Elektromos egyenáramú alapmérések

A mérés célja:

- megismerkedni a legfontosabb elektromos jellemzők (az áram, a feszültség és az ellenállás) mérésének néhány egyszerű módszerével.

Ennek érdekében:

- áttekintjük az egyenáramú áramkörök törvényszerűségeit,

- ismertetjük a gyakorlat során alkalmazott mérési módszereket,

- egyszerű felépítésű áramkörök jellemzőit vizsgáljuk.

Elméleti összefoglaló

Az egyenáramú körökkel kapcsolatos alapfogalmak és törvények rövid összefoglalása

A töltéshordozók áramlásának intenzitását jellemző mennyiség az áramerősség

$\[I=\frac{{\rm d}Q}{{\rm d}t}\]$

ahol $\setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy adott felületen átáramló töltést és $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az időt jelenti. Az áramerősség egysége az amper (A). Az egyenáram irányát – megállapodás alapján – a pozitív töltéshordozók mozgásának iránya adja meg. Egyenáramról beszélünk, ha az áram erőssége időben állandó. Egy vezető két pontja között levő $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ potenciálkülönbség (feszültség) áram kialakulásához vezet. A vezetőre kapcsolt feszültség és a benne folyó áram között sok esteben (pl. fémes vezetőkben) az

$\[U=RI\]$

összefüggés – az Ohm törvény – áll fenn. Itt $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a vezető ellenállása, amely a geometriai adatoktól ($\setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúság és $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ keresztmetszet) valamint a vezető anyagától ($\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fajlagos ellenállás ) az alábbi módon függ:

$\[R=\rho\frac{l}{A}\]$

A fajlagos ellenállás – sok más anyagi jellemzőhöz hasonlóan – hőmérsékletfüggő:

$\[\rho=\rho_0\left[1+\alpha(t-t_0)+\beta(t-t_0)^2+...\right]\]$

ahol $\setbox0\hbox{$\rho_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fajlagos ellenállás $\setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten, $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ... stb. anyagi állandók és $\setbox0\hbox{$\rho$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a fajlagos ellenállás $\setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hőmérsékleten felvett értéke. A vizsgált hőmérsékleti tartomány nagysága és a kívánt pontosság meghatározza, hogy konkrét esetben a fajlagos ellenállás hőmérsékletfüggésének leírásánál milyen közelítést alkalmazunk, azaz a kifejezésben hányadrendű tagig megyünk el.

Egyenáramú áramkörökkel kapcsolatos számításokat a Kirchhoff-törvények segítségével végezhetünk. A töltésmegmaradás törvényének kifejezése az úgynevezett csomóponti törvény: egy csomópontba összefutó áramok előjeles összege nulla. Ha a ki- és befolyó áramokat ellentétes előjelűnek tekintjük:

$\[\sum_{i=1}^n I_i=0\]$

Az energiamegmaradás törvényének következménye a huroktörvény, mely szerint egy zárt vezetőhurok feszültségeinek előjeles összege zérus:

$\[\sum_{i=1}^n U_i=0\]$

A Kirchhoff-törvények alkalmazásának egy lehetséges módja az alábbi:

• Felrajzoljuk az áramkört és bejelöljük a telepek polaritását.
• Tetszőlegesen felvesszük az ág áramokat és bejelöljük az irányukat.
• Bejelöljük a hurkokban tetszőleges körüljárási irányokat.
• Felírjuk a csomóponti egyenleteket. (Például a csomópontba befolyó áramokat tekintjük pozitívnak, a kifolyókat pedig negatívnak.)
• Felírjuk a hurokegyenleteket. Ilyenkor pl. úgy járhatunk el, hogy a telepeken a pozitív pólustól a negatív pólus felé haladva a telep $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ üresjárati feszültségét pozitív előjellel vesszük figyelembe (fordított esetben pedig negatívval), az ellenállásokon eső $\setbox0\hbox{$U=RI$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültséget pedig akkor vesszük pozitív előjellel számításba, ha a körüljárási irány és a bejelölt ág áram iránya megegyezik (ellenkező esetben pedig negatívval).
• Megoldjuk az egyenletrendszert. Azok az áramok, amelyek pozitívnak adódnak ténylegesen az előzete-sen felvett irányban folynak. Ha a számítások alapján az áramra negatív érték jön ki, a tényleges áramirány a felvettel éppen ellenkező.

