RLC körök mérése 2014-es állapot
wlatex>
A mérés célja:
- megismerkedni a leggyakrabban használt frekvenciafüggő áramköri elemekkel és az ezekből felépülő szelektív áramkörökkel.
Ennek érdekében:
- áttekintjük a váltakozó áramú hálózatok reaktáns elemeinek tulajdonságait és néhány egyszerű szűrő, valamint egy rezgőkör frekvenciafüggő viselkedését,
- méréseket végzünk a fent említett hálózatokon.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Tekercs
A tekercsben indukálódó feszültséget az
$$u(t) = L \frac{{\rm d}i(t)}{{\rm d}t}$$
egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [$i(t)=I_0\sin\omega t$] esetén
$$u(t) = L \omega I_0 \cos\omega t$$
ami a következő alakba is írható:
$$u(t) = L \omega I_0 \sin( \omega t + 90^\circ)$$
tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest. A jelenség magyarázata a Lenz-törvényen alapul.
Kondenzátor
A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:
$$i(t) = C \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t}$$
Szinuszos gerjesztés [$u(t)=U_0\sin\omega t$] esetén:
$$i(t) = C\omega U_0\cos\omega t$$
ami a fentiekhez hasonlóan a következő alakba írható:
$$i(t) = C\omega U_0\sin(\omega t + 90^\circ)$$
azaz a kondenzátor árama 90°-ot siet a feszültségéhez képest. Magyarázata az, hogy először áram folyik, így töltések kerülnek a lemezekre, és ezek hozzák létre a feszültséget. Gyakran szükséges a kondenzátor feszültségének ismerete, ami a differenciális forma alapján az alábbiak szerint számítható:
$$u(t) = \frac{1}{C} \int i(t){\rm d}t$$
Aluláteresztő szűrő
Írjuk fel az 1/a és 1/b ábrákon látható kapcsolások kimenő feszültségeit! (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, $j$ a képzetes egység.)
![]() |
![]() |
A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa, a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés. A két kifejezés formailag azonos, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig $\omega RC \ll 1$ vagy $\omega L/R \ll 1$, a kifejezések értéke 1; ha $\omega RC \gg 1$ vagy $\omega L/R \gg 1$, a hányados értéke $1/\omega$ szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott $R$, $C$ és $L$ esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik.
Felüláteresztő szűrő
A 2/a és a 2/b ábrákon látható kapcsolásokat leíró egyenletek az előző pontban követett eljárás alapján az alábbiak szerint alakulnak.
![]() |
![]() |
A kifejezésekből jól látszik, hogy a kapcsolások a kisfrekvenciás jeleket nem engedik a kimenetre, míg a nagyfrekvenciás jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneti pontokon.
Sávzáró és sáváteresztő szűrő
Alul és felüláteresztő szűrők egymás után kapcsolásával és az áteresztési tartományok helyes megválasztásával előállítható olyan szűrő, amelyik csak egy meghatározott tartományban csillapítja a jelet. Az ilyen kapcsolást nevezik sávzáró szűrőnek. Ennek egy realizálása a 3. ábrán látható kettős T szűrő.
A kapcsolás részletes elemzése nélkül is megállapítható, hogy alacsony frekvenciákon a hosszági ellenállásokon, magas frekvenciákon a hosszági kondenzátorokon jut jel a kimenetre.
Ehhez hasonlóan alul- és felüláteresztő szűrőkből összeállítható olyan kapcsolás is, amely csak egy meghatározott tartományban engedi át a jeleket. Ezek a sáváteresztő szűrök.
Az eddig ismertetett szűrőkapcsolások passzív elemekből állnak, jellemzőjük, hogy a kimeneti jel az áteresztési tartományokban sem nagyobb a bemenetinél. Aktív eszközökkel (pl. műveleti erősítő) készíthető olyan szűrő, amelyik egyben a jel erősítését is elvégzi az áteresztési tartományban.
Soros rezgőkör
Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (4. ábra).
A hálózat eredő impedanciája:
$$\mathbf{Z}(\omega) = R + j\omega L + 1/j\omega C$$
Az impedancia abszolút értéke és fázisszöge:
$$Z(\omega) = \sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2}$$ $$\tan\varphi = \frac{\omega L - 1/\omega C}{R}$$
A körben folyó áram:
$$I(\omega) = \frac{U_{be}}{\sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2}}$$
A $Z(\omega)$ és $I(\omega)$ függvényeket ábrázolva a kapcsolás jellegzetes tulajdonságaira derül fény (5. ábra).
