Kvantált Hall-jelenség

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Halbritt (vitalap | szerkesztései) 2013. július 10., 05:21-kor történt szerkesztése után volt.

Tartalomjegyzék

Klasszikus Hall-effektus


A Hall-effektust 1879-ben Edwin Hall fedezte fel. A jelenség lényege, hogy ha egy síkszerű elektromos vezetőben a síkra merőleges mágneses tér jelenlétében áram folyik, akkor a vezető két oldala között az elektronokra ható Lorentz-erő miatt feszültség jelenik meg.

Hall geometria.png
1. ábra. Hall-jelenség méréséhez használt elrendezés

A Hall-jelenséget általában az 1. ábrán bemutatott Hall-elrendezésben szokták mérni. Az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram az 1. és 2. kontaktus között folyik. Ha a mérést zérus mágneses térben végezzük, akkor a 4. és 5. kontaktus között (\setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányban) nem mérünk feszültséget. A 3. és 4. kontaktus között mért \setbox0\hbox{$V_{xx}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% longitudinális feszültség és az áram arányából pedig a minta négypont ellenállását kapjuk meg. A minta síkjára merőleges (\setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú) mágneses teret kapcsolva a 4. és 5. kontaktus között \setbox0\hbox{$V_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Hall-feszültség jelenik meg, melynek az értéke a mágneses tér nagyságával lineárisan változik (2. ábra, piros görbe). A 3. és 4. kontaktus között (kismértékű mágneses ellenállástól eltekintve) továbbra is a zérus térben tapasztalt longitudinális ellenállást mérjük (2. ábra, kék görbe).

Hall R.jpg
2. ábra. Hall-feszültség és longitudinális feszültség változása a mágneses térrel

A Hall-jelenség jól leírható klasszikus, Drude-közelítésben. Az egyszerűség kedvéért számoljunk két dimenzióban. Az elektronok \setbox0\hbox{$m v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% impulzusának idő szerinti deriváltját az elektronokra ható erők összegeként kapjuk meg. A \setbox0\hbox{$-eE$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% elektromos, illetve \setbox0\hbox{$-ev\times B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Lorentz erő mellett figyelembe vesszük azt is, hogy a a kristályban történő szóródások következtében az elektronok átlagosan \setbox0\hbox{$\tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% momentumrelaxációs idő alatt elveszítik impulzusukat:

\[m \frac{dv}{dt}=-eE-ev \times B - m \frac{v}{\tau_m}.\]

A sebesség helyett vezessük be a \setbox0\hbox{$j=-e n v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áramsűrűséget, ahol \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektronok (kétdimenziós) sűrűsége. Az egyenletet átrendezve az alábbi mátrixegyenletet kapjuk az elektromos tér és az áramsűrűség komponensei között:

\[\left( \begin{array}{c} E_x \\ E_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} m/e^2 n \tau_m & B/e n \\ -B/e n & m/e^2 n \tau_m \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \rho_{xx} & \rho_{xy} \\ \rho_{yx} & \rho_{yy} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} j_x \\ j_y \end{array} \right).\]

Az áramot \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányba folyatva és \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú feszültséget mérve a minta longitudinális ellenállását a \setbox0\hbox{$\rho_{xx}=m/e^2 n \tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fajlagos ellenállásból kaphatjuk meg a geometriai faktorokkal történő skálázás után.

A fenti számolásból jól látszik, hogy véges mágneses térben \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú áram esetén \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú feszültség is megjelenik. A Hall-ellenállást a 4. és 5. kontaktusok között megjelenő \setbox0\hbox{$V_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% Hall-feszültség és az \setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% áram hányadosaként definiáljuk. Két dimenzióban ez megegyezik az \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú elektromos tér és az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú áramsűrűség arányával:

\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{E_y}{j_x}=\rho_{yx}=-\frac{B}{e n}\]

Egyszerű számolásunkból jól látszik, hogy a Hall-ellenállás a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mágneses térrel egyenesen arányos, és ezen kívül csak az elektronok sűrűségétől függ, azaz az \setbox0\hbox{$\tau_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relaxációs idő a longitudinális ellenállástól eltérően a Hall-ellenállásban nem jelenik meg. Ennek köszönhetően a Hall-ellenállás mérése általánosan bevett módszer félvezetők elektronsűrűségének meghatározására. Érdemes megjegyezni, hogy \setbox0\hbox{$p$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-típusú félvezetőkben, azaz amikor az áramot nem elektronok, hanem lyukak vezetik, a Hall-ellenállás előjelet vált. A Hall-jelenséget -amellett hogy a szilárdtestfizika alapvető mérési módszerei közé tartozik- a hétköznapokban is gyakran használjuk különböző elektronikai eszközökben elhelyezett mágneses tér szenzorok formájában.

