Tömegmérés rezonanciával és hangsebesség meghatározása

Új mérés! A leírás még készül!

A mérés célja:

Ennek érdekében:

Elméleti összefoglaló

Bevezetés

A laborgyakorlat során egy hangvilla és egy saját készítésű furulya által keltett hangrezgéseket vizsgáljuk egy számítógépre csatlakoztatott XXXX digitális oszcilloszkóp és egy mikrofon segítségével.

Mérések hangvillával

A hangvilla egy U alakú, általában acélból készített hangkeltő eszköz, melyet megütéssel szólaltathatunk meg. Sajátos geometriájának köszönhetően az alaphangon kívüli rezgések gyorsan lecsengenek, így 1-2 másodperc után a kívánt stabil rezgést biztosítja, nagyon kevés és gyenge magasabb hang kíséretében. Ezért a tulajdonságáért kedvelt eszköz a zenészek körében a hangszerek behangolásakor. Az önmagában megszólaltatott hangvilla jellemzően kis hangerővel szól, melyet némiképp befolyásol a megütés ereje, azonban egy megfelelő méretű rezgődobozhoz való csatolással sokkal hatékonyabban növelhetjük a hangerejét. A laborgyakorlaton egy ilyen eszközt fogunk használni, ennek lényege, hogy a félig nyitott fadoboz átveszi a rajta elhelyezkedő hangvilla rezgését, és azt átadja a benne lévő „légoszlopnak”, így felerősítve hallhatjuk a hangvilla rezgése által keltett hangot. Egy hangvilla alaphangjának kiszámolása a XXX képlet alapján történhet, ilyenkor fontos ismernünk a villa különböző geometriai paramétereit (l, A), Young-modulusát (E), sűrűségét (\rho) és másodrendű nyomatékát (I).

$f = \frac{1.875^2}{2\pi l^2} \sqrt\frac{EI}{\rho A}$

Ezt azonban egyszerűbb módon is elvégezhetjük, ha a csatolt rezgődobozt vizsgáljuk. Azt feltételezve, hogy a doboz a hangvillára van hangolva, a doboz hossza alapján megállapított frekvencia megegyezik a hangvilla frekvenciájával.

Egy ilyen rezgődobozban kialakuló állóhullámokra teljesül, hogy a doboz nyitott végénél duzzadó helyük van, míg a zárt végen csomópont alakul ki. Azaz $\setbox0\hbox{$4L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$4/3L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,$\setbox0\hbox{$4/5L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, stb. hullámhosszú állóhullámokat várhatunk, melyek közül a $\setbox0\hbox{$4L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszú alaphang lesz a hallható a tranziensek gyors elhalása után.

Ezzel a frekvencia egyszerűen kiszámolható a $\setbox0\hbox{$c=\lambda*f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ képlet alapján, ahol $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hangsebesség levegőben, $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az állóhullám hullámhossza és $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hang frekvenciája. Ha megvizsgáljuk a hangvilla frekvenciáját megadó korábbi képletet, négyzet alapú villaágakat feltételezve a másodrendű nyomaték $\setbox0\hbox{$I/A=a^2/12$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nek adódik, ahol $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a négyzet oldalhossza. A Young-moduluszt beírva a képletet átalakítva azt láthatjuk, hogy megjelenik benne a villa ágainak tömege, mint paraméter.

$f = \frac{1.875^2}{2\pi l^2} \frac{a}{l} \sqrt\frac{D}{m}, EZT AT KELL GONDOLNI$

Ebből kifolyólag, ha változtatjuk a villa ágainak tömegét, akkor annak elhangolódik a frekvenciája. Ezzel az elvvel a hangvilla tömegmérésre is használható, ha a mérendő tömeget ráhelyezzük a villa egyik ágára, az elhangolja a frekvenciát és ebből meghatározható a tömeg nagysága.

Ennél a leegyszerűsített leírásnál két fontos dolgot kell figyelembe vennünk: egyrészt, a mérendő tömeg anyaga és geometriája eltérő lehet, mint a villa paraméterei, így a fenti képlet nem alkalmazható a frekvencia kiszámolására. Ehelyett egy kalibrációt kell készítenünk, hogy különböző tömegek mennyire hangolják el a villa frekvenciáját. Természetesen az elv akkor működik, amikor az ismeretlen tömeg jóval kisebb, mint a hangvilla tömege.

