Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás
Tartalomjegyzék |
Karakterisztikus méretskálák
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől.
Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszettel és fordítottan arányos a hosszával:
![\[\vec{j}=\sigma \cdot \vec{E}, \ \ \ G=R^{-1}=\frac{A\cdot \sigma}{L}\]](/images/math/7/b/c/7bc09554c31016e9d495c03164518ac1.png)
Az Ohm törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti
karakterisztikus idő alatt 
impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően 
elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség:
![\[\vec{j}=n\cdot e\cdot v_\mathrm{drift}\ \ \ \rightarrow \ \ \ \sigma=\frac{ne^2\tau_m}{m}.\]](/images/math/f/a/b/fab95ca33435af25c18d27f16f26f4af.png)
Az elektronok két ütközés között eltelt momentumrelaxációs idő alatt 
utat tesznek meg, ahol 
a Fermi sebesség. A Drude modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete (
) kisebb mint az ütközések skáláját jellemző 
momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk diffúzív vezetékeket (
), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba, illetve ballisztikus nanovezetékeket (
), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem.
 |
 |
| 1a. ábra - Diffúzív vezeték | 1b. ábra - Ballisztikus vezeték |
A két határeset között lényeges különbséf jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig a ?? ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától.
Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az 
fázisrelaxációs hossz, akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes interferencia-jelenségeket mutatnak, melyeket a ?? fejezetben szemléltetünk.
További érdekes jelenségeket tapasztalhatunk, ha a vezeték keresztmetszete a az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, 
. Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
Kvantumvezeték ellenállása
Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ideális kvantumvezetékkel, melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra).
Hard wall határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye:
![\[\Psi_{n,k}(x,y)=e^{ikx}\cdot \sin\left(\frac{n \pi y}{W} \right),\]](/images/math/c/b/b/cbb631029abef03f779de5d448cf7b17.png)
azaz hosszirányban (
) síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
![\[\epsilon_n(k)=\frac{\hbar^2k^2}{2 m} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2 m W^2}\cdot n^2\]](/images/math/2/e/e/2eea1145eb1f05e5914cd5c4584a1028.png)
ahol 
az -irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, pedig a kvantált keresztmódust (
-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3a ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. vezetési csatornákon) keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát 
-el jelöljük.
 |
 |
| 3a. ábra - Diszperzós reláció | 3b. ábra - Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva |
Ha a két elektrontartály közé 
feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3b ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív -val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek 
-vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív -val rendelkező állapotok. Áramot csak a 
ás 
kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív -jú állapotok szállítanak, hiszen kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.
Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az energiasávban található elektronok sűrűségét
a következőképpen írhatjuk:
![\[v_n=\frac{1}{\hbar}\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k},\ \ \ \ n_n=\frac{eV}{2\pi}\left(\frac{\partial \epsilon_n(k)}{\partial k}\right)^{-1}.\]](/images/math/f/0/e/f0ee30d968d8fa736cddad6bfbccd5a8.png)
A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
![\[I=2\sum_{n=1}^{M}e v_n n_n =\frac{2e^2}{h}MV,\]](/images/math/6/1/c/61ce1c2052a80ff9f33efa0b2b800ba5.png)
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú irányú transzlációinvariancia miatt az irányú impulzus megmarad,
így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.
A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál 
szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:
![\[f(\epsilon)=\frac{1}{e^{\frac{\epsilon -\mu}{kT}}+1}.\]](/images/math/0/d/5/0d5b0dcd22dcd721d4fddc49874b9617.png)
Az kvantumvezeték belsejében a 
, bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda 
betöltési szám függvénye írja le, míg a 
állapotok a 2-es elektróda 
betöltési szám függvényével jellemezhető, ahol 
és 
egymáshoz képest energiával eltolt Fermi függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak termalizálódás után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik.