Hall-jelenséget elsősorban félvezetőkben szoktak tanulmányozni, hiszen az alacsony elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás viszonylag könnyen mérhető. Fémekben a nagy elektronsűrűség miatt a Hall-ellenállás értéke sokkal kisebb, de precíziós műszerekkel fémekben is vizsgálható a Hall-jelenség. Mindezekről a fizikushallgatók maguk is meggyőződhetnek a Hall-effektus c. hallgatói mérés során.

Kvantált Hall-effektus

Klaus von Klitzing meglepő felfedezése


A Hall-jelenséget megfelelően nagy tisztaságú kétdimenziós elektrongázban (2DEG) és elegendően nagy mágneses térben vizsgálva nagyon meglepő viselkedést tapasztalunk. A Hall-ellenállás a lineáris térfüggés helyett lépcsőszerűen változik, a longitudinális ellenállás pedig zérus értéket vesz fel (\setbox0\hbox{$V_{xx}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) azokban a mágneses tér tartományokban, ahol a Hall-ellenállás vízszintes platót mutat (lásd 1. ábra).

Qunatum Hall Effect.png
3. ábra. Kvantált Hall-jelenség, forrás: Wikipedia

A kvantált Hall-ellenállás értékeket egy univerzális állandó és egy egész szám hányadosaként kapjuk meg:

\[R_H=\frac{h}{e^2 n}, \;\;\;n=0,1,2,\dots,\]

ami a spindegeneráció miatti 2-es szorzótól eltekintve a vezetőképesség kvantálás képletének felel meg. A tapasztalatok szerint a kvantált \setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékek függetlenek a minta alakjától, méretétől, anyagától, és \setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kísérletileg meghatározott értékei akár \setbox0\hbox{$10^{-7}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontossággal leírhatók a fenti egyszerű képlettel, azaz a kvantált Hall platók ellenállás-standardként is jól használhatók.

A kvantált Hall jelenséget Klaus von Klitzing fedezte fel 1980-ban.1 Pár évvel később (1985-ben) felfedezését Nobel díjjal jutalmazták.

A következő Nobel díj: tört számú kvantált Hall-effektus


A kvantált Hall-jelenség felfedezése óriási érdeklődést váltott ki, és nem kellett sokat várni újabb meglepő kísérleti eredményekre. Daniel Tsui és Horst Störmer kísérletei 1982-ben megmutatták,2,3 hogy még tisztább kétdimenziós elektrongázban és még nagyobb mágneses térben a Hall-ellenállás

\[R_H=\frac{h}{e^2 \nu},\;\;\; \nu=\frac{p}{q}, \;\;\; p,q=0,1,2,\dots\]

értékeket vehet fel, ahol \setbox0\hbox{$\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% már nem egész szám, hanem bizonyos egész számok hányadosa. A Hall-platók tartományában a longitudinális feszültség továbbra is zérus, \setbox0\hbox{$V_{xx}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A későbbiekben látni fogjuk, hogy Klaus von Klitzing felfedezése, az egész számú kvantált Hall-effektus (IQHE, integer quantum Hall effect) egy viszonylag egyszerű modellel magyarázható, melyben az elektronok kölcsönhatását nem kell figyelembe venni. Ezzel szemben Tsui és Störmer méréseiben tapasztalt tört számú kvantált Hall-effektus (FQHE, fractional quantum Hall effect) magyarázatában az elektronok kölcsönhatása fontos szerepet kap, a jelenség úgynevezett kompozit fermion részecskék bevezetésével írható le, mely Robert Laughlin nevéhez kötődik.4

Tsui és Störmer kísérleti felfedezését, illetve Laughlin kísérletekre adott elméleti magyarázatát 1998-ban Nobel-díjjal jutalmazták.

A harmadik Nobel-díj: anomális kvantált Hall-effektus grafénban


A kvantált Hall-effektus egy közelmúltban kiosztott Nobel-díjjal kapcsolatban is előtérbe került. 2010-ben Andre Geim és Konstantin Novoselov grafénon, azaz egyetlen grafit síkon végzett kísérleteit jutalmazták Nobel-díjjal, melynek keretében alapvető jelentőségű volt a grafénon tapasztalható anomális kvantált Hall-jelenség megmutatása. Grafénon a Hall-ellenállás az elektrosztatikus potenciáltól függően egyaránt lehet pozitív és negatív, a kvantált értékek pedig

\[R_H=\pm\frac{h}{e^2}\frac{1}{4(m+1/2)}, \;\;\; m=0,1,2,\dots \]

képlet segítségével írhatók le. A kétdimenziós elektrongáz rendszerekkel ellentétben grafénban a kvantált Hall-effektus szobahőmérsékleten is megfigyelhető.

