mérjük.) A mérnöki gyakorlatban a hűtő- és fűtő berendezések és határoló szerkezetek hőtani viselkedésének egyik meghatározója az alkalmazott anyagok fajhője. Az anyagtudományban a fajhő mérésével bizonyos anyagszerkezeti változásokat – fázisátalakulásokat – követhetünk nyomon. A fajhő meghatározása a $\setbox0\hbox{$c=\frac{Q}{m\Delta t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ képlet alapján lehetséges. Megmérve a vizsgált anyag tömegét, az anyaggal közölt ill. a tőle elvont hő mennyiségét és a bekövetkezett hőmérsékletváltozást, a fajhő kiszámítható. A gyakorlatban sok esetben közvetlenül a testtel közölt hő és a hőmérsékletváltozás összefüggésére van szükség, így a fajhő helyett az adott testre jellemző $\setbox0\hbox{$C=mc$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mennyiséget használják, amelyet hőkapacitásnak neveznek. A $\setbox0\hbox{$c=\frac{Q}{m\Delta t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ összefüggés így a $\setbox0\hbox{$C=\frac{Q}{\Delta t} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ alakot ölti. A vizsgált anyaggal történő hőközlés két módszere terjedt el, a különböző hőmérsékletű anyagok összekeverésével ill. az elektromos fűtőtesttel történő hőközlés. Az alábbiakban ezen két módszer alapgondolatát ismertetjük.

Fajhőmérés keveréssel

A mérendő $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhőjű, $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű, $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletű anyagot ismert paraméterekkel ($\setbox0\hbox{$c_i, m_i, t_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) rendelkező anyaggal – általában olyan folyadékkal, amely nem lép kémiai reakcióba a mérendő anyaggal – összekeverjük, majd megmérjük a beálló közös hőmérsékletet ($\setbox0\hbox{$t_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). Feltéve, hogy a keverés során a két anyag között kizárólag hőátadás történik, a vizsgálandó anyag által felvett (vagy leadott) hő egyenlő az ismert anyag által felvett (vagy leadott) hővel, ezért

$\[ c m ( t - t_k ) = c_i m_i ( t_k - t_i ) \]$

ami alapján az ismeretlen $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhő meghatározható. Ez a módszer elsősorban szilárd testek és folyadékok fajhőjének meghatározására alkalmas, de segítségével gázok állandó nyomáson mért fajhője is megmérhető. Ebben az esetben a vizsgált gázt cső-spirálon áramoltatják a folyadékon át. A gáz tömegének, hőmérsékletváltozásának valamint a mérő folyadék adatainak ismeretében a gáz állandó nyomáson mért fajhője ($\setbox0\hbox{$c_p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) meghatározható. Az állandó nyomáson mért fajhő ismeretében az állandó térfogaton mért fajhő, ($\setbox0\hbox{$c_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) szintén meghatározható (pl. hangsebesség-méréssel).

Fajhőmérés elektromos energiaközléssel

Ennél a módszernél a vizsgált anyag (fajhője $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, tömege $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) hőmérsékletét elektromos fűtőtest segítségével $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékkel megnöveljük. Feltéve, hogy a fűtőtest által leadott energia teljes egészében a vizsgált anyag belső energiáját növeli:

$\[ U I \tau = c m \Delta t \]$

amiből az UI fűtőteljesítmény, a $\setbox0\hbox{$\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ melegítési idő, a vizsgált anyag $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömege és a $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékletváltozás ismeretében a $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajhő meghatározható. A módszer elsősorban folyadékok fajhőjének meghatározására alkalmas. Használható azonban szilárd anyagok esetén is, ha azokat folyadékba helyezve a folyadékkal együtt melegítjük.

A kaloriméter hőkapacitása és a hőmérsékleti korrekció

A keveréssel és az elektromos melegítéssel történő fajhőmérés esetén eddig feltételeztük, hogy a folyamat a környezettől hőtanilag jól elszigetelve, hőveszteség nélkül játszódik le. Ennek a feltételnek a teljesítése érdekében a hőközlés a környezettől jó hőszigetelő anyagokkal elválasztott edényben, kaloriméterben történik. (Egy keverési és egy elektromos kaloriméter vázlatát az 1. ábra mutatja.) Ennek ellenére a hőveszteség nélküli mérés mégsem valósítható meg, elsősorban az alábbi két ok miatt: az egyik az, hogy az edény hőmérséklete is változik a mérés közben és ez is energiát igényel, a másik pedig, hogy bármilyen jó hőszigetelést is alkalmazunk a környezet felé mindig történik energiaátadás. Ez a két ok (hiba) a kaloriméter hőkapacitásának figyelembevételével illetve a hőveszteségek becslésével csökkenthető.

