Spintronika

Spindiffúziós hossz

Egy makroszkopikus vezetőben az elektronok számtalanszor szóródnak miközben eljutnak az egyik elektródából a másikba. Ahogy a nanovezetékek tárgyalásának bevezetésekor láttuk, a szennyezőkön és rácshibákon történő rugalmas szórás az elektronok elektromos tértől nyert impulzusának elvesztéséhez vezet. Ennek a folyamatnak a karakterisztikus skáláját az átlagos momentumrelaxációs szabadúthossz, $\setbox0\hbox{$l_m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jellemzi. Rugalmatlan szórások esetén (pl. kölcsönhatás rácsrezgésekkel) az elektronok energiája megváltozik, és így elveszik a fázisinformáció, azaz megszűnik az interferenciaképesség. Ennek a folyamatnak a karakterisztikus skálája az ún. fázisdiffúziós hossz, $\setbox0\hbox{$L_{\phi}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Megfelelő távolságon belül az elektronok a mágneses momentumuk, azaz a spinjükhöz tartozó információt is elvesztik, amit a spindiffúziós hosszal, $\setbox0\hbox{$L_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jellemezhetünk. Egy spindiffúziós hossznál kisebb, mágnesesen rendezett építőelemeket tartalmazó nanoszerkezetben azonban számos érdekes, az elektronok spin szerinti polarizáltságához kötődő jelenséggel találkozhatunk.

Spinpolarizáció ideális nanovezetékekben

A korábbiakban láttuk, hogy ha két elektróda közé egy ideális, szórásmentes nanovezetéket helyezünk, akkor abban keresztirányban állóhullámok, hosszirányban pedig síkhullám terjedés alakul ki, a vezetőképesség pedig $\setbox0\hbox{$G=(2e^2/h)M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol M a nyitott vezetési csatornák száma, azaz azon különböző keresztmódusokhoz tartozó egydimenziós parabolikus diszperziók száma, melyek metszik a Fermi-energiát. A kettes szorzó a spin szerinti degenerációból adódott.

Egy ferromágneses nanovezetékben azonban különbséget kell tenni a fel és a le spinű elektronok között. A vezeték mágnesezettségét legegyszerűbben Stoner-képben vehetjük figyelembe, azaz az energidiszperziókhoz hozzáadjuk a kicserőlédési energiát, mely $\setbox0\hbox{$\varepsilon_{\mathrm{ex}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el különbözik a fel illetve le spinű ($\setbox0\hbox{$\sigma =\pm 1/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) elektronokra:

$\[\varepsilon_n^{\sigma}(k)=\varepsilon(k)+\varepsilon_n-\sigma\varepsilon_{\mathrm{ex}}.\]$

Emlékeztetőül: $\setbox0\hbox{$\varepsilon(k)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hosszirányú terjedést, $\setbox0\hbox{$\varepsilon_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a keresztirányú állóhullámok energiáját írja le. Fontos megjegyezni, hogy $\setbox0\hbox{$\varepsilon(k)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lehet tetszőleges Bloch-állapot diszperziója, nem kell feltétlenül szabad elektronoknak megfelelő parabolikus diszperziót feltételezni.

1. ábra. Ferromágneses nanovezetékben a le spinű elektronok diszperziós relációja (piros) a kicserélődési energiával eltolódik a fel spinű elektronokéhoz képest (kék)

Az 1. ábra parabolikus szabad elektron diszperzió esetén szemlélteti az energiaviszonyokat. A kék görbék a fel, a piros görbék pedig a le spinű elektronokhoz tartoznak, azaz a piros parabolák mindig $\setbox0\hbox{$\varepsilon_{\mathrm{ex}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energiával a megfelelő kék parabola felett helyezkednek el. A korábbiaknak megfelelően a $\setbox0\hbox{$k>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotok a bal oldali elektródából származnak, így annak a $\setbox0\hbox{$\mu_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kémiai potenciáljáig vannak betöltve, míg a $\setbox0\hbox{$k<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állapotok a jobb oldali, $\setbox0\hbox{$\mu_R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kémiai potenciálú elektródából származnak.

2. ábra. Diszperziós görbék ferromágneses nanovezetékben a Fermi-energia körül. Fel spinű elektronoknak (kék) több nyitott vezetési csatorna áll rendelkezésre mint le spinű elektronoknak (piros).