AnomKvantHall.png
4. ábra. Anomális kvantált Hall-jelenség grafénban, forrás: Tóvári Endre diplomamunka, BME Fizika Tanszék, 2011.

A továbbiakban az egész számú kvantált Hall jelenség leírását szemléltetjük. A grafén fizikájáról egy külön fejezet keretében adunk leírást.

Kétdimenziós elektrongáz mágneses térben, Landau-nívók


Vizsgáljuk egy kétdimenziós szabad elektrongáz viselkedését a 2DEG síkjára merőleges mágneses térben!

2DEG.jpg
5. ábra. Ciklotronpálya mágneses térbe helyezett 2DEG-ben

Klasszikusan az elektronok ciklotronpályákon mozognak (5. ábra) \setbox0\hbox{$\omega_c=eB/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciával, azaz a körfrekvencia nem függ az elektronok sebességétől, csak a mágneses tértől. A körpálya sugara klasszikusan tetszőleges lehet az elektron sebességétől függően, kvantummechanikai tárgyalásban viszont a körpálya sugarának (illetve a mozgás energiájának) kvantáltságát várjuk. A Bohr - Sommerfeld kvantálási feltétel alapján meghatározhatjuk a lehetséges legkisebb sugarat (ciklotronsugár):

\[2 \pi r_c = \lambda = \frac{2 \pi \hbar}{p} = \frac{2 \pi \hbar}{m \omega_c r} \;\; \Longrightarrow \;\; r_c=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega_c}}.\]

A kvantummechanikai viselkedés részletesebb leírásához oldjuk meg a rendszer Schrödinger-egyenletét. A Hamilton-operátor:

\[\hat{H}=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2),\]

ahol a sebességoperátor a \setbox0\hbox{$\hat{v}_i=(\hat{p}_i+e\hat{A}_i)/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% képlettel származtatható a kanonikus impulzus operátorból, illetve a vektorpotenciálból. A minta síkjára (x,y) merőleges (z irányú) B térnél a vektorpotenciál az általánosság megszorítása nélkül vehető úgy, hogy csak x és y komponenssel rendelkezzen, azaz \setbox0\hbox{$A=(A_x(x,y),\;A_y(x,y))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Számoljuk ki a sebességoperátor x és y komponensének a kommutátorát!

\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{1}{m^2}[\hat{p}_x+e\hat{A}_x,\;\hat{p}_y+e\hat{A}_y]=\frac{\hbar e}{i m^2}\left([\partial_x,A_y]+[A_x,\partial_y] \right)=\frac{\hbar e}{i m^2}\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\frac{\hbar e B}{i m^2},\]

azaz:

\[[\hat{v}_x,\hat{v}_y]=\frac{\alpha}{i},\;\;\;\alpha=\frac{\hbar \omega_c}{m}.\]

Vezessünk be új operátorokat: \setbox0\hbox{$\hat{a}=(i\hat{v}_x+\hat{v}_y)/\sqrt{2 \alpha},\;\;\; \hat{a}^+=(-i\hat{v}_x+\hat{v}_y)/\sqrt{2 \alpha}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az új operátorok segítségével a Hamilton operátor

\[\hat{H}=\hbar \omega_c \left(\hat{a}^+\hat{a}+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\hbar \omega_c + \frac{\hbar \omega_c}{2 \alpha}(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2-i\hat{v}_x\hat{v}_y+i\hat{v}_x\hat{v}_y)=\frac{1}{2}m(\hat{v}_x^2+\hat{v}_y^2)\]

formában írható fel, a két új operátor kommutátora pedig:

\[[\hat{a},\hat{a}^+]=\frac{1}{2 \alpha}[i\hat{v}_x+\hat{v}_y, -i\hat{v}_x+\hat{v}_y]=1.\]

Látszik, hogy az új operátorok segítségével az egydimenziós harmonikus oszcillátor problémájára vezettük vissza a Schrödinger egyenletet, így további számolás nélkül megállapíthatjuk, hogy a mágneses térben mozgó elektronok lehetséges energiái a harmonikus oszcillátorhoz hasonlóan kvantáltak:

\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}).\]

A kvantált energiaszinteket Landau nívóknak hívjuk.