Látható, hogy az eredő impedanciának $\omega L = 1/\omega C$ esetén az
$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$$
körfrekvencián minimuma van, értéke valós, a veszteségi ellenállással egyezik meg. A jelenséget rezonanciának, $\omega_0$-t rezonancia-körfrekvenciának hívják. Ezen a körfrekvencián a körben folyó áram értéke maximális, úgynevezett áramrezonancia alakul ki. A bemeneti feszültség és a körben folyó áram közötti fázisszög az impedancia fázisszöge, ebben az esetben nulla. Ez az áram – kis veszteségi ellenállást feltételezve – igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymással 180°-os szöget zárnak be, abszolút értékük megegyezik, hiszen azonos áram folyik át rajtuk (6. ábra).
Mérési feladatok
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. Állítson össze aluláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! Mérje meg a kimenő feszültséget $\omega$ függvényében! Ábrázolja a $20\lg(U_{ki}/U_{be})$ – $\lg(\omega/\omega_0)$ függvényt! Ugyanitt ábrázolja a számításból adódó értékeket is. ($U_{be} = 1{\rm V}$, $\omega_0 = 1/RC$)
- A multiméterekkel mérhető frekvenciatartomány: 5 Hz – 100 kHz. Az $R$, $L$, $C$ értékeket úgy kell kiválasztani a panelen lévők közül, hogy $f_0$ lehetőleg ennek a tartománynak a közepe táján (0,5-1 kHz körül) legyen. Figyelem! A képletekből $\omega$-t számolunk, de a műszerek $f$-et mérnek!
- A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához! Válaszát számítással indokolja.
- Mivel az eredményeket logaritmikus skálán fogja ábrázolni, érdemes nagyjából logaritmikusan egyenletes sűrűséggel felvenni az adatokat. Pl.: 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 50 Hz, 100 Hz, ...
2. Állítson össze felüláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! A feladatokat az 1. pont szerint végezze el! Itt $\omega_0 = 1/RC$ legyen!
- Vegye észre, hogy az alul- és felüláteresztő szűrő ugyanaz a kapcsolás, csak az egyiknél az ellenálláson, a másiknál a kondenzátoron (ill. a tekercsen) mérjük a kimenő feszültséget. Mivel három műszer van, az egyikkel a bemenő feszültséget ellenőrizze, a másik kettővel pedig egyszerre lehet mérni az ellenálláson és a másik elemen eső feszültséget, így a két karakterisztika egyszerre felvehető.
3. Állítson össze aluláteresztő szűrőt tekercs felhasználásával. Végezze el az 1. pont szerinti feladatokat! Itt $\omega_0 = R/L$ legyen!
4. Állítson össze felüláteresztő szűrőt tekercs felhasználásával! A feladatokat az 1. pont szerint végezze el! Itt $\omega_0 = R/L$ legyen!
- Ez a két mérés az előzőkhöz hasonlóan szintén egyszerre elvégezhető.
5. Állítson össze kettős T-szűrőt! Mérje a kimenő feszültséget $\omega$ függvényében! Ábrázolja $20\lg(U_{ki}/U_{be})$-t $\lg(\omega/\omega_0)$ függvényében!
- A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához!
6. Mérje meg mindkét aktív szűrő kimenő feszültségét $\omega$ függvényében! Ábrázolja a $20\lg(U_{ki}/U_{be})$ - $\lg(\omega/\omega_0)$ függvényt!
- Az aktív szűrőkhöz be kell kötni az adaptert. Az aktív szűrők nem földfüggetlenek, a hanggenerátor földjét (fekete kivezetés) a szűrő földjére (fekete bemenet) kell kötni.
7. Állítson össze soros rezgőkört! ($R$ külön elemként legyen bekötve!) A frekvencia függvényében mérje meg $U_R$, $U_L$, és $U_C$ értékeit! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó áramot és az eredő impedanciát $\omega$ függvényében és határozza meg $\omega_0$-t.
- Melyik ellenállást célszerű választani az RLC-kör összeállításához, ha azt szeretné, hogy a rezonanciagörbe minél élesebb legyen? Válaszát indokolja!
- További általános megjegyzések:
- A méréshez szükséges alkatrészek egy átlátszó plexidobozban találhatók, banánhüvelyes kivezetésekkel. Az alkatrészek értékei a dobozról leolvashatók, illetve a mellékelt lapon is megtalálhatók.
- Az egyes mérési feladatok elvégzésekor azokban a frekvenciatartományokban, ahol jelentős a kimenő jel változása, sűrűbben vegyen fel mérési pontokat!
- Az oszcilloszkópot csak esetleges ellenőrzésre használja, a frekvenciákat és a feszültségeket a digitális műszerekkel kell mérni.
</wlatex>