Értelemszerűen egy ferromágneses nanovezetékben a nyitott csatornák száma különbözhet a különböző spinű elektronokra (2. ábra), így az áram

$\[ I=\sum_{\sigma =\frac{1}{2},-\frac{1}{2}} \frac{e^2}{h}M^{\sigma}V \]$

alakban írható, ahol $\setbox0\hbox{$M^{\sigma}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (illetve máshogy jelölve $\setbox0\hbox{$M^{\uparrow}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$M^{\downarrow}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) a fel és le spinű elektronokhoz tartozó nyitott csatornák száma.

Fontos megjegyezni, hogy itt figyelembe vettük, hogy a nanovezetéken belül az elektronok spinállapota nem változik, ennek köszönhető hogy a fel és le spinű elektronokat egymástól független csatornaként kezelhetjük az áram felírásakor: $\setbox0\hbox{$I=I^{\uparrow}+I^{\downarrow}=(e^2/h)(M^{\uparrow}+M^{\downarrow})V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Látjuk, hogy ferromágneses ideális nanovezetékben a vezetőképesség $\setbox0\hbox{$e^2/h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint kvantált.

Az elektronok spin szerinti polarizáltságának fokát

$\[ P_c=\frac{I^{\uparrow}-I^{\downarrow}}{I^{\uparrow}+I^{\downarrow}} \]$

képlettel definiálhatjuk, ami ideális nanovezetékben $\setbox0\hbox{$P_c=(M^{\uparrow}-M^{\downarrow})/(M^{\uparrow}+M^{\downarrow})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ formában is írható. Ez a spinpolarizáció $\setbox0\hbox{$-1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közötti értékeket vehet föl, tökéletes spinpolarizáció ($\setbox0\hbox{$P_c=\pm 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) félfémben érhető el, amikor csak fel (vagy le) spinű elektronok találhatók a Fermi-energia környékén. Fontos megjegyezni, hogy mindig a fel spint vesszük többségi spinorientációnak, mely a ferromágneses tartomány mágnesezettség-irányának felel meg. Később látni fogjuk, hogy a spinpolarizáció lehet a mágnesezettséggel ellentétes előjelű.

Landauer formula spinpolarizált esetben

Egy mágneses nanovezeték valósághűbb leírását kapjuk, ha szórást is megengedünk a vezetéken belül. Ezt a legegyszerűbben a korábban megismert Landauer formalizmus keretében tehetjük meg. A Landauer képben az elektrontranszportot $\setbox0\hbox{$\mathcal{T}_{m,n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ transzmisszós valószínűségekkel írjuk le, melyek a bal oldali $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-edik vezetési csatornából a jobb oldali $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-edik csatornába történő szóródás valószínűségét adják meg. Míg $\setbox0\hbox{$\mathcal{T}_{m,n}=\delta_{m,n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fent tárgyalt ideális kvantumvezetéknek felel meg, ha a vezetéken belül az elektronok rácshibákon, illetve szennyezőkön szóródnak, akkor $\setbox0\hbox{$\mathcal{T}<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ transzmissziós valószínűségeket kapunk. Fontos megjegyezni, hogy a Landauer-kép inelasztikus szórásokat (pl. elektron-fonon kölcsönhatás) és spinszórásokat nem tud figyelembe venni.

Vizsgáljuk meg a 3. ábrán szemléltetett rendszer vezetési tulajdonságait: a nanovezeték két nemmágneses ideális kvantumvezeték között egy ferromágneses tartományt tartalmaz, melyben szóródhatnak az elektronok.

3. ábra. Ferromágneses nanovezetékben a fel és le spinű elektronok transzmissziós valószínűségei különbözhetnek

Mivel spinszórás nem történik, az áramot továbbra is egymástól függetlenül számolhatjuk a két spincsatornára a transzmissziós valószínűségek figyelembe vételével:

$\[ I^\sigma=\frac{e^2}{h}\sum_{n,m=1}^{M^\sigma}T_{m,n}^\sigma V. \]$

A $\setbox0\hbox{$\mathcal{T}_{m,n}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékek függnek az elektronok Fermi-hullámhosszától, ami egy adott $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-edik csatorna esetén jelentősen eltérhet a két spin-orientációra a kicserélődési felhasadás miatt. Ez alapján spinszórás (pl. spin-pálya kölcsönhatás) nélkül is a transzmisszós valószínűségek különböznek a két spincsatornára, ezt vesszük figyelembe a $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ indexszel.