LandauNivo.jpg
6. ábra. 2DEG állapotsűrűségének energiafüggése zérus \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% térben, illetve nagy mágneses térben kialakult Landau-nívók esetén

Ahogy a 6. ábra mutatja, a mágneses tér bekapcsolása alapvetően megváltoztatja az elektronok állapotsűrűségének energia szerinti eloszlását. Mágneses tér nélkül az elektronok állapotsűrűsége konstans (energiafüggetlen), \setbox0\hbox{$g(\epsilon)=2A m/2 \pi \hbar^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Nagy mágneses térben csak a kvantált Landau-szinteken helyezkedhetnek el elektronok, ezek a diszkrét energiaszintek viszont szükségszerűen sokszorosan degenerált állapotok. D-szeres degenerációt feltételezve az állapotsűrűség: \setbox0\hbox{$g(\epsilon)=D \delta(\epsilon-\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Mivel az elektronok száma a mágneses tér bekapcsolásával nem változik, így feltételezhető hogy egy Landau-szinten levő állapotok zérus térben \setbox0\hbox{$\hbar \omega_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű energiatartományban helyezkednek el. Így egy Landau-szint degenerációja (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve):

\[D=\hbar \omega_c 2 \frac{A m}{2 \pi \hbar^2}=\frac{2 e B A}{h} \;\; \Longrightarrow \;\; D=\frac{2 \Phi}{\Phi_0},\]

ahol \setbox0\hbox{$\Phi_0=h/e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a fluxuskvantum. Egy teljesen betöltött Landau szinten a fentiek alapján az elektronsűrűség: \setbox0\hbox{$n=\frac{2 e B}{h}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

A Landau szintek magasfokó degenerációja mögött szemléletesen az áll, hogy egy ciklotronsugárnak megfelelő tipikus kiterjedésű elektronállapotot a minta \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% felületén összesen\setbox0\hbox{$N\approx 2A/r_c^2\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% különböző helyre tehetünk le (a spin szerinti degenerációt is figyelembe véve). Ez alapján kis átalakítással \setbox0\hbox{$N=4\Phi/\Phi_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% adódik, ahol \setbox0\hbox{$\Phi=B A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a teljes fluxus, \setbox0\hbox{$\Phi_0=h/e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pedig a fluxuskvantum, azaz naív számolásunkkal egy egy kettes szorzó eltéréssel visszakaptuk a Landau nívók fent kiszámolt degenerációs fokát.

Megjegyzés: a fenti állapotsűrűséges argumentum abból a feltételezésből indul ki, hogy az egyes Landau szintek egyformán degeneráltak. Az egyes landau szintek degenerációjának fokát pontosabban kiszámolhatjuk egy konkrét mértéket választva az ún. Landau mértékben. Ez a számolás is megerősíti a fenti, állapotsűrűségek összevetéséből kapott eredményt. Mivel kifejezetten tanulságos az itt ismertetett mértékinvariáns tárgyalásmódot összevetni a Landau mértékben elvégzett számolással, ezért az utóbbit vázlatosan a ?? függelékben ismertetjük.

Landau szintek megfigyelésének feltételei:

  • Az elektron sokszor végig tudja járja a cikl. pályát két szórás között:

\setbox0\hbox{$\omega_c >> \frac{1}{\tau} \;\; \Leftrightarrow \;\; B >>\frac{1}{\mu} \;\;\;\;\mu=\frac{e \tau}{m} \;\; \Rightarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagy B tér, elegendően nagy tisztaság.

  • \setbox0\hbox{$\hbar \omega_c >> k_B T,\; eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alacsony hőmérséklet!)
  • kevés Landau szint legyen betöltve, kis e sűrűség.


Ciklotron pályák középpontjának mozgása



Ciklotron.jpg
7. ábra.

Nagy mágneses térben azt várjuk, hogy az elektronok egy középponti \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kordináta körül nagyon kis, \setbox0\hbox{$\approx r_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú ciklotronmozgást végeznek. Klasszikusan az elektron éppen aktuális \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyzetét \setbox0\hbox{$r = r_0 + \Delta r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakban írhatjuk, ahol \setbox0\hbox{$\Delta r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a középpontból az aktuális ponta mutató vektor. Körmozgás esetén az elektront körpályán tartó centripetális erőt \setbox0\hbox{$F_{cp} = -m\omega^2\Delta r = - e v \times B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakban írhatunk, ami jelen esetben értelemszerűen a Lorentz erővel egyezik meg. Ez alapján a körpálya középpontját formálisan

\[r_0 = r-\frac{e}{m \omega^2} v \times B\]

alakban írhatjuk.

Játsszunk el a gondolattal, hogy az \setbox0\hbox{$r_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátát kvantummechanikai tartalommal ruházzuk fel a ciklotronpályák középpontjának helyét leíró operátorként. Komponensenként kifejtve:

\[\hat{x}_0=\hat{x}-\frac{\hat{v}_y}{\omega_c},\;\; \hat{y}_0=\hat{y}-\frac{\hat{v}_x}{\omega_c}\]

Vizsgáljuk meg, hogy a középponti koordináta várható értéke hogyan változik az idő függvényében:

\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}]\rangle - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x+\hat{v}^2_y,\hat{v}_y]\rangle = \hat{v}_x - \frac{i m}{2\hbar\omega_c} \langle[\hat{v}^2_x,\hat{v}_y]\rangle = 0,\]
és hasonlóan:
\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = 0,\]

azaz a várakozásoknak megfelelően a ciklotronpályák középpontja nem mozog.