Másik fontos megjegyzés, hogy a hangvilla előnye, a felharmonikusok gyors lecsengése, főként a nagyon precízen egyformára kialakított villaágaknak köszönhető. Így, amennyiben egy tömeget helyezünk az egyik ágra, ezt a precíz kialakítást elrontjuk. Ezért a mérés során a tömeg rögzítésére használt mágneseket nem csak az egyik ágra helyezzük, hanem mindkettőre, így biztosítva, hogy a villa kialakításának elrontása lehetőleg kicsi legyen.

Mérések furulyával

A gyakorlat egyik feladata egy furulyaszerű hangszer elkészítése és ennek vizsgálata. Az elkészítés pontos menete a Mérési feladatok között olvasható.

A furulya működésének alapja, hogy a hangszerben egy olyan rezgő légoszlop tud kialakulni, amelynek frekvenciája a kívánt zenei hangot adja. A hangszer felépítése egyszerű, így kevés barkácsolással könnyen elkészíthető. A furulya egy hosszú csőből áll, aminek anyaga jellemzően fa (esetleg műanyag). Ezt a csövet nevezik a furulya testének. A test egyik végén, ahol a hangszerbe a levegőt fújjuk, egy keskeny, a levegő áramlását irányító rés helyezkedik el, majd ezt követi az úgynevezett labium (ajak), ami a hangszer talán legfontosabb része, mivel itt keletkezik a hang.

Amikor a furulyába belefújunk, a beáramló levegő a labiumon „megtörik” és örvények keletkeznek, ezáltal a furulyában lévő légoszlop rezgésbe jön és hang keletkezik. A hang keletkezésének elve hasonló, mint a hangvillánál használt rezgődoboznál, így a furulya alaphangját egyszerűen kiszámolhatjuk annak hosszából. A rezgődoboz egyik vége a labium lesz, itt duzzadó helye van az állóhullámnak, míg a másik vég a furulya vége, ahol szintén egy duzzadó hely lesz. Így a kialakuló állóhullámok rendre $\setbox0\hbox{$2L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,$\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,$\setbox0\hbox{$2/3L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hullámhosszúak lesznek, azaz az alaphang hullámhossza $\setbox0\hbox{$2L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Egy furulyával lehetőségünk van különböző hangok keltésére is, mely a testen található megfelelő lyukak lefogásával illetve elengedésével érhető el. Röviden összefoglalva a lyukak szerepe az, hogy rövidítsék a rezgő légoszlop hosszát, mivel ilyenkor nem a furulya végén alakul ki duzzadó hely, hanem a lyuknál, így, mivel a labium és a lyuk közötti távolság rövidebb, magasabb hangon fog szólni a furulya.

A gyakorlat során az egyszerűség kedvéért mi egy kicsit eltérő módon használjuk a furulyát, az egyik végét lezárjuk egy hosszú rúddal, melyet mozgatni tudunk. Így egy félig zárt rezgődobozt hozunk létre, a rúd mozgatásával pedig ennek hossza változtatható, így különböző hullámhosszú rezgéseket vizsgálhatunk majd.

Hangtani mérések elemzése

A fentebb leírt eszközök által keltett hangok vizsgálatához valamilyen módon rögzítenünk kell azokat. Erre a célra egy mikrofont használunk majd, melyet egy XXXX digitális oszcilloszkóphoz csatlakoztatunk. Ez az oszcilloszkóp lehetőséget nyújt a mikrofon jelének, azaz az eszközök hangjának széleskörű vizsgálatára. A beépített mikroszámítógép segítségével maga az oszcilloszkóp képes különféle kiértékelések elvégzésére, az adatok elmentésére (pendrive-ra). A hangtani mérések során ezen funkciók közül a legfontosabb az ún. Fourier-transzformáció lesz.