A spinfüggő áramot átírhatjuk

$\[ I^\sigma=\frac{e^2}{h}M^\sigma \bar{T}^\sigma V \]$

formába, ahol $\setbox0\hbox{$\bar{\mathcal{T}}^\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az átlagos transzmissziós valószínűség a $\setbox0\hbox{$\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ spin-orientációhoz tartozó összes nyitott vezetési csatornára. Ezzel a jelöléssel az áram spin szerinti polarizáltságát

$\[ P_c=\frac{I^{\uparrow}-I^{\downarrow}}{I^{\uparrow}+I^{\downarrow}}=\frac{M^{\uparrow}\bar{T}^\uparrow-M^{\downarrow}\bar{T}^\downarrow}{M^{\uparrow}\bar{T}^\uparrow+M^{\downarrow}\bar{T}^\downarrow}. \]$

formában írhatjuk. Spinpolarizált áramot a két spincsatorna között a nyitott vezetési csatornák számában illetve az az átlagos transzmissziós valószínűségben fellépő különbség egyaránt eredményezhet.

Kevés vezetési csatorna (pl. egyatomos kontaktus) esetén a $\setbox0\hbox{$\bar{T}^\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\bar{T}^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közötti különbség jelentős spinpolaizációt okozhat akkor is, ha a vezetési csatornák száma megegyezik a két spinirányra. Sok csatornás struktúrákban viszont $\setbox0\hbox{$\bar{T}^\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sok, különböző Fermi-hullámszámú csatornára vett átlag, így a spindiffúziós hossznál kisebb struktúrákban, ahol csak a rugalmas szórásokat vesszük figyelembe, az átlagos transzmisszós valószínűséget közel azonosnak várjuk a két spinirányra. Ennek megfelelően az áram spinpolarizációjához az elsődleges járulékot a vezetési csatornák számának különbsége adja:

$\[ P_c\approx \frac{M^{\uparrow}-M^{\downarrow}}{M^{\uparrow}+M^{\downarrow}}, \]$

akkor is ha nem ideális a vezeték, azaz $\setbox0\hbox{$\bar{T}^\uparrow\approx\bar{T}^\downarrow<1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Korábbi megfontolások alapján a vezetési csatornák számát formálisan:

$\[ M^\sigma=\frac{2\pi\hbar}{L}\sum_{n=1}^{M^\sigma}v_n^{\sigma}g_n^{\sigma} \]$

alakban írhatjuk. Vezessünk be egy átlagos Fermi-sebességet, mely a különböző csatornák Fermi-sebességeinek átlaga a csatornák állapotsűrűségével súlyozva,

$\[ \bar{v}_F^\sigma=\frac{\sum_{n} g_n^\sigma v_n^\sigma}{\sum_{n} g_n^\sigma}. \]$

Figyelembe véve, hogy $\setbox0\hbox{$\sum_{n} g_n^\sigma=g_F^\sigma$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Fermi szint teljes állapotsűrűsége, az áram spinpolarizációjára vonatkozó formulánkat átírhatjuk

$\[ P_c\approx\frac{M^{\uparrow}-M^{\downarrow}}{M^{\uparrow}+M^{\downarrow}}=\frac{g_F^{\uparrow}\bar{v}_F^{\uparrow}-g_F^{\downarrow}\bar{v}_F^{\downarrow}}{g_F^{\uparrow}\bar{v}_F^{\uparrow}+g_F^{\downarrow}\bar{v}_F^{\downarrow}} \]$

alakba. Ez a formula lehetőséget ad arra, hogy a spinpolarizációt sávszerkezet-parameterek (Fermi-felület állapotsűrűsége és Fermi-sebesség) alapján értelmezzük.