Érdemes kiszámolni a középponti koordináták operátorainak kommutátorát is:

\[[\hat{y}_0,\hat{x}_0] = \left[\hat{y} + \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \hat{x} - \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = -\left[\hat{y}, \frac{\hat{p}_y}{m \omega_c} \right] + \left[\frac{\hat{p}_x}{m \omega_c}, \hat{x}\right] - \left[ \frac{\hat{v}_x}{\omega_c}, \frac{\hat{v}_y}{\omega_c} \right] = \frac{\hbar}{i m \omega_c} = \frac{r_c^2}{i}\]

Tetszőleges két fizikai mennyiség operátorára fenn áll az általános Heisenberg féle határozatlansági reláció, azaz:

\[\Delta A \cdot \Delta B \geq \frac{1}{2}|\langle[ \hat{A}, \hat{B} ]\rangle|\]

Ezt az összefüggést a középponti koordináta két komponensének operátorára vonatkoztatva

\[\Delta x_0 \cdot \Delta y_0 \geq \frac{r^2_c}{2}\]

adódik, azaz a ciklotronpálya középpontjának x és y írányú kvantummechanikai bizonytalanságát összeszorozva pont az \setbox0\hbox{$r_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ciklotronsugár négyzete köszön vissza, egy elektron legalább \setbox0\hbox{$r_c^2/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyet foglal. Ez alapján körszimmetrikus hullámfüggvényt feltételezve a ciklotron pályák x és y irányban is \setbox0\hbox{$\approx r_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kiterjedésűek.

Megjegyzés: Landau mérték választása esetén x irányban végtelen kiterjedést, y irányban pedig \setbox0\hbox{$\ll r_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kiterjedést kapunk, lásd függelék.


Bezáró és random potenciál



Az eddigiekben a Schrödinger egyenletben csak az elektronok kinetikus energiáját vettük figyelembe. Egy valós, véges méretű mintában a minta széleinél jelentkező bezáró potenciált, illetve a felületés töltések és szennyezők hatásaként a minta belsejében jelentkező potenciálfluktuációkat is figyelembe kell venni.

\[\hat{H} = \hat{H}_0 + \hat{U} = \hat{H}_0 + \hat{U}_{bezaro} + \hat{U}_{flukt}\]
QHall potential.png
8. ábra. Landau-szintek módosulása a a minta szélénél a bezáró potenciál, illetve a minta közepében jelentkező fluktuáló potenciál miatt

Az U potenciált perturbációként kezelve, és feltételezve hogy U lassan változik a hullámfüggvény tipikus kiterjedéséhez, \setbox0\hbox{$r_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-hez képest (azaz elegendően nagy a mágneses tér) az energiária egyszerűen

\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2}) + \langle \Psi | U | \Psi \rangle \approx E=\hbar \omega_c(n+\frac{1}{2}) + U(x_0,y_0)\]

adódik, azaz a kvantált Landau szintek energiáit a hullámfüggvény középpontjánál vett potenciál értékével korrigáljuk.

A véges U esetén az ellektronok mozgását úgy képzeljük el, hogy a gyors (\setbox0\hbox{$\omega_c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciájú) és kis (\setbox0\hbox{$\sim r_c^2 qsim 1/B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) területre koncentrált ciklotronmozgás mellett a ciklotronpályák középpontjának koordinátái a potenciál hatására haladó mozgást végeznek. Írjuk fel a mozgásegyenletet \setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra:

\[\frac{d}{d t}\langle\hat{x}_0\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H},\hat{x}_0]\rangle = \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{H}_0,\hat{x}_0]\rangle + \frac{i}{\hbar} \langle[\hat{U},\hat{x}_0]\rangle = - \frac{i}{\hbar m \omega_c} \langle[\hat{U},\hat{p}_y]\rangle = - \frac{1}{m \omega_c} \langle[U,\partial_x]\rangle = \frac{1}{e B} \langle\frac{\partial U}{\partial y}\rangle \approx \frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial y_0},\]

ahol megintcsak feltételeztük, hogy a hullámfüggvény kiterjedése kicsi U változásának skáláján. Hasonlóan:

\[\frac{d}{d t}\langle\hat{y}_0\rangle = -\frac{1}{e B} \langle\frac{\partial U}{\partial x}\rangle \approx -\frac{1}{e B} \frac{\partial U(x_0,y_0)}{\partial x_0}.\]

A fentiek alapján számoljuk ki a potenciál változását a pálya mentén, azaz U idő szerinti teljes deriváltját:

\[\frac{d U}{d t}=\frac{\partial U}{\partial x_0} \cdot \dot{x}_0 + \frac{\partial U}{\partial y_0} \cdot \dot{y}_0 = \frac{c}{e H} \left( \frac{\partial U}{\partial x_0} \frac{\partial U}{\partial y_0} - \frac{\partial U}{\partial y_0} \frac{\partial U}{\partial x_0} \right) = 0.\]

Számolásunk alapján a ciklotronpályák középpontja ekvipotenciális felületek mentén mozog!


