RLC körök mérése
A mérés célja:
- megismerkedni a leggyakrabban használt frekvenciafüggő áramköri elemekkel és az ezekből felépülő szelektív áramkörökkel.
Ennek érdekében:
- áttekintjük a váltakozó áramú hálózatok reaktáns elemeinek tulajdonságait és néhány egyszerű szűrő, valamint egy rezgőkör frekvenciafüggő viselkedését,
- méréseket végzünk a fent említett hálózatokon.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Tekercs
A tekercsben indukálódó feszültséget az
![\[u(t) = L \frac{{\rm d}i(t)}{{\rm d}t}\]](/images/math/7/0/d/70d81694316981734d9306478ac2b228.png)
egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [
] esetén
![\[u(t) = L \omega I_0 \cos\omega t\]](/images/math/f/1/2/f12b76bbaf9b56bd85974317696b666c.png)
ami a következő alakba is írható:
![\[u(t) = L \omega I_0 \sin( \omega t + 90^\circ)\]](/images/math/8/4/e/84e8dce413131f7ab96cd567a60396dc.png)
tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest. A jelenség magyarázata a Lenz-törvényen alapul.
Kondenzátor
A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:
![\[i(t) = C \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t}\]](/images/math/1/5/1/1514b1da65317e0322e95ce9e4387d82.png)
Szinuszos gerjesztés [
] esetén:
![\[i(t) = C\omega U_0\cos\omega t\]](/images/math/0/1/e/01e700a9287879a3c61cfe4f2ee715a7.png)
ami a fentiekhez hasonlóan a következő alakba írható:
![\[i(t) = C\omega U_0\sin(\omega t + 90^\circ)\]](/images/math/a/f/4/af4e2156b3026c9db418a73c54f7d859.png)
azaz a kondenzátor árama 90°-ot siet a feszültségéhez képest. Magyarázata az, hogy először áram folyik, így töltések kerülnek a lemezekre, és ezek hozzák létre a feszültséget. Gyakran szükséges a kondenzátor feszültségének ismerete, ami a differenciális forma alapján az alábbiak szerint számítható:
![\[u(t) = \frac{1}{C} \int i(t){\rm d}t\]](/images/math/6/3/c/63cb943f790da3fb58f46fada37b50b5.png)
Aluláteresztő szűrő
Írjuk fel az 1/a és 1/b ábrákon látható kapcsolások kimenő feszültségeit! (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, 
a képzetes egység.)
 |
 |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega RC} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega RC}\right| \end{array} \]](/images/math/a/8/9/a89139f8ddfd9ed6b39e449172ec909e.png) |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega L/R} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega L/R}\right| \end{array} \]](/images/math/0/d/d/0dde82375e38e548008bbed1d25218eb.png) |
A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa, a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés.
A két kifejezés formailag azonos, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig 
vagy 
, a kifejezések értéke 1; ha 
vagy 
, a hányados értéke 
szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott 
, 
és 
esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik.
Felüláteresztő szűrő
A 2/a és a 2/b ábrákon látható kapcsolásokat leíró egyenletek az előző pontban követett eljárás alapján az alábbiak szerint alakulnak.
 |
 |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{{\rm ki}} & = & \mathbf{U}_{{\rm be}} \frac{R}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{{\rm ki}}}{\mathbf{U}_{{\rm be}}} & = & \frac{1}{1 + 1/j\omega RC} \end{array} \]](/images/math/c/1/7/c17869a4ad99e0f21e3b22a301985e69.png) |
![\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{{\rm ki}} & = & \mathbf{U}_{{\rm be}} \frac{j\omega L}{R + j\omega L} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{{\rm ki}}}{\mathbf{U}_{{\rm be}}} & = & \frac{1}{1 + R/j\omega L} \end{array} \]](/images/math/4/b/7/4b7f869b197c58d06d8821b0a4b389df.png) |
A kifejezésekből jól látszik, hogy a kapcsolások a kisfrekvenciás jeleket nem engedik a kimenetre, míg a nagyfrekvenciás jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneti pontokon.
Sávzáró és sáváteresztő szűrő
Alul és felüláteresztő szűrők egymás után kapcsolásával és az áteresztési tartományok helyes megválasztásával előállítható olyan szűrő, amelyik csak egy meghatározott tartományban csillapítja a jelet. Az ilyen kapcsolást nevezik sávzáró szűrőnek. Ennek egy realizálása a 3. ábrán látható kettős T szűrő.
A kapcsolás részletes elemzése nélkül is megállapítható, hogy alacsony frekvenciákon a hosszági ellenállásokon, magas frekvenciákon a hosszági kondenzátorokon jut jel a kimenetre.
Ehhez hasonlóan alul- és felüláteresztő szűrőkből összeállítható olyan kapcsolás is, amely csak egy meghatározott tartományban engedi át a jeleket. Ezek a sáváteresztő szűrök.