Ferromágneses anyag sávmodelljét szemlélteti a 4. ábra. Mindkét panelen az energiatengelytől jobbra a fel, míg balra a le spinű elektronok állapotsűrűsége látszik. Az $\setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-elektronokhoz tartozó parabolikus energiafüggésű állapotsűrűség mellett a keskeny $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ (vagy $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) sávokhoz tartozó állapotűrűség-csúcsokat láthatjuk, az utóbbi energiában felhasad a kicserélődési kölcsönhatás miatt. Az anyag mágnesezettsége a betöltött (Fermi-energia alatti) fel és le spinű elektronok számának különbségéből adódik. Mindkét panelen a fel spinű elektronok vannak nagyobb számban, azaz a fel spint tekintjük többségi spinorientációnak. Ezzel szemben a transzport-tulajdonságokhoz, így az áram spinpolarizációjához csak a Fermi-felület közelében levő elektronok adnak járulékot. Az a) panelen a fel spinű elektronok vannak jelen nagyobb számban a Fermi-szintnél, így pozitív a spinpolarizáció. Ezzel szemben a b) panelen a Fermi-energia máshol helyezkedik el a $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-sávokhoz képest, így végül a le spinű elektronok állnak rendelkezésre nagyobb számban a Fermi-energiánál, azaz a pozitív mágnesezettség ellenére negatív spinpolarizációt kapunk. Negatív spinpolarizációt valós anyagokban is tapasztalhatunk, pl. Co és Ni esetében.

Fájl:Savmodell.png

4. ábra. ???

Spinpolarizált transzport alkalmazása: spin szelep

A spin szabadsági fok kihasználásával számos érdekes eszközt építhetünk. A továbbiakban a gyakorlati felhasználás szempontjából legelterjedtebb, merevlemezek olvasófejében alkalmazott eszközt, a spin-szelepet mutatjuk be.

Az alap ötlet, az óriás mágneses ellenállást mutató nanoszerkezet felfedezése Albert Fert \cite{PhysRevLett.61.2472} és Peter Grünberg nevéhez kötődik, akik 2007-ben Nobel-díjat kaptak felfedezésükért. Az szerkezet két ferromágneses rétegből áll, melyeket egy, a spindiffúziós hossznál vékonyabb paramágneses réteg köt össze (lásd 5/a. ábra). A tapasztalatok alapján ennek a nanostruktúrának az ellenállása lényegesen nagyobb akkor, ha a két mágneses réteg mágnesezettsége azonos irányba mutat, mint ha ellentétes irányba mutatnak. Ezt a jelenséget lehet kihasználni mágnesesen tárolt információ kiolvasására, ha a felső réteg mágnesezettségét rögzítjük, az alsó réteg mágnesezettsége pedig az alatta mozgatott adattároló lemez mágnesezettségének megfelelően áll be, így az információ egyszerű ellenállás-méréssel kiolvasható. Ezzel a módszerrel a merevlemezek tárolókapacitásának jelentős növekedését lehetett elérni az eredeti induktív, illetve a későbbi anizotróp mágneses ellenállás mérésen alapuló módszerekhez képest.

5. ábra

Először tegyük fel, hogy mindkét ferromágneses réteg mágnesezettsége felfelé mutat. Az 5/b. ábra szemlélteti a fenti Stoner-modell keretében a kicserélődési energia alakulását a fel spinű elektronokra (kék görbe) illetve a le spinű elektronokra (piros görbe). A kicserélődési felhasadás hatását legegyszerűbben úgy szemléltethetjük, hogy mind a normál mind a ferromágneses tartományokat ideális nanovezetéknek tekintjük. Ebben az esetben a pozitív kicserélődési energia ekvivalens azzal, mint ha egy nemmágneses tartományban keresztirányú $\setbox0\hbox{$\varepsilon_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ energia megnőne, azaz a vezeték összeszűkülne, míg a negatív kicserélődési energiát úgy tekinthetjük, mint ha $\setbox0\hbox{$\varepsilon_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csökkenne, azaz a vezeték szélessége megnőne. Ezt az ekvivalens képet szemlélteti az 5/c. ábra az 5/b. ábrának megfelelő mágnesezettség-irányok mellett, illetve az 5/e ábra abban az esetben, ha a két mágneses réteg mágnesezettsége ellentétes irányba mutat.

