A kényszerrezgés vizsgálata
A harmonikus rezgés alapvető fizikai jelenség. Vibrációk, oszcillációk harmonikus rezgéssel modellezhetők, ha az amplitúdók elég kicsinyek. A harmonikus mozgás differenciálegyenlete nem csupán a klasszikus fizikában (mechanika, villamosságtan), de a kvantumfizikában, a szilárdtestfizikában és az optikában is gyakran előfordul.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Csillapítatlan rezgések
Ha egy 
tömegű anyagi pontra a kitéréssel arányos, rugalmas erő hat, akkor a mozgásegyenlet
![\[ma=-Dx\]](/images/math/f/b/3/fb30b4da9009aab1cbabab9dff6513fa.png)
alakú, ahol 
a rugóállandó, 
a tömegpont kitérése az egyensúlyi helyzetből, a tömeg, és 
a gyorsulás.
A mozgásegyenlet megoldása
![\[x(t)=A\sin(\omega_0 t+\alpha)\]](/images/math/6/9/8/698d670dcace95562a59318f4bc511f6.png)
ahol 
a (kitérési) amplitúdó, 
a 
időpillanathoz tartozó fázis (mindkettőt a kezdeti feltételek határozzák meg),
![\[\omega_0=\sqrt{\frac{D}{m}}\]](/images/math/6/2/b/62b794d7c5bd9b0793952f4288745739.png)
a csillapítatlan rezgő rendszer körfrekvenciája. (
, ahol 
a megfelelő frekvencia.)
A harmonikus rezgőmozgás sebessége
![\[v(t)=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}=A\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha)\]](/images/math/9/d/c/9dcad6f28870846c89ba112d12dd1f58.png)
ahol 
a maximális sebesség, az ún. sebesség-amplitúdó.
Csillapodó rezgések
A csillapodást okozó erők gyakran (jó közelítéssel) a sebességgel arányosak. Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete:
![\[ma=-Dx-kv\]](/images/math/b/7/0/b70cad48363b12ebe7c00c8de056d4b1.png)
ami a 
csillapodási tényező bevezetésével (
a csillapítás erősségére jellemző mennyiség) és 
definíciójának felhasználásával az alábbi alakra hozható:
![\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=0\]](/images/math/3/3/f/33fca78ee06fe71af4452fd72c08965a.png)
A differenciálegyenlet megoldása 
esetén időben csökkenő amplitúdójú lengéseket eredményez:
![\[x(t)=A\exp(-\beta t)\sin(\omega' t+\alpha)\]](/images/math/a/5/b/a5bcb83c01d1fdccaeabc85b90be897f.png)
A rezgés körfrekvenciája
![\[\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\]](/images/math/c/6/3/c630d6c795ef05121257c9d49adecb90.png)
Az amplitúdó-változás jellemzésére különböző mennyiségeket használnak. A csillapodási hányados két, azonos irányban egymás után következő amplitúdó hányadosa
![\[K=\frac{x_n}{x_{n+1} }=\exp(\beta T)\]](/images/math/1/7/5/1756b3aa94e6916876a8160a4c75bf91.png)
ahol 
. Használatos még a K csillapodási hányados logaritmusa, az ún. logaritmikus dekrementum is:
![\[\Lambda=\ln K=\beta T\]](/images/math/f/5/5/f55922b2e6f73cf0584aa6742023ae9d.png)
Kényszerrezgések
Egy tömegre pl. motor és excenter segítségével időben periodikusan változó erőt alkalmazva egy átmeneti időszak után időben állandósult rezgés alakul ki, melynek frekvenciája megegyezik a kényszerítő erő frekvenciájával, míg amplitúdója függ az erőtől, a rugóállandótól, a tömegtől, a csillapítástól valamint a gerjesztő frekvenciától. Az anyagi pont mozgásegyenlete ekkor:
![\[ma=-Dx-kv+F_0\sin(\omega t)\]](/images/math/d/7/0/d700dd523f6789794008013701d4127e.png)
A korábban bevezetett jelöléseket alkalmazva másodrendű lineáris, inhomogén differenciálegyenletet kapunk:
![\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=\frac{F_0}{m}\sin(\omega t)\]](/images/math/a/3/6/a365b484e2e8bca8da1b9e33b1dc9748.png)
ahol 
a kényszererő maximális értéke. Az egyenlet megoldása:
![\[x(t)=A\exp(-\beta t)\sin(\omega' t+\alpha)+\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} }\sin(\omega t+\varphi)\]](/images/math/f/f/3/ff32d472f194437197fc6be3fc4a17ba.png)