A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot a
![\[I^+=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k>0} v_k f_1(\epsilon_k) = 2e \int \frac{\mathrm{d}k}{2 \pi}\frac{\partial \epsilon_k}{\hbar \partial k} f_1(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_1(\epsilon)\]](/images/math/a/4/9/a497c44ad3125b4c10a00aaeab36791d.png)
![\[I^-=\frac{2 e}{L} \sum \limits_{k<0} v_k f_2(\epsilon_k) = \frac{2 e}{h}\int \mathrm{d} \epsilon f_2(\epsilon)\]](/images/math/b/8/7/b87d522cfc4351134078079e018a0ea1.png)
képletek írják le, azaz az eredő áram:
![\[I=I^+-I^-=\frac{2 e}{h} \int \mathrm{d} \epsilon (f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon))=\frac{2 e}{h}e V.\]](/images/math/2/2/2/222fc2bad7e610e864ce36bd3692f904.png)
Mivel 
integrál tetszóleg hőmérsékleten -vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a 
vezetőképesség-kvantum.
Landauer formula
Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen 
valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lásd a ?? ábrán a 
és 
áramkomponenseket). A szórócentrumtól az elektródák felé haladó állapotok viszont kevertek, pl. a 
áramjáruléknál egyaránt figyelembe kell venni az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon reflektálódó, illetve a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon transzmittálódó elektronokat.
Zérus hőmérsékleten csak a kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az 
állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is 
állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a
energiasávban levő elektronok 
esetén a korábbiak alapján 
áramot adnának, ami 
esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz 
. Így egy egycsatornás, transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége:
![\[G=\frac{2e^2}{h}\mathcal{T} .\]](/images/math/3/c/3/3c33c14c13478a7d5031d6b5b51ced23.png)
Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A és áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy 
energiatartományban az áramjárulékuk:
![\[\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_1(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon,\;\; \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)=\frac{2 e}{h}\cdot f_2(\epsilon)\mathrm{d}\epsilon.\]](/images/math/2/f/6/2f6fb00ef30f83e32c2237831d31b794.png)
Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a áramjárulékra is, mely valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából, 
valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik:
![\[\mathrm{d}I_1^-(\epsilon)=\mathrm{d}I_1^+(\epsilon)\cdot (1-\mathcal{T}) + \mathrm{d}I_2^-(\epsilon)\cdot \mathcal{T},\]](/images/math/6/9/c/69c605f538bd74a1115063a19928811a.png)
így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka:
![\[\mathrm{d}I_1=\mathrm{d}I_1^+ - \mathrm{d}I_1^- = \frac{2 e}{h} \cdot \mathcal{T} \cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon.\]](/images/math/2/0/1/2012176fd0f3eee14c317be6d6b4a0c3.png)
A teljes áramot integrálással kapjuk meg:
![\[I=\frac{2 e}{h} \cdot \int \mathcal{T}\cdot [f_1(\epsilon)-f_2(\epsilon)]\mathrm{d}\epsilon.\]](/images/math/4/e/f/4efa33ab7245a0d1acbaa4f417e0ce90.png)
A két Fermi-függvény különbsége a és kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a 
azonosságot a vezetőképességre véges hőmérsékleten is a
![\[G=\frac{2 e^2}{h}\cdot \mathcal{T}\]](/images/math/3/9/c/39c19c41cf54b36e17aafebf82ee4a19.png)
eredményt kapjuk. Ha a transzmissziós valószínűség nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor -t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni.
Több vezetési csatorna esetén a szórócentrum hatását egy komplex transzmissziós mátrixszal (
) írhatjuk le, mely a bal oldalon az egyes csatornákban bejövő, azaz az elektródától a szórócentrum felé haladó illetve a jobb oldalon kimenő, azaz a szórócentrumtól az elektróda felé haladó módusok között teremt kapcsolatot
![\[\left| \mathrm{ki} \right>_2=\hat{t} \left| \mathrm{be} \right>_1\]](/images/math/f/1/d/f1d28141f42e56c0e95f8262b76ba5e1.png)
Megmutatható, hogy a vezetőképesség ebben az esetben
![\[G = \frac{2 e^2}{h} \mathrm{Tr}(\hat{t}^\dagger \hat{t})\]](/images/math/7/3/1/731d25473a2b91fd02df762b3eef3887.png)
formában írható. A 
kifejezést átírhatjuk 
formában, ahol 
a bal oldali i-edik csatornából a jobb oldali j-edik vezetési csatornába történő átszórás valószínűségét adja meg. Ennek megfelelően a vezetőképesség
![\[G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i,j} \mathcal{T}_{j,i}\]](/images/math/d/d/6/dd6a269bd64cb9e81b26fe13d09f4ea4.png)
formában írható. Megfelelő bázisban a probléma diagonalizálható, azaz elérhető hogy a jobb oldali i-edik csatornából csak a bal oldali i-edik csatornába tudjanak szóródni elektronok. Ekkor a rendszer a nyitott vezetési csatornák számának megfelelő 
db. egymástól független egydimenziós vezetéknek tekinthető, melyek vezetőképesség-járulékát egyszerűen összegezhetjük:
![\[G = \frac{2 e^2}{h} \sum \limits_{i=1..N} \mathcal{T}_i.\]](/images/math/b/5/d/b5ddacc209168c8bfd3c40d09bd11038.png)
A 
operátor sajátértékeinek megfelelő 
transzmissziós együtthatók az i-edik sajátcsatorna transzmissziós valószínűségét adják meg.
