Spektrumanalízis szerkesztőlap

Spektrumanalízis

Egy időben változó jel spektrumát a Fourier-transzformáció segítségével ismerhetjük meg.

$\[f(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}F(t)e^{-i\omega t}dt.\]$

Azonban mivel a mérést véges időintervallumban végezzük a spektrum felbontása nem tökéletes. A véges ideig mért jel spektrumára gyakorlatilag úgy tekinthetünk, mintha az a T ideig mért jel periodikus kiterjesztésének a spektruma lenne. Ha a mért jelünk a T időablakban nem periodikus, akkor a periodikusan kiterjesztett jel az időablak határain ugrásokat mutathat, melyek miatt fals nagyfrekvenciás komponensek jelennek meg a spektrumban. Ezen probléma kiküszöbölésére olyan ablakfüggvények használatára van szükség, amelyek a mérési intervallum szélén eltűnnek. A Fourier-transzformációt tehát a vizsgált jel és az ablakfüggvény szorzatán végezzük

$\[f_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}W(t)F(t)e^{-i\omega t}dt,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$W(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ súlyfüggvény egy T időablakon kívül zérus.

Két függvény szorzata a Fourier-térben a függvények Fourier-transzfor-máltjának konvolúciójával egyezik meg:

$\[f_W(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\omega')w(\omega-\omega')\frac{d\omega'}{2\pi},\]$

azaz a spektrum $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciájához az ablakfüggvény bekever jelet az $\setbox0\hbox{$\omega'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ frekvenciából is. Ezt a jelenséget spektrális szivárgásnak nevezzük.

A gyakorlati spektrumanalizáláshoz nem csak a véges időintervallumban végzett mérést kell figyelembe venni, hanem azt is, hogy a mért jelet nem folytonosan, hanem diszkrét pontokon mintavételezzük. Az ablakfüggvénnyel szorzott jel integrálját ennek megfelelően egy diszkrét összeggel közelítjük:

$\[f_W(\omega)=\sum_{n=0}^{N-1}F(n\Delta t)W(n\Delta t)e^{-i\omega n\Delta t}\Delta t,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a két diszkrét mintavételezés között eltelt idő (a mérési idő $\setbox0\hbox{$T=N\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$). A diszkrét Fourier-transzformáció (DFT) tehát a diszkrét pontokon felvett függvény spektrumát adja meg.

A Nyquist-Shannon mintavételezési törvény értelmében $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mintavételezési idővel legfeljebb $\setbox0\hbox{$\omega_{max}=\frac{2\pi}{2\Delta t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ maximális frekvenciáig lehetséges a jel rekonstrukciója.

Nem csak a mintavételezés történik diszkrét időnként, hanem a DFT kiszámítása is diszkrét $\setbox0\hbox{$\omega_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéken valósul meg. A diszkrét Fourier-transzformáció műveletigénye egyszerű "brute force" eljárással N frekvencia pont esetén $\setbox0\hbox{$\mathcal{O}(N^2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ műveletet igényel. Ez rendkívül időigényes, ezért egy más számítási algoritmust használnak a szoftverek a jel feldolgozásához. Ez a gyors Fourier-transzformáció (FFT), amelynek működési alapelve, hogy a mintát kettéválasztja páros és páratlan pontokra, így az N pontos DFT két N/2 pontos DFT-re bomlik. Ezt követően ezeket tovább felezi, és azokat is tovább, stb. Ehhez természetesen szükséges, hogy a mérési pontok száma kettő hatványa legyen. Könnyen belátható, hogy ennek az algoritmusnak a műveletigénye $\setbox0\hbox{$\mathcal{O}(NlogN)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nagyságrendű. Az FFT algoritmus az $\setbox0\hbox{$N=2^n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ adatpontból álló jel Fourier-spektrumát $\setbox0\hbox{$\omega_k=\frac{2\pi k}{N\Delta t}, k=0,1,..N/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ diszkrét körfrekvenciapontokon adja meg.

Most a DFT definiálását követően megvizsgálhatjuk az ablakfüggvények különböző tulajdonságát. Tételezzük fel, hogy egy egykomponensű $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelet vizsgálunk. Könnyen belátható, hogy ha $\setbox0\hbox{$\omega_0=\omega_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ bármelyik értékére, akkor a spektrális szivárgás nulla lesz. Ez pontosan annak felel meg, amikor a jelünk a T időablakban periodikus. Azonban az esetek többségében értelemszerűen ez nem teljesül. Ekkor a spektrális szivárgáson kívül romlik a jel frekvenciafelbontása és amplitúdópontossága is. Ez előbbi a centrális csúcs keskenységével jellemezhető, míg az utóbbinál éppen ellenkezőleg arra van szükség, hogy megfelelően lapos legyen az $\setbox0\hbox{$f_W(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelünk $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ környékén.