melynek második tagja írja le az állandósult állapotot. A 
fázisállandó nem az időmérés kezdetétől függ, hanem a kényszerítő erő fázisától való eltérés. Az állandósult állapot amplitúdójának maximuma van az
![\[\omega_{max}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}\]](/images/math/9/1/5/915a5a394448e94f7f6df72c7607febb.png)
frekvenciánál, míg a fázisállandó tangense:
![\[\text{tg}\varphi=\frac{2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}\]](/images/math/e/1/d/e1d16941260a5aaf6ab268ffe65a4434.png)
A kényszerrezgés energiaviszonyainak jellemezésére az egy periódus alatt disszipált energia 
és a rendszerben tárolt átlagos energia 
hányadosával arányos jósági tényezőt használjuk
![\[Q=2\pi\frac{\langle W\rangle}{T\langle P\rangle}=\frac{\omega_0}{2\beta}\]](/images/math/f/b/3/fb33b5c61b2c088423ffd4a18efb2806.png)
A kísérleti berendezés leírása
A kísérleti berendezés az 1. ábrán látható. Az alul elhelyezkedő elektronikai egység hátsó lapján található a kényszererőt létrehozó excenter. A kényszererő amplitúdója az amplitúdó-rúd helyzetének változtatásával szabályozható, ami a kényszert kifejtő zsinór rögzítési pontja és az excenter középpontja közötti távolságot befolyásolja (2. ábra). A kényszert továbbító zsinór a tartóoszlop tetején található két csiga vájatain áthaladva egy hurokkal kapcsolódik a vizsgálandó rugó egyik végéhez. A másik véghez a skálával ellátott mérőrúd és a hozzá erősített ún. csillapító rúd csatlakozik. E két rúd alkotja a rezgőmozgást végző „alaptömeget”, melynek értéke 50 g.
A mérőkészlethez tartozik két 50 g tömegű rézkorong is. A korongokat a mérőrudat és csillapitórudat összekötő csavarmenetre lehet felerősíteni. A tartóoszlop középmagasságánál látható a rúdvezető, melyben optikai érzékelők vannak. A mérőrudat a rúdvezető téglalap alakú nyílásán kell átvezetni.
Helyes beállítás esetén a rezgés csillapodása – melyet a légellenállás ill. a berendezés egyes elemei között fellépő súrlódás okoz – igen kicsi. Ezért a csillapítás változtatása (növelése) céljából a tartórúdra egy olyan mágnes-párt szerelhetünk fel, melynek pofái között a távolság változtatható. Ezen mágnespofák között mozog az alumíniumból készült csillapítórúd. A mágneses tér hatására a mozgó fémrúdban örvényáramok keletkeznek, melyek Joule-hőjének disszipációja okozza a rendszer csillapodását. A mágnespofák közötti távolság csökkentésével a mágneses térerősség növelhető, azaz a disszipáció, vagyis a csillapítás fokozható.
Beállítás
- Ha a készülék jól van beállítva, a mérőrúd úgy függ, hogy egyik oldala sem ér hozzá a rúdvezető nyílásának falához (3. ábra). A nem jó a beállítás a 3. ábrán látható „b” vagy „c” esetben fordul elő. A „b” esetet az elektronika doboz változtatható magasságú lábainak megfelelő állításával korrigálhatjuk (vízszintezés). A „c” eset a mérőrúd felfüggesztésével (elcsavarásával)javítható.
- A fázis és amplitúdó pontos méréséhez úgy kell felfüggeszteni a mérőrudat, hogy egyensúlyi helyzetben középvonala egybeessen a rúdvezető optikai érzékelőjével. Ennek beállításához:
- Kapcsolja be az elektronika doboz hátoldalán levő kapcsolót. Figyelje a rúdvezető LED-et. Ha a mérőrúd középvonala (8,5 cm) feljebb van, mint a rúdvezető felső éle, akkor a LED kialszik. Ha a középvonal lejjebb került, akkor a LED kigyullad.
- Mozgassa úgy a mérőrudat fel és le, hogy a középvonala áthaladjon a rúdvezetőn. Közben figyelje a FÁZIS kijelzést. Amikor a mérőrúd középvonala lefelé halad keresztül a rúdvezetőn, egy LED villog a fázisskálán. Annyira fordítsa el a kényszerkereket, hogy a fázist jelző LED éppen 0° fázishelyzetet mutasson.