Elektron transzport egyetlen Landau nívó esetén


Tételezzük fel olyan mágneses teret, melynél a Fermi energia az első és második Landau szint között helyezkedik el, azaz az első Landau szint teljesen betöltött, a második pedig betöltetlen (lásd ?? ábra). Ebben az esetben a Fermi energiánál a minta széelinél találunk állapotokat a bezáró potenciálnak köszönhetően, a minta belsejében egy tiltott sávot tapasztalunk a Fermi energia és a betöltött Landau szint között. Ebben az esetben elektrontranszport csak a minta szélei mentén megengedett, ahol az elektronok energiája metszi a Fermi energiát. Mivel a minta két szélét elválasztó makroszkópikus méretű tartományban az elektrontranszport nem megengedett, így a minta két széle között nem történhet átszóródás.

QHall elallapot.png
9. ábra. A tömbi Landau-szintektől távol áram csak az élállapotok mentén folyhat, a két él között nincs átszóródás

Vizsgáljuk meg a minta felső széle mentén az elektronpályák középpontjának mozgását. Korábban kiszámolt képletünk alapján:

\[\dot{x}_0=\frac{1}{e B} \frac{\partial U_{bezaro}}{\partial y_0} > 0,\]

azaz, mivel a felső élnél a bezáró potenciál y szerinti deriváltja pozitív, így az elektronok pozitív x irányban mozognak. Y irányban a bezáró potenciál nem változik, így az elektronok középpontjának y irányú sebessége zérus. Hasonlóan megállapítható, hogy a minta alsó szélénél az elektronok negatív x irányú mozgást végeznek.

Az előbbi megállapítás önmagában elég ahhoz, hogy a kvantált Hall-effektus egyik meglepő tulajdonságát megértsük. Mivel a felső él mentén csak pozitív irányban haladhatnak az elektronok, és az alsó és felső élállapotok között nem megengedett az átszórás, így a felső él mentén mozgó elektronok mind a baloldali elektródából származnak, azaz kémiai potenciáljuk \setbox0\hbox{$\mu_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Hasonlóképpen az alsó él mentén mozgó elektronok mind a jobb oldali elketródából származnak, azaz \setbox0\hbox{$\mu_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kémiai potenciállal rendelkeznek. Így érthető, hogy egy él mentén mért hosszirányú feszültség zérus, a két él között pedig a két elektróda kémiai potenciál különbségének megfelelő Hall feszültség jelentkezik,

\[V_{xx}=0,\;\; V_H=(\mu_1-\mu_2)/e.\]

A Hall-ellenállás meghatározásához az élállapotokon keresztül folyó áramot is meg kell határoznunk. Először számoljuk ki, hogy egy élállapot \setbox0\hbox{$d\epsilon$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű energiatartománya mekkora járulékot ad az áramhoz.

BezaroPot2.jpg
10. ábra.

A \setbox0\hbox{$d\epsilon$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% energiatartomány \setbox0\hbox{$dy$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szélességű térbeli tartománynak felel meg az él mentén, ahol \setbox0\hbox{$d\epsilon/dy$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a potenciál y szerinti deriváltja. Korábbi számolásaink alapján az elektronok sebessége \setbox0\hbox{$v=(1/e B)\cdot (\mathrm{d} \epsilon/\mathrm{d} y)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, az elektronsűrűség pedig \setbox0\hbox{$n=2eB/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így az áramra

\[I=j \mathrm{d} y = n e v \mathrm{d} y = \frac{2 e}{h} \mathrm{d} \epsilon\]

adódik.

BezaroPot3.jpg
11. ábra.

Mivel \setbox0\hbox{$\mu_1-\mu_2=e V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén a felső él mentén \setbox0\hbox{$eV$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel magasabb energiáig vannak betöltve az állapotok mint az alsó él mentén, így a mintén folyó teljes áram

\[I=\frac{2 e}{h} e V.\]

Ennek megfelelően a Hall ellenállás illetve a Hall vezetőképesség:

\[R_H=\frac{V_H}{I}=\frac{h}{2 e^2}, \ \ \  G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{2 e^2}{h}\]

A Hall-vezetőképességre kapott eredmény megegyezik egy egycsatornás tökéletes kvantumvezeték ellenállásával, azaz a vezetőképesség kvantummal ??. Fontos azonban megemlíteni, hogy nanovezetékekben a vezetőképesség kvantálás csak a hullámhosszal összemérhető méreteknél és simán változó (visszaszórás mentes) potenciálban figyelhető meg, addig a kvantált Hall-effektus a jobbra és balra haladó állapotok térbeli szeparációjának köszönhetően egy makroszkopikus mintán megfigyelhető jelenség.