Megmutatható, hogy egy áramkör esetében annyi egymástól független egyenlet írható fel, amennyi az ágak – vagyis az áramok – száma. A Kirchhoff-törvények alkalmazásával könnyen megkapható, hogy $\setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ darab sorba kapcsolt ellenállás eredője

$\[R_s=\sum_{k=i}^n R_i\]$

illetve a párhuzamosan kapcsolt ellenállások esetében az eredő reciproka:

$\[\frac{1}{R_p}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{R_i}\]$

Az áramkörbe be nem kötött, ún. nyitott telep sarkai között fellépő feszültség az $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ üresjárati feszültség, melynek nagysága megegyezik a telep elektromotoros erejével. Az áramkörbe bekötött (árammal átjárt) telep sarkai között fennálló feszültség az $\setbox0\hbox{$U_k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapocsfeszültség. Ennek értéke és előjele a telepen átfolyó áram irányától és nagyságától függően az üresjárási feszültségétől jelentősen eltérő lehet. Az eltérés az $\setbox0\hbox{$R_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső ellenálláson eső feszültségből adódik:

$\[U_k=U_0-R_bI\]$

Áram és feszültség mérése

Egyenáram és egyenfeszültség mérése a kérdéses mennyiség nagyságának és irányának (polaritásának) meghatározását jelenti.

Az árammérőt (ampermérőt) mindig sorosan kell bekötni az áramkörbe, azaz úgy, hogy a mérni kívánt áram átmenjen a műszeren. Ebből következik, hogy ideális esetben az árammérő ellenállásának zérusnak kellene lennie. Ha a műszer ellenállása nem nulla, akkor az áramkör ellenállását és ezen keresztül az áram értékét is megváltoztatja, és így mérési hibát okoz. Az elkövetett hiba a vizsgált áramkör elemeinek és az alkalmazott műszer belső ellenállásának ismeretében meghatározható.

A feszültségmérő műszer (voltmérő) két bemeneti pontját mindig ahhoz a két ponthoz kell kötnünk, amelyek közötti feszültséget akarjuk megmérni. (Ha ez egy áramköri elem két végpontja, akkor ez azt jelenti, hogy a feszültségmérőt az áramköri elemmel párhuzamosan kell kapcsolni.) Ideális esetben a voltmérő belső ellenállásának végtelennek kellene lennie. Ellenkező esetben a műszer bekötése megváltoztatja a vizsgált két pont közötti ellenállást, és így egyúttal a mérni kívánt feszültséget is, vagyis mérési hibát okoz.

A digitális voltmérők ellenállása legalább 1 M$\setbox0\hbox{$\Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ami a mérési gyakorlaton vizsgált ellenállásoknál 3-4 nagyságrenddel nagyobb. Ebben az esetben a voltmérő ideálisnak tekinthető.

A digitális ampermérő belső ellenállása méréshatár függő, érzékeny állásban akár 1 k$\setbox0\hbox{$Omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ is lehet, ami összemérhető a vizsgált ellenállások nagyságával. Így az árammérő nem tekinthető ideálisnak.

Ellenállásmérés Ohm-törvénye alapján

1. ábra

Ha ismerjük az ellenálláson átfolyó áram erősségét, valamint az ellenállás végei közötti feszültséget, akkor az ellenállás értéke az Ohm-törvény segítségével meghatározható. Ezen elv alkalmazásához az 1. ábrán látható, ellenállásmérésre alkalmas kapcsolásokat állíthatjuk öszsze.