- Most pontosítsa a zsinór hosszát. Ez a zsinóron található plasztikcsattal állítható. Finom állítások a tartóoszlop tetején levő csavarral végezhetők. A zsinórhossz akkor megfelelő, ha egészen kicsi oszcillációknál a fázis LED ki-be kapcsol.
Az elektronika doboz a 4. ábrán látható. Az elülső lapon található a DRIVE kapcsoló. Ezzel indítható a motor, mely a kényszer kereket forgatja. A FREKVENCIA gombbal változtatható a kényszer frekvenciája. Óramutató járásával megegyezően forgatva növeli a frekvenciát. A FUNKCIÓ kapcsoló határozza meg azt, hogy az alábbi három változóból melyiket írja ki a digitális kijelző. (A kijelző jobb oldalán egy LED mutatja, hogy melyik változó értéket olvashatjuk le.)
- FREQ. – A kényszerkerék frekvenciája (Hz)
- AMPL. – A mérőrúd csúcstól-csúcsig amplitúdója (ez az amplitúdó kétszerese) (mm)
- PERIOD – A mérőrúd egy teljes rezgésének periódusideje (s).
Mérési feladatok
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. A rugóállandó mérése
Állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd 17 cm-es jele a rúdvezető alsó szélével egy vonalba essék! Erősítse az egyik 50 g-os rézsúlyt a mérőrúd és a csillapítórúd közé! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezze fel a második rézsúlyt is, és mérje meg az újabb megnyúlást! Számítsa ki a rugó rugóállandóját!
2. Csillapítatlan rendszer lengésideje
Szabályozza be a készüléket!
- Nagyon fontos, hogy a mérőrúd ne érjen a rúdvezető egyik falához se (lásd az előző pontban)!
Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnes-pofákat! A FUNKCIÓ kapcsolót állítsa periódusidő-mérésre (PERIOD). Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, és engedje el! A digitális kijelző ekkor a rezgés periódusidejét (s) mutatja. A mérést üres mérőrúddal, majd 50 és 100 g-os terhelésekkel is végezze el!
- Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!
3. Kényszerrezgés amplitúdójának és sebesség-amplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében
A méréseket két különböző csillapítás esetén, mindkét esetben kétféle tömeggel (mérőrúd + 50 g, mérőrúd + 100 g) végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól a lehető legtávolabb állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a csillapítórúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!
Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét úgy, hogy már egészen kis kitéréseknél villogjon a digitális kijelző (beállítás)! A FUNKCIÓ kapcsolót állítsa frekvenciamérésre (FREQ.) és a DRIVE kapcsolóval indítsa el a kényszerrezgést! A FREKVENCIA szabályozó gombbal lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát, és időről-időre váltson át az amplitúdómérésre (AMPL.)!
- Itt a kijelző mm-ben megadja a csúcstól-csúcsig amplitúdót – ez az amplitúdó kétszerese. *Figyelje eközben a fázisállandót jelző LED értékét is! Amikor a kényszerítő frekvencia megegyezik az sajátfrekvenciával, a fázisszög 90°.
Keresse meg az 
rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális!
- A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától. *Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját, majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!
Amennyiben mindent rendben talál, vegye fel táblázatosan a rezonanciafrekvenciánál 1 Hz-cel kisebb és 1 Hz-cel nagyobb frekvenciák közötti intervallumban 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is) a kitérési amplitúdókat! Ábrázolja az azonos tömeggel, de különböző csillapítással felvett görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben értékét!
A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeség-amplitúdó 
értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebesség-amplitúdó – frekvencia görbéket!
- Az azonos tömeggel, de különböző csillapítással felvett görbéket közös diagrammon ábrázolja!
4. Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása
A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a csillapodási hányados mérésén alapul. Ekkor egymás utáni lengések amplitúdó-csökkenéseit mérjük. Ennek észlelése akkor pontos, ha a lengő rendszer periódusideje eléggé nagy (kb. 3-10 s). Az alkalmazott rugónál a lengésidő rövidebb, emiatt egy másik módszer alkalmazása előnyösebb. A csillapítási- és jósági tényezők a sebesség-amplitúdó frekvenciafüggéséből meghatározhatók. A sebesség-amplitúdó kifejezése:
![\[A\omega=\frac{F\omega}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\]](/images/math/3/a/e/3aeab903d3350c585ce4ec40539126d0.png)
melynek maximuma – ellentétben a kitérési amplitúdó maximumával – éppen -nál van, ahol
![\[A\omega_0=\frac{F_0}{2m\beta}\]](/images/math/6/9/4/69473f127c05ab971edfd28fc781f157.png)
A sebesség-amplitúdó az 
és 
frekvenciáknál (
), illetve az ezeknek megfelelő 
és 
(
) körfrekvenciáknál lesz a maximális sebesség-amlitúdó fele. Behelyettesítve a sebesség-amplitúdó képltébe -nél az
![\[\frac{F_0}{4m\beta}=\frac{F_0\omega_1}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega_1^2)^2+4\beta^2\omega_1^2}}\]](/images/math/c/3/4/c34b2a350064dee5fb3d2c843607eef1.png)
-nél az
![\[\frac{F_0}{4m\beta}=\frac{F_0\omega_2}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega_2^2)^2+4\beta^2\omega_2^2}}\]](/images/math/7/6/5/765c24f873f5f2b624e43efd05868e84.png)
egyenleteket kapjuk. Négyzetre emelés és átrendezés után
![\[(\omega_0^2-\omega_1^2)=\sqrt{12}\beta\omega_1\]](/images/math/0/2/5/025169502f4a75cc89834e70bd17767f.png)
illetve
![\[(\omega_2^2-\omega_0^2)=\sqrt{12}\beta\omega_2\]](/images/math/2/e/2/2e267334c8f049594666f8a24d2d4a66.png)
adódik. Ebből a két egyenletet összeadva, és egyszerűsítve a 
csillapítási tényező:
![\[\beta=\frac{\omega_2-\omega_1}{\sqrt{12}}=\frac{2\pi(f_2-f_1)}{\sqrt{12}}\]](/images/math/5/0/c/50cf31a2e426b3934d744f695d90f9e3.png)
A 
jósági tényező pedig az 
![\setbox0\hbox{$[f_0=\sqrt{f_1f_2}]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%](/images/math/e/b/5/eb52d63c569c6dcb7e4d44ee68726200.png)
felhasználásával
![\[Q=\frac{\omega_0}{2\beta}=\frac{\sqrt{3f_1f_2}}{f_2-f_1}\]](/images/math/d/f/f/dff7818fb3bfac30c91cf0afc43ba753.png)
Illesszen a 3. pontban mért sebességamplitúdó adatokra a (6) egyenletnek megfelelő görbét és határozza meg a maximális sebesség-amplitúdó értékét, majd állapítsa meg azt a két frekvenciát melyeknél sebesség-amplitúdó a maximális érték fele! Számítsa ki a (7) és (8) képletek segítségével a csillapítási és jósági tényezőket!
5. Lebegés vizsgálata
Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinusz-hullám szuperpozíciójakor "lebegés" alakul ki (5. ábra). Ha 
időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi 
időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája 
, ahol és a két összetevő rezgés frekvenciája. A differenciálegyenlet megoldása (4) képlet tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló két fajta frekvenciát. Az egyik szinusz-hullám körfrekvenciája 
, a másiké 
. Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő körfrekvenciája közelében van, valamint, ha a csillapodás kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik.
Szerelje le újra a csillapító mágnespofákat és állítsa be pontosan a mérőrúd helyzetét. Határozza meg a rendszer sajátfrekvenciáját! (A 2. méréshez hasonlóan használja a készülék kijelzőjén a PERIÓDUS állást! 
) Állítsa a kényszerkeréken az amplitúdót 2 mm-re! Kapcsolja be a kényszermozgást és szabályozza annak frekvenciáját úgy, hogy 0,1 Hz-el legyen alacsonyabb, mint ! Jegyezze fel mindét frekvencia értékét és kapcsolja ki a kényszert! Várjon, amíg a mérőrúd megáll! Állítsa a funkciókapcsolót AMPLITÚDÓ mérésre.
Helyezze a mérőrúd alá az ultrahangos érzékelőt! Indítsa el a számítógépen a Logger Lite programot. A program felismeri a rákapcsolt szenzort. Végezze el a következő beállításokat: Experiment - Data Collection – Length: 120 s; Options – Graph Options – Axes Options – Scaling: Autoscale (mindkét tengelyen).
Indítsa el az adatgyűjtést, majd kapcsolja be a kényszerrezgést! A lebegés megszűntéig mérjen! Utána a mérési adatok a File- Export as paranccsal menthetők.
Ábrázolja az amplitúdót az idő függvényében! Határozza meg a burkoló szinusz-görbe periódusidejét és frekvenciáját! Vesse össze az elmélet alapján várható értékekkel!