Több Landau nívó, Zeeman felhasadás


A korábbiakban a Landau nívókat spin szerint degeneráltnak tekintettük. Természetesen mágneses térben az energiák spin szerinti Zeeman-felhasadását is figyelembe kell venni:

\[E=\hbar \omega_c (n+\frac{1}{2})+U_{bezaro} + g \mu_B B S_z,\]

ahol \setbox0\hbox{$S_z=\pm1/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az elektronspin z irányú komponense.

Félvezetőkben a kis effektív tömeg miatt tipikusan \setbox0\hbox{$\hbar \omega_c >> g \mu_B B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% (\setbox0\hbox{$\hbar \omega_c [K] \approx 20 B [T],\;\; g \mu_B B [K] \approx 0.3 \cdot B [T]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%), de ha a \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tér elegendően nagy akkor a Landau-szintek \setbox0\hbox{$\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% spinű elektronjai elkülönült energiaszinteket tudnak létrehozni, ezek a spin polarizált Landau-szintek.

Landau nívók

Egyetlen teljesen betültött spinpolarizált Landau-szint esetén a minta két szélén kialakuló élállapot értelemszerűen \setbox0\hbox{$G_H=e^2/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vezetőképességet ad, hiszen csak a spindegenerációból adódó kettes faktort kell elhagyni az állapotsűrűségből.

Ha a Fermi energia alatt M db. spin polarizált Landau szint található, és az élektől távol a Fermi energia két Landau szint közé esik akkor a Hall-vezetőképesség és ellenállás:

\[G_H=\frac{I}{V_H}=\frac{e^2}{h} M,\;\; R_H=\frac{h}{e^2}\frac{1}{M},\]

Azaz visszakaptuk a kísérletekben megfigyelt értékeket. A mérések szerint \setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relatív pontossága akár \setbox0\hbox{$\sim 10^{-7}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% is lehet, ami a visszaszórás hiányának tökéletességét mutatja. Fontos megjegyezni hogy a minta egyik oldalán kölönböző Landau-szintek közötti átszórás nem változtat a vezetőképességen, hiszen csak az számít hogy egy adott élállapotban elinduló elektron - még ha át is szóródik másik élállapotba - biztosan nem jut vissza a kiinduló elektródába.

A jelenség megértését segíti a ?? ábrán bemutatott klasszikus kép is: az élek mentén hiába szóródik szennyezőkön egy elektron, az 1. elektródából induló elektron végül mindig a 2. elekródába érkezik!

Klasszikus kép


A Fermi-energia helyzete


A fenti megfontolások alapján pontosan kijön a Hall-ellenállás kvantáltsága, azonban a számolások azon a feltételezésen alapulnak, hogy a Fermi energia két Landau-szint közé esik, ami nem feltétlenül igaz. Vizsgáljuk meg pontosabban, hogy mikor is esik a Fermi energia két Landau szint közé!

1/B növelésével egymás után töltjük be a spinpolarizált Landau szinteket. A Landau szintek óriási degenerációja miatt a Fermi energia szinte mindig az egyik Landau szintre esik, kivéve amikor éppen egy teljesen betöltött és egy betöltetlen Landau szint közötti élállapotokat töltünk fel. Az élállapotok száma azonban elhanyagolható a Landau-szintek belső állapotainak számához képest, egyszerű becslés e két allapotszám úgy aránylik egymáshoz mint a minta makroszkópikus szélessége az élállapot nanométeres skálájú y irányú kiterjedéséhez. Ennek megfelelően csak nagyon szűk mágneses tér tartományokban várjuk, hogy a Fermi energia két tömbi Landau szint energiája között legyen (?? ábra). Ha viszont a Fermi energia egy tömbi Landau szintnél helyezkedik el, akkor ezen a Landau szinten keresztül már átszóródhatnak az elektronok a két él között, azaz a korábbi érvelésünk érvénytelen. Azaz azt a lehangoló eredményt kaptuk, hogy a Hall-vezetőképesség csak nagyon szűk, szinte pontszerű mágneses-tér tartományokban veszi fel a várt kvantált értékeket, ráadásul ezek a pontok jól illeszkednek a klasszikus Hall-vezetőképesség 1/B-vel lineárisan arányos változására (?? ábra), azaz a kiterjedt Hall-platókra eddig nem kaptunk magyarázatot.

Fermi szint helyzete


Eddig csak a zöld pontokat magyaráztuk meg! Ez alapján \setbox0\hbox{$G_H\sim 1/B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lineáris függés is lehetne, nem kellene kiterjedt kvantált platókat látni!

Mi stabilizálja \setbox0\hbox{$E_F$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-et a Landau szintek közé?