Az ábra a) része alapján látható, hogy az ampermérő ténylegesen az ellenálláson át folyó áramot méri, de a voltmérő már az ellenálláson és az ampermérőn eső feszültségek összegét mutatja, mivel az ampermérő ellenállása nem nulla. Így mérési eredményünk hibás lesz. Az ellenállás helyes értékének meghatározásához az ampermérőn eső feszültséget az ampermérő belső ellenállásának ismeretében lehet kiszámítani. A mérendő $\setbox0\hbox{$R_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállás a mért értékek segítségével kifejezve:

$\[R_x=\frac{U_R}{I_m}=\frac{U_m-U_A}{I_m}=\frac{U_m-R_AI_m}{I_m}\]$

Mérési hibát követünk el akkor is, ha a kapcsolást az ábra b) része szerint állítjuk össze. Ekkor ugyan a voltmérő ténylegesen az ellenálláson eső feszültséget méri, az ampermérő viszont az ellenálláson és a voltmérőn átfolyó áramok összegét mutatja. Mivel a voltmérő ellenállása nem végtelen nagy, elvileg itt is a műszer ellenállásának ismeretében lehet csak meghatározni a mért ellenállást:

$\[R_x=\frac{U_m}{I_R}=\frac{U_m}{I_m-I_V}=\frac{U_m}{I_m-\frac{U_m}{R_V}}\]$

A mérési gyakorlaton előforduló esetekben azonban a voltmérő $\setbox0\hbox{$R_V$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállása több nagyságrenddel nagyobb, mint a mérendő ellenállások, így a korrekcióra nincs szükség, az ellenállás egyszerűen az

$\[R_x=\frac{U_m}{I_m}\]$

képlettel számolható. Éppen ezért a két lehetséges kapcsolás közül ezt érdemes választani a gyakorlaton.

A digitális multiméterekkel közvetlenül is lehet ellenállást mérni. Az ellenállásmérő is az Ohm-törvény alapján méri az ellenállás értékét: a műszer meghatározott nagyságú (kis) áramot bocsát át az ellenálláson, és méri az ellenálláson eső feszültséget. A műszer kijelzőjén közvetlenül az ellenállás értéke olvasható le.

FONTOS, hogy ellenállásmérővel csak áramkörbe be nem kötött (passzív) eszköz ellenállása mérhető. Ha a mérendő ellenállás egy áramkör része, akkor hibás lesz a mérési eredmény (hiszen az ellenálláson nem csak az ellenállásmérő által kibocsátott áram folyik), és ezen kívül a műszer is tönkremehet. Emiatt: TILOS az ellenállásmérőt feszültség alatt lévő áramkörre kapcsolni!

Az ellenállásmérővel megmérhető az ampermérő belső ellenállása is: Kapcsoljuk az egyik, ellenállásmérő üzemmódban lévő multimétert a másik, ampermérő üzemmódban lévő (számunkra érdekes méréshatárra állított) multiméterre. Az ellenállásmérő méri az ampermérő (méréshatáűrfüggő) belső ellenállását. (Ekközben az ampermérő pedig megméri az ellenállásmérő – szintén méréshatárfüggő – mérőáramát.

Ellenállásmérés Wheatstone-híddal

2. ábra

Az ellenállás mérésére szolgáló több eljárás közül – számos előnye miatt – pontos méréseknél a Wheatstone-féle hídmódszer (1843) használatos. Elve a következő: A 2. ábrán vázolt elrendezésben a négy ellenállás egyikének változtatásával elérhető, hogy a CD vezetőszakaszba, a tulajdonképpeni hídba iktatott érzékeny galvanométer nem jelez áramot. Ebben az esetben a C és D pontokra alkalmazott csomóponti törvény szerint

$\[I_1=I_2\]$

és

$\[I_3=I_4\]$

továbbá az ACD és BCD zárt körökre vonatkozó hurok-törvény értelmében

$\[R_1I_1=R_3I_3\]$

és

$\[R_2I_2=R_4I_4\]$

Az utolsó két egyenletet egymással elosztva és az első kettőt felhasználva kapjuk, hogy a CD híd árammentességének feltétele

$\[\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}\]$

Három ellenállás ismeretében tehát a negyedik kiszámítható. A G műszernek, mivel csak az árammentességet állapítja meg, nem kell hitelesítettnek lennie: G mint "nullműszer" szerepel, maga a módszer pedig tipikus nullmódszer.

