Poisson zaj szerkesztőlap

Poisson zaj

A Poisson-zaj az elektronok diszkrét töltéséből fakadó áramzajnak, azaz a sörétzaj egy speciális fajtája. A Poisson-zaj specialitását az egymástól független elektronok detektálása jelenti. Az elnevezése is innen származik, hiszen ahogyan a klasszikus példában a véletlen időközönként elsütött puskagolyók, úgy az egymástól függetlenül kilépő elektronok száma is Poisson-eloszlást mutat. A Poisson-eloszlás sörétzaj szempontjából fontos tulajdonsága, hogy a várható értéke megegyezik a szórásnégyzetével:

$\[\langle N\rangle=\langle (\Delta N)^2\rangle.\]$

Tegyük fel, hogy $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt átlagosan N elektron lép ki az egyik elektródából. Ekkor az áram várható értéke a következőképpen definiálható:

$\[\langle I\rangle=\langle N\rangle\frac{e}{\Delta t}.\]$

Az áram szórásnégyzete pedig felhasználva a várható érték és szórásnégyzet közötti egyenlőséget:

$\[\langle (\Delta I)^2\rangle=\langle (\Delta N)^2\rangle\left(\dfrac{e}{\Delta t}\right)^2=\langle I\rangle\frac{e}{\Delta t}.\]$

Ebben az esetben azonban a $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ nem a fentebb definiált két diszkrét mintavételezés között eltelt időt jelenti, hanem azt az időintervallumot, amelyen belül az áram várható értéke $\setbox0\hbox{$\langle I\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, illetve szórásnégyzete $\setbox0\hbox{$\langle (\Delta I)^2\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Határozzuk meg ebben az időintervallumban az átlagos áramot. Ehhez a jelünket konvolváljuk össze egy $\setbox0\hbox{$G(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvénnyel, amely egyenlő $\setbox0\hbox{$\dfrac{1}{\Delta t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel, ha $\setbox0\hbox{$|t|<\dfrac{\Delta t}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, egyébként nulla.

$\[I_{out}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}dt'I_{in}(t')G(t-t')=\frac{1}{\Delta t}\int_{t-\frac{\Delta t}{2}}^{t+\frac{\Delta t}{2}}dt'I_{in}(t').\]$

A konvolúció Fourier-transzformáltja a Fourier-transzformáltak szorzatával egyenlő:

$\[i_{out}(\omega)=i_{in}(\omega)g(\omega).\]$

Ez az összefüggés azt sejteti, hogy a konvolváló függvény szűrőként viselkedik. Mivel a zaj az áram Fourier-transzformáltjának négyzetével arányos az áramzajok aránya a szűrő karakterisztika Fourier-transzformáltjának négyzete lesz:

$\[s_{out}(\omega)=s_{in}(\omega)g^2(\omega).\]$

Vizsgáljuk meg a szűrő karakterisztikáját:

$\[g(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}dtg(t)e^{-i\omega t}=\frac{1}{\Delta t}\int_{-\frac{\Delta t}{2}}^{+\frac{\Delta t}{2}}dte^{-i\omega t}=\frac{2}{\omega \Delta t}sin\left(\frac{\omega \Delta t}{2}\right).\]$

A továbbiakhoz bevezetjük az ekvivalens zaj sávszélesség (Equivalent Noise Bandwidth, ENBW) fogalmát. Az ENBW az a sávszélesség, amelyen fehér zajt feltételezve ugyanakkorának adódik az áram szórásnégyzete, mint a szűrőnkön mérve.

$\[\langle (\Delta I)^2\rangle=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\infty}d\omega s_{out}(\omega)=\frac{s_0}{\pi \Delta t}\int_{0}^{\infty}\frac{sin^2(x)}{x^2}=\frac{s_0}{2\Delta t}=s_0f_{max}.\]$

Azaz az ekvivalens zaj sávszélesség:

$\[ENBW=\frac{1}{2\Delta t}.\]$

Ez az összefüggés érezhetően összecseng a Nquist-Shannon mintavételezési törvénnyel. Ha egy $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időablakra átlagolunk egy jelet, az a konvolúció egy olyan szűrőként viselkedik a frekvenciatérben, melyen keresztül fehér zajt mérve az áram szórásnégyzet egyenlő lesz egy $\setbox0\hbox{$\dfrac{1}{2\Delta t}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tökéletes sávszűrőn mért szórásnégyzettel.

Most vizsgáljuk az áram szórásnégyzetét:

$\[\langle (\Delta I)^2\rangle=\langle I\rangle\dfrac{e}{\Delta t}=\int_{0}^{\infty}s_I(f)g(f)df=\int_{0}^{\frac{1}{2\Delta t}}s_I(f)df.\]$

Ez bármely $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű átlagolási időre csak akkor teljesülhet, ha a zajsűrűség független a frekvenciától, értéke pedig:

$\[s_I(f)=2e\langle I\rangle.\]$