Rendezetlenség szerepe



Az eddigi számolásokban csak az élállapotok kialakulásáért felelős bezáró potenciált vettük figyelembe. A kiterjedt kvantált Hall-platók megértéséhez a minta belsejében kialakuló fluktuáló potenciált is figyelembe kell venni. Tökéletlen minta (azaz véges fluktuáló potenciál) esetén a tömbi Landau szintektől eltérő energiánál az elektronok nem csak az élállapot mentén mozoghatnak, hanem a minta belsejében a fluktuáló potenciál adott energiának megfelelő ekvipotenciális vonalai mentén is. Ha az energia kellőképpen eltér a tömbi Landau szintektől akkor az elektronok a fluktuáló potenciál hegyei vagy völgyei mentén zárt pályákra kényszerülnek (?? ábra), azaz a minta belsejében vannak a landau szintektől eltérő energiájú állapotok, de ezek lokalizált állapotok, a minta két széle közötti transzporthoz nem járulnak hozzá. A Landau szinteknek megfelelő energiáknál - azaz a fluktuáló potenciál átlagértékénél - az elektronok már találnak az ekvipotenciális vonalak mentén olyan trajektróriákat, melyek mentén átszóródhatnak a minta két széle között (?? ábra).

EF energián lévő elektronok mozgása

A fentiek gondolatmenet alapján megállapíthatjuk, hogy tökéletlen minta esetén a Landau szintek körüli véges energiatartományban véges állapotsűrűséget tapasztalunk (?? ábra), azonban a Landau szintektől távolabb ez a véges állapotsűrűség a tömbi tartomány potenciáljában lokalizált állapotoknak felel meg. Ennek megfelelően a Fermi-energia kiterjedt mágneses tér tartományokban eltér Landau szintek energiájától, de ezeknél az energiáknál továbbra is igaz a két oldalon kialakuló élállapotok közötti átszórás tilalma, azaz valóban véges szélességű kvantált Hall-platókat várunk.

Szennyezések hatása

A fentiek alapján látjuk, hogy a rendezetlenségnek kettős szerepe van a kvantált Hall-jelenség szempontjából. Egyrészt, túl nagy szennyező-koncentráció, melynél a szórások közötti átlagos idő összemérhető a ciklotronmozgás periódusidejével (\setbox0\hbox{$B \sim 1/\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) lerombolja a kvantált Hall-jelenséget. Másrészt ha a minta túl tökéletes akkor szintén nem várunk kiterjedt kvantált Hall-platókat, azaz a minta tökéletlensége teszi lehetővé, hogy \setbox0\hbox{$R_H=h/e^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% legyen a létező legpontosabb ellenállás standard. Ez utóbbi egyértelműen látszik a tört számű kvantált Hall-effektust bemutató kísérletekben. Ezekhez a mérésekhez nagyon jó minőségű (nagy szabad úthosszal rendelkező) kétdimenziós elektrongáz rendszerek kellettek (epitaxiálisan növesztett GaAs/AlGaAs 2DEG + delta dópolás + nagyon alacsony hőmérséklet), és ennek megfelelően az egész számú kvantált Hall platók sokkal csúnyábbak, kevésbé kiterjedtek mint Klaus von Klitzing IQHE mérései.


Mach-Zehnder interferométer Kvantum Hall élállapotokkal



A kvantált Hall effektus - azon túl, hogy önmagában is érdekes jelenség - a nanofizika eszköztárát is fontos kísérleti technikával bővítette. Az kvantált Hall élállapotok - a visszaszórás hiánya miatt - kifejezetten jól használhatók arra hogy kvantum elektronikai kísérleteket végezünk. Az alábbiakban a legalapvetőbb példát mutatjuk be: egy Mach Zehnder interferométer kialakítását élállapotokkal.

E

elektronokkal koherens közötti visszaszórás hiánya miatt 2DEG nagy mágneses térben, úgy hogy az elektronok csak a legalsó Landau szinten, egy élállapotban tudnak propagálni.

Mach-Zender interferométer

Kapu elektródákkal hangoljuk az alsó ág trajektóriáinak hosszát, azaz az alsó ág fázisát.

\setbox0\hbox{$T=0.5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re állított QPC 2 felé osztja az "élcsatornát" (edge channel), mint egy féligáteresztő tükör. A source elektródába visszaverődés nincs. Egy másik \setbox0\hbox{$T=0.5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re hangolt QPC-vel egyesítjük a két nyalábot. Az egyik kimenő nyalábon mérjük az interferenciajelet. A külső mágneses térrel hangoljuk az Aharonov-Bohm fázist.



Mind a mágneses tér, mind a kapu feszültség függvényében jó látszik az interferenciakép.

Forrás: J. Yang et el. Nature 422, 415 (2003)