Ebben az ekvivalens képben a fel és a le spinű elektronok is egy adiabatikus nanovezetéket látnak, így a legkisebb keresztmetszetben elférő nyitott csatornák száma fogja meghatározni a vezetőképességet. Jelöljük a nyitott csatornák számát $\setbox0\hbox{$M^0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-al a normál vezetékdarabban, $\setbox0\hbox{$M^\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-el ha az elektronok spinje a többségi spinorientációnak felel meg (azaz $\setbox0\hbox{$\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ spinű elektronok mennek $\setbox0\hbox{$\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mágnesezettésű tartományban vagy $\setbox0\hbox{$\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektronok mennek $\setbox0\hbox{$\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tartományban), illetve $\setbox0\hbox{$M^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel, ha egy adott mágnesezettségű tartományban ellentétes spinű (kisebbségi spinorientációjú) elektronok haladnak. A mágneses rétegek azonos irányú (parallel, $\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) beállása esetén a fel spinű elektronokra $\setbox0\hbox{$M^0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg a le spinű elektronokra $\setbox0\hbox{$M^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a csatornák száma a legkisebb keresztmetszetben, azaz a a vezetőképesség $\setbox0\hbox{$G^\mathrm{P}=(e^2/h)(M^\downarrow+M^0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ellentétes mágnesezettségű rétegek esetén (antiparallel, $\setbox0\hbox{$AP$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) mindkét spinirányra $\setbox0\hbox{$M^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ számú csatorna fér el a legkisebb keresztmetszetben, azaz a vezetőképesség $\setbox0\hbox{$G^\mathrm{AP}=2(e^2/h)M^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Így a relatív vezetőképességváltozás a két beállás között:

$\[ \frac{\Delta G}{G^\mathrm{P}}=\frac{G^\mathrm{P}-G^\mathrm{AP}}{G^\mathrm{P}}=\frac{M^0-M^\downarrow}{M^0+M^\downarrow}, \]$

ami mindig pozitív érték. Kis vezetőképesség változás esetén ($\setbox0\hbox{$\Delta G \ll G^\mathrm{P}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), és feltételezve hogy $\setbox0\hbox{$M^0-M^\downarrow \approx M^\uparrow-M^0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$

$\[ \frac{\Delta G}{G^\mathrm{P}}\approx=\frac{1}{2}\frac{M^\uparrow-M^\downarrow}{M^\uparrow+M^\downarrow} \approx \frac{P_c}{2} \]$

adódik. Ez az egyszerűsített, ideális kvantumvezetékeken alapuló kép természetesen nem írja le valósághűen a merevlemezben használt spinszelepek vezetési tulajdonságait.

Valósághűbb képet kapunk, ha a különböző tartományokban szórási folyamatokat is megengedünk. Ha a spin-szelep struktúra kisebb a fázisdiffúziós hossznál ($\setbox0\hbox{$l_\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), akkor a két réteg közötti oda-visza szórásokat koherensen kell összeadni, így a teljes vezetőképesség interferencia-jelenségek finom részleteitől függ.

A fázisdiffúziós hossznál nagyobb (de a spindiffúziós hossznál kisebb) spin-szelep esetén viszont könnyen számolhatunk, mert elvész a koherencia, és így a sorosan kötött ellenállások egyszerűen összeadódnak. Hogy eredményeinket összehasonlíthassuk az ideális kvantumvezetékek modelljével, a számolást vezetőképességekkel végezzük: többségi spinorientáció esetén a vezetőképesség $\setbox0\hbox{$G^\uparrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, kisebbségi spinorientáció esetén pedig $\setbox0\hbox{$G^\downarrow$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A rétegek $\setbox0\hbox{$P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ beállása esetén a teljes vezetőképesség $\setbox0\hbox{$G^{P}=G^\uparrow/2+G^\downarrow/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg $\setbox0\hbox{$AP$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ beállás esetén $\setbox0\hbox{$G^{AP}=2G^\uparrow G^\downarrow/(G^\uparrow+G^\downarrow)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz a relatív vezetőképesség-változás:

$\[ \frac{\Delta G}{G^\mathrm{P}}=\left(\frac{G^\uparrow-G^\downarrow}{G^\uparrow+G^\downarrow}\right)^2=P_c^2. \]$

Látszik, hogy mindkét modellben a relatív vezetőképesség-változás a spinpolarizációval skálázódik, és tökéletes spinpolarizáció esetén $\setbox0\hbox{$M^\downarrow =0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$G^\downarrow = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, így mindkét modell esetén $\setbox0\hbox{$\frac{\Delta G}{G^\mathrm{P}}=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adódik, ami jól megközelíthető valós, jelentős spin-polarizációval rendelkező eszközökben.

Fájl:Head of disc.png

7. ábra. Forrás: Wikipedia