Az eddig ismertetett szűrőkapcsolások passzív elemekből állnak, jellemzőjük, hogy a kimeneti jel az áteresztési tartományokban sem nagyobb a bemenetinél. Aktív eszközökkel (pl. műveleti erősítő) készíthető olyan szűrő, amelyik egyben a jel erősítését is elvégzi az áteresztési tartományban.
Soros rezgőkör
Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (4. ábra).
A hálózat eredő impedanciája:
![\[\mathbf{Z}(\omega) = R + j\omega L + 1/j\omega C\]](/images/math/6/0/4/60452012ac73440dd34795ed2669eae4.png)
Az impedancia abszolút értéke és fázisszöge:
![\[Z(\omega) = \sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2}\]](/images/math/5/5/5/55535c841c82dfc3c1deb89925ebde9f.png)
![\[\tan\varphi = \frac{\omega L - 1/\omega C}{R}\]](/images/math/9/8/7/9874e1a562fd3e9e0266d10c87eff028.png)
A körben folyó áram:
![\[I(\omega) = \frac{U_{be}}{\sqrt{R^2 + (\omega L-1/\omega C)^2}}\]](/images/math/1/f/c/1fc5af577ff9a60e6ead580ec5662da9.png)
A 
és 
függvényeket ábrázolva a kapcsolás jellegzetes tulajdonságaira derül fény (5. ábra).
Látható, hogy az eredő impedanciának 
esetén az
![\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]](/images/math/a/d/4/ad4a43ecaf657200d72e8c141af15534.png)
körfrekvencián minimuma van, értéke valós, a veszteségi ellenállással egyezik meg. A jelenséget rezonanciának, 
-t rezonancia-körfrekvenciának hívják. Ezen a körfrekvencián a körben folyó áram értéke maximális, úgynevezett áramrezonancia alakul ki. A bemeneti feszültség és a körben folyó áram közötti fázisszög az impedancia fázisszöge, ebben az esetben nulla.
Ez az áram – kis veszteségi ellenállást feltételezve – igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymással 180°-os szöget zárnak be, abszolút értékük megegyezik, hiszen azonos áram folyik át rajtuk (6. ábra).
Mérési feladatok
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. Állítson össze aluláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! Mérje meg a kimenő feszültséget 
függvényében! Ábrázolja a 
– 
függvényt! Ugyanitt ábrázolja a számításból adódó értékeket is. (
, 
)
- A multiméterekkel mérhető frekvenciatartomány: 5 Hz – 100 kHz. Az , , értékeket úgy kell kiválasztani a panelen lévők közül, hogy
lehetőleg ennek a tartománynak a közepe táján (0,5-1 kHz körül) legyen. Figyelem! A képletekből -t számolunk, de a műszerek 
-et mérnek!
- A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához! Válaszát számítással indokolja.
- Mivel az eredményeket logaritmikus skálán fogja ábrázolni, érdemes nagyjából logaritmikusan egyenletes sűrűséggel felvenni az adatokat. Pl.: 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 50 Hz, 100 Hz, ...
2. Állítson össze felüláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! A feladatokat az 1. pont szerint végezze el! Itt legyen!
- Vegye észre, hogy az alul- és felüláteresztő szűrő ugyanaz a kapcsolás, csak az egyiknél az ellenálláson, a másiknál a kondenzátoron (ill. a tekercsen) mérjük a kimenő feszültséget. Mivel három műszer van, az egyikkel a bemenő feszültséget ellenőrizze, a másik kettővel pedig egyszerre lehet mérni az ellenálláson és a másik elemen eső feszültséget, így a két karakterisztika egyszerre felvehető.
3. Állítson össze aluláteresztő szűrőt tekercs felhasználásával. Végezze el az 1. pont szerinti feladatokat! Itt 
legyen!
4. Állítson össze felüláteresztő szűrőt tekercs felhasználásával! A feladatokat az 1. pont szerint végezze el! Itt legyen!
- Ez a két mérés az előzőkhöz hasonlóan szintén egyszerre elvégezhető.
5. Állítson össze kettős T-szűrőt! Mérje a kimenő feszültséget függvényében! Ábrázolja -t függvényében!
- A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához!
6. Állítson össze soros rezgőkört! ( külön elemként legyen bekötve!) A frekvencia függvényében mérje meg 
, 
, és 
értékeit! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó áramot és az eredő impedanciát függvényében és határozza meg -t.
- Melyik ellenállást célszerű választani az RLC-kör összeállításához, ha azt szeretné, hogy a rezonanciagörbe minél élesebb legyen? Válaszát indokolja!
- További általános megjegyzések:
- A méréshez szükséges alkatrészek egy átlátszó plexidobozban találhatók, banánhüvelyes kivezetésekkel. Az alkatrészek körülbelüli értékei a dobozról leolvashatók, illetve a mellékelt lapon is megtalálhatók.
- Az egyes mérési feladatok elvégzésekor azokban a frekvenciatartományokban, ahol jelentős a kimenő jel változása, sűrűbben vegyen fel mérési pontokat!
- Az oszcilloszkópot csak esetleges ellenőrzésre használja, a frekvenciákat és a feszültségeket a digitális műszerekkel kell mérni.