Vezetőképesség kvantálás kvantum pont-kontaktusban
Vegyünk egy olyan kétdimenziós kvantumvezetéket, melyben nincsenek szórócentrumok, a vezeték 
szélessége pedig lassan (adiabatikusan) változik a hossztengely mentén (?? ábra alsó panel). A lassan változó szélességnek köszönhetően a vezeték lokálisan mindenütt jól közelíthető egy párhuzamos falú vezetékdarabbal, és a hullámfüggvények leírhatók az adott szélességhez tartozó keresztirányú állóhullámokkal, illetve hosszirányú síkhullám terjedéssel. A ?? ábra felső panele a keresztirányú állóhullámokhoz tartozó energiát ábrázolja a vezeték mentén különböző vezetési csatornákra. Az egyértelmű, hogy azon vezetési csatornák tudnak csak átjutni a vezetéken (ú.n. kvantum-pontkontaktuson), melyek keresztirányú energiája a vezeték legkisebb keresztmetszeténél is a Fermi-energia alatt van.
A ?? ábra a vezetékben kialakuló diszperziós relációkat mutatja a vezeték két közeli tartományában. A jobb oldali panel egy kicsit keskenyebb vezetékszakaszhoz tartozik mint a bal oldali, így a nagyobb keresztirányú energia miatt a parabolikus diszperziók felfele tolódnak. Mivel a vezeték lokálisan közel transzlációinvariáns, így a hosszirányú impulzus és a hullámszám csak keveset változhat miközben az elektron egy adott tartományból eljut egy másik, közeli tartományba. Egy adot vezetési csatornán hullámszámmal rendelkező állapot a vezeték keskenyedése során csak úgy tud mindig kis impulzusváltozással előre haladni, ha mindig ugyan abban a vezetési csatornában marad (lásd zöld nyíl). Más csatornába történő átszóródás, illetve visszaszóródás esetén jelentősen változna. Kicsit más a helyzet, ha az előrehaladás után az adott csatorna diszperziós relációjának alja a Fermi-energia fölé kerül, azaz az elektron nem tud továbbhaladni. Ebben az esetben az a legkisebb impolzusváltozással járó folyamat, ha nullához közeli de pozitív bejövő -val rendelkező elektron ugyan azon csatorna 
állapotába szóródik vissza.
A fenti érvek alapján elmondható, hogy egy lassan változó szélességű kvantum-pontkontaktusban az összes olyan csatorna melyhez tartozó keresztirányú energia a legkisebb keresztmetszetben is a Fermi-energia alatt van 
valószínűséggel transzmittálódik (lásd zöld görbék a ?? ábrán), az összes többi csatorna pedig 
valószínűséggel reflektálódik, azaz a vezetőképesség a vezetőképesség-kvantum egész számú többszöröse:
![\[G=\frac{2e^2}{h}M,\]](/images/math/a/5/a/a5af2626ce765f8c594e3b30ae49e615.png)
ahol a legkisebb keresztmetszetben elférő keresztirányú módusok száma.
Ez a jelenség kísérletekben is megfigyelhető ha egy kétdimenziós elektrongázban két felső kapuelektróda segítségével egy keskeny csatornát alakítunk ki. Az elrendezést a ?? ábra bal oldali panele szemlélteti:
2DEG:
  |
| 2. ábra - 2DEG pontkontaktus. |