EEgy hangszer által kiadott tiszta hang egy frekvenciájú periodikus jelnek felel meg, melyben az alaphangnak megfelelő frekvenciás szinuszos rezgés mellett az alaphang felharmonikusai is szerepelnek. Ez matematikailag a Fourier-sorfejtés segítségével fogalmazható meg. Vegyünk egy tetszőleges $\setbox0\hbox{$ \nu $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciás $\setbox0\hbox{$f(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelet, melyre:

$\[f ( t ) = f \left( t + \frac{n}{\nu} \right)\]$

tetszőleges $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egész számra. Ez a függvény kifejthető a következő ún. Fourier-sorral:

$\[f ( t ) = \displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n \sin \left( 2 \pi n \nu t + \varphi_n \right)\]$

ahol az $\setbox0\hbox{$A_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ill. $\setbox0\hbox{$\varphi_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ megadják, hogy a jelben milyen amplitúdóval és milyen fázistolással szerepel az $\setbox0\hbox{$n \nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú felharmonikus. Azonos hangmagasságon megszólaltatott különböző hangszerek a felharmonikusok eltérő amplitúdói és fázisai miatt szólnak másként.

Ha a jelünk nem periodikus, akkor is felbonthatjuk különböző frekvenciájú komponensekre. Ezt a műveletet hívjuk Fourier-transzformációnak:

$\[F(\nu)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-{\rm i}2\pi\nu t} {\rm d}t\]$

ahol $\setbox0\hbox{$F(\nu)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ megadja, hogy egy adott $\setbox0\hbox{$\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájú komponens mekkora járulékot ad a jelünkhöz. $\setbox0\hbox{$F(\nu)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ komplex szám, melynek abszolút értéke adja meg a $\setbox0\hbox{$\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciás komponens amplitúdóját, fázisa pedig a fázistolást. Ha a Fourier-transzformációt egy periodikus jelre alkalmazzuk, akkor az alapfrekvenciánál ($\setbox0\hbox{$\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), és a felharmonikusoknál ($\setbox0\hbox{$n \nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) kapunk csúcsokat, melyek nagysága megadja a különböző felharmonikusok amplitúdóját.

Mérésekben a jelünket csak diszkrét $\setbox0\hbox{$t_n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontokban ismerjük, így a fenti folytonos Fourier-integrált is ún. diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) helyettesíti:

$\[F(\nu)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{N} f(t_n) e^{-{\rm i}2\pi\nu t_n} \cdot\Delta t_n\]$

A diszkrét Fourier-transzformáció hatékony kiszámítására különböző algoritmusokat használhatunk, melyek közül kiemelkedően fontos az ún. FFT, "Fast Fourier Transformation".

A diszkrét Fourier-transzformáció fontos összefüggése a Nyquist-Shannon-féle mintavételezési tétel. Ha egy időfüggő jelből $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-szer veszünk mintát ekvidisztáns $\setbox0\hbox{$\Delta t = t/N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időközönként, akkor a vett mintából a teljes spektrum csak $\setbox0\hbox{$f_{max}=N/(2t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ maximális frekvenciáig, $\setbox0\hbox{$\Delta f =1/t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feloldással rekonstruálható. Másként kimondva, ha egy $\setbox0\hbox{$f_{max}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciánál nagyobb frekvenciakomponenst nem tartalmazó (sávkorlátozott) jelet akarunk mintavételezni, akkor legalább $\setbox0\hbox{$2 f_{max}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mintavételi frekvenciával kell mérni. A mérés hossza pedig a frekvenciafölbontást javítja.

A mérésben egy hangvilla és egy furulyában levő levegőoszlop rezgéseit vizsgáljuk. Ahogy már említettük, a hangvillára jellemző, hogy rezgési spektrumában csak az alaphang szerepel, nincsenek felharmonikusok. Az általunk használt furulyát egy egyik oldalán zárt sípnak tekinthetjük, melyben ideális esetben $\setbox0\hbox{$\lambda=4L/(2n+1)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hullámhosszú állóhullámok alakulhatnak ki, ahol $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a furulya hossza a labium és a lezárt vég között, $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig egy egész szám. A fenti feltétel abból ered, hogy a labiumnál az állóhullámok duzzadóhelyei, a lezárt végnél pedig csomópontok találhatók. Az így kialakuló rezgések frekvenciái:

$\[\nu=\frac{c}{\lambda}=\frac{c}{4L}(2n+1)\]$

ahol $\setbox0\hbox{$c$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a hang terjedési sebessége levegőben. Látszik, hogy félig zárt síp hangjában csak az alaphang páratlan felharmonikusai szerepelnek.

Mérési feladatok

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

• A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.