A kaloriméter hőkapacitása

Ha tudnánk azt, hogy a kaloriméter egyes részei milyen tömegűek, mekkora a fajhőjük és milyen mértékben melegszenek fel, akkor meg tudnánk határozni a kísérlet közben a kaloriméter egyes részeinek melegítéséhez szükséges energiát. Ez az eljárás gyakorlatilag megvalósíthatatlan. Ehelyett mérés segítségével meghatározzuk a kaloriméter $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőkapacitását. Ha a kaloriméter hőkapacitását is figyelembe vesszük, akkor a hőcserét leíró egyenleteink az alábbiak szerint módosulnak:

$\[ c m ( t - t_k ) = c_i m_i ( t_k - t_i ) + C ( t_k - t_i )\]$

$\[ U I \tau = c m \Delta t + C \Delta t. \]$

A kaloriméter hőkapacitásának meghatározásához ismert fajhőjű ($\setbox0\hbox{$c_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) anyagok alkalmazásával a fenti egyenletek valamelyikével történik. Ismert fajhőjű anyagként rendszerint vizet alkalmazunk.

A hőmérsékleti korrekció

A kaloriméter belseje és a környezet között energiaátadást a belső tér ($\setbox0\hbox{$t_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és a környezet ($\setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) hőmérséklete közötti eltérés eredményezi. Az ezen hőmérsékletkülönbség okozta energiaátadást jó hőszigeteléssel valamint egymáshoz közeli $\setbox0\hbox{$t_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ választással csökkentjük. A kaloriméter belseje és a külső tér között mindezek ellenére fellépő energiacsere "hőmérsékleti korrekcióval" vehető figyelembe. Az alábbiakban a hőmérsékleti korrekció grafikus végrehajtását mutatjuk be.

A 2. ábra a kaloriméteres mérés során a kaloriméter hőmérsékletének változását mutatja be az idő függvényében. A görbe három jól elkülöníthető szakaszra osztható, az egyes szakaszokon lejátszódó folyamatokat áttekintjük:

• \textit{Előperiódus}: A kaloriméterbe helyezett folyadék (víz, olaj stb.) és a kaloriméter, valamint a folyadék és a környezet közötti hőmérsékleti egyensúly kialakulásának folyamata. A kaloriméter és a mérő folyadék hőmérsékletétől függően ebben a szakaszban a belső tér hőmérséklete csökken ha $\setbox0\hbox{$t_{b0} > t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy növekszik ha $\setbox0\hbox{$t_{b0} < t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ($\setbox0\hbox{$t_{b0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a belső tér hőmérséklete kísérlet indításakor). Ebben a szakaszban a kis hőmérsékletkülönbségek miatt a hőmérséklet - idő kapcsolat jó közelítéssel lineárisnak tekinthető.

• \textit{Főperiódus}: Az előperiódus a fő energiaátadási folyamattal folytatódik (főperiódus), amely az anyagok összekeveredésével illetve a fűtőtest bekapcsolásával kezdődik. A főperiódusban a belső tér hőmérséklete ($\setbox0\hbox{$t_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) emelkedik. Ebben a szakaszban megy végbe az energiacsere az összekevert különböző hőmérsékletű anyagok között, vagy a kaloriméterben levő anyagok és a fűtőtest között. A kaloriméter belsejének hőmérséklete a környezeti hőmérséklet fölé emelkedik $\setbox0\hbox{$t_{b} > t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és ezért energialeadás történik a környezet felé. A hőveszteség miatt a belső tér hőmérséklete nem érheti el a tökéletes hőszigetelés esetén várható $\setbox0\hbox{$t_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egyensúlyi hőmérsékletet. A főperiódust követő szakasz (az utóperiódus) hőmérséklet-idő grafikonjából azonban következtetni tudunk erre az értékre.

• \textit{Utóperiódus}: Ebben a szakaszban $\setbox0\hbox{$t_{b} > t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a nem tökéletes hőszigetelés miatt lassan csökken a kaloriméter belsejében a hőmérséklet. A hőmérsékletcsökkenést most is lineárisnak tekintjük.

Látható, hogy a folyamat a nem tökéletes hőszigetelésből adódó hibák miatt az ideálistól eltérően alakul. A hőmérséklet - idő görbe felvétele azonban lehetőséget ad a hibák korrigálására. A hőmérsékleti korrekció gyakorlati végrehajtása a következőképpen történik. (2. ábra) Felvesszük a kaloriméter hőmérsékletének időfüggvényét. Az elő- és utóperiódus szakaszára egyenest illesztünk. Te-gyük fel, hogy az előperiódusra illesztett egyenes utolsó érintési pontjának koordinátái 1, t1. Az utóperiódusra il-lesztett egyenes első érintkezési pontjának koordinátái 2, t2. Ezek megállapítása után megrajzoljuk a időtengellyel párhuzamos egyenest. Ennek az egyenesnek és a főperiódus görbéjének metszéspontján keresztül pár-huzamost húzunk a hőmérséklettengellyel. Ez utóbbi egyenesnek és az időperiódusra illesztett egyenesnek a