3. ábra

A Wheatstone-híd egyik igen egyszerű kivitelezésénél (3. ábra) $\setbox0\hbox{$R_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ gyanánt egyenletes keresztmetszetű ellenálláshuzal $\setbox0\hbox{$l_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hosszúságú szakaszai szerepelnek. A C csúszókontaktus segítségével $\setbox0\hbox{$l_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ addig változtatandó, amíg G mutatója a K kapcsoló be- és kikapcsolásakor mozdulatlan nem marad. Ha ezt a helyzetet elértük, az ismeretlen ellenállás:

$\[R_x=\frac{R_1}{R_2}R=\frac{l_1}{l_2}R\]$

A mérés $\setbox0\hbox{$l_1=l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén a legpontosabb, ezért a gyakorlatban ezt az arányt állítják be és $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ változtatásával (amely rendszerint egy ellenállásszekrény) egyenlítik ki a hidat.

Mérési feladatok

A méréshez szükséges legtöbb áramköri elem egyetlen átlátszó dobozban található a megfelelő kivezetésekkel együtt. Az áram- és feszültség- illetve az ellenállásmérésre alkalmas műszerek, valamint csatlakozózsinórok segítségével az áramköröket a hallgatók maguk állítják össze.

1. Ellenállásmérő segítségével mérje meg a panelen lévő valamennyi ellenállás értékét!

2. Az ellenállásokat sorba kötve, kapcsolja azokat a "GYENGEÁRAM" feliratú csatlakozó kb. 12 V-os egyenfeszültségére, és mérje meg a körben folyó áram erősségét, illetve az egyes ellenállásokon eső feszültségeket! Az Ohm-törvény alapján számítsa ki az egyes ellenállások értékét! Az eredményeket hasonlítsa össze az előző mérésnél kapott értékekkel!

3. Mérje meg a panelon található valamelyik ellenállás értékét Wheatstone-hidas módszerrel, melynek kapcsolási rajza a 3. ábrán látható! $\setbox0\hbox{$R_x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az ismeretlen ellenállás, $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyére pedig a mérőhelyen található ellenállásszekrény bemeneteit kell csatlakoztatni. A berendezésen az ellenállás tízes számrendszerű jegyeinek értékei külön-külön állíthatók, és ezen értékek összege adja a szekrény teljes ellenállását.

Állítsuk először az $\setbox0\hbox{$l_1/l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ arányt 1/9-re! A pillanatkapcsoló lenyomásával a hidat feszültség alá helyezzük. Ha a galvanométer mutatója igen erősen kilendül, a kapcsolót azonnal engedjük el, mert ez azt jelenti, hogy a híd messze van a kiegyenlítés feltételétől, a galvanométeren átfolyó nagy áram tönkreteheti azt. Az ellenállásszekrény legnagyobb nagyságrendű ellenállásának állításával elérhető, hogy a mutató a másik irányba térjen ki. Ekkor az eggyel kisebb nagyságrendű ellenállás változtatásával elérhető, hogy az áram iránya újra megváltozzon a hídban. Fokozatosan, a kisebb nagyságrendű ellenállások állításával elérhető a híd egyensúlya, a galvanométer mutatója ekkor már nem tér ki.

Végezze el a mérést az $\setbox0\hbox{$l_1/l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ arány 2/8, 3/7, 4/6, 5/5, 6/4, 7/3, 8/2, 9/1 értékei mellett is! A mért értékek átlagolásával határozza meg az ellenállás értékét!

4. A hídmódszer pontosságának a vizsgálata.

A mért adatok lehetőséget adnak arra, hogy megvizsgáljuk, hogyan függ a hídmódszer pontossága az $\setbox0\hbox{$l_1/l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ aránytól. Jelölje $\setbox0\hbox{$R_{xi}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egy beállított $\setbox0\hbox{$l_1/l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ aránynál mért ellenállást, ($\setbox0\hbox{$i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ = 1, 2, ..... 9), $\setbox0\hbox{$\overline{R_x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ezek átlagát. Ábrázolja az $\setbox0\hbox{$|\overline{R_x}-R_{xi}|$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mennyiséget az $\setbox0\hbox{$l_1/l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ arány függvényében, és határozza meg, hogy mérései alapján milyen $\setbox0\hbox{$l_1/l_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ arány mellett legpontosabb a hídmérés!

4. ábra

5. A 4. ábra szerinti elrendezésben iktasson be az áramkörbe egy $\setbox0\hbox{$U_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromotoros erejű telepet is! Mérje meg az egyes elemeken eső feszültségeket és vizsgálja meg Kirchhoff második törvényének teljesülését!

6. Végezze el az előbbi feladatot a telep fordított polaritása esetén is!

7. Az ellenállások értékeinek ismeretében az 5. és 6. feladat mérési eredményeinek felhasználásával határozza meg a telep $\setbox0\hbox{$U_T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elektromotoros erejét és $\setbox0\hbox{$R_b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ belső ellenállását!

5. ábra

8. Az 5. ábrának megfelelően állítsa össze az ellenállások párhuzamos kapcsolását úgy, hogy valamennyi ágba árammérő legyen csatlakoztatható! Mérje meg valamennyi ágban az áramerősséget, és ellenőrizze a csomóponti törvény teljesülését!

Mivel csak két árammérője van, egyszerrecsak a főágban és egy mellékágban tud mérni. A hibaszámításnál vegye figyelembe az ampermérők belső ellenállásából adódó hibákat! Ehhez ellenállásmérővel mérje meg az ampermérő belső ellenállását (a használt méréshatáron).

6. ábra

9. Ebben a feladatban egy potenciométeres feszültségosztót méretezünk úgy, hogy segítségével egy 6 V, 1,2 W-os izzót működtethessünk 12 V-os feszültségforrással. A mérési eredményeket felhasználva határozzuk meg az izzószál üzemi hőmérsékletét!

• Ohm-mérő segítségével mérje meg a kísérletben használt izzó $\setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hideg-ellenállását!
• Mérje meg a dobozba épített tolóellenállás (potenciométer) $\setbox0\hbox{$R_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállását!
• A 6. ábrán látható kapcsolás alapján számítsa ki, hogy a tolóellenállásból mekkora $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállást kell az izzóval párhuzamosan kapcsolni, azaz hová kell állítani a csúszkát!
• Ellenállásmérő segítségével állítsa be a megfelelő $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéket, és állítsa össze az áramkört!
• Az összeállított áramkörrel ellenőrizze számításai helyességét!
• Állapítsa meg az izzólámpa tényleges üzemi paramétereit ($\setbox0\hbox{$I_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$R_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$P_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) $\setbox0\hbox{$U_L=$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 6 V mellett! $\setbox0\hbox{$R_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a tényleges meleg ellenállás.
• Az izzólámpa $\setbox0\hbox{$R_H$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hidegellenállásának és $\setbox0\hbox{$R_M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ melegellenállásának valamint a $\setbox0\hbox{$T_H=$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 300 K hideg hőmérsékletnek az ismeretében számítsa ki az izzószál üzemi hőmérsékletét! A volfram hő-foktényezője $\setbox0\hbox{$\alpha=4,4\dot10^{-3}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ 1/K.