A kényszerrezgés vizsgálata
A harmonikus rezgés alapvető fizikai jelenség. Vibrációk, oszcillációk harmonikus rezgéssel modellezhetők, ha az amplitúdók elég kicsinyek. A harmonikus mozgás differenciálegyenlete nem csupán a klasszikus fizikában (mechanika, villamosságtan), de a kvantumfizikában, a szilárdtestfizikában és az optikában is gyakran előfordul.
Tartalomjegyzék |
Elméleti összefoglaló
Csillapítatlan rezgések
Ha egy 
tömegű anyagi pontra a kitéréssel arányos, rugalmas erő hat, akkor a mozgásegyenlet
![\[ma=-Dx\]](/images/math/f/b/3/fb30b4da9009aab1cbabab9dff6513fa.png)
alakú, ahol 
a rugóállandó, 
a tömegpont kitérése az egyensúlyi helyzetből, a tömeg, és 
a gyorsulás.
A mozgásegyenlet megoldása
![\[x(t)=A\sin(\omega_0 t+\alpha)\]](/images/math/6/9/8/698d670dcace95562a59318f4bc511f6.png)
ahol 
a (kitérési) amplitúdó, 
a 
időpillanathoz tartozó fázis (mindkettőt a kezdeti feltételek határozzák meg),
![\[\omega_0=\sqrt{\frac{D}{m}}\]](/images/math/6/2/b/62b794d7c5bd9b0793952f4288745739.png)
a csillapítatlan rezgő rendszer körfrekvenciája. (
, ahol 
a megfelelő frekvencia.)
A harmonikus rezgőmozgás sebessége
![\[v(t)=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}=A\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha)\]](/images/math/9/d/c/9dcad6f28870846c89ba112d12dd1f58.png)
ahol 
a maximális sebesség, az ún. sebességamplitúdó.
Csillapodó rezgések
A csillapodást okozó erők gyakran (jó közelítéssel) a sebességgel arányosak: 
, ahol 
a csillapítás erősségére jellemző mennyiség. Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete:
![\[ma=-Dx-kv\]](/images/math/b/7/0/b70cad48363b12ebe7c00c8de056d4b1.png)
ami a 
csillapítási tényező bevezetésével és 
definíciójának felhasználásával az alábbi alakra hozható:
![\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=0\]](/images/math/3/3/f/33fca78ee06fe71af4452fd72c08965a.png)
A differenciálegyenlet megoldása 
esetén időben csökkenő amplitúdójú lengéseket eredményez:
![\[x(t)=Ae^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)\]](/images/math/1/6/a/16aac187848ca1c99ebe5aaba1c45d99.png)
A rezgés körfrekvenciája
![\[\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\]](/images/math/c/6/3/c630d6c795ef05121257c9d49adecb90.png)
Az amplitúdóváltozás jellemzésére különböző mennyiségeket használnak. A csillapodási hányados két, azonos irányban egymás után következő amplitúdó hányadosa
![\[K=\frac{x_n}{x_{n+1} }=e^{\beta T}\]](/images/math/d/7/5/d75e89c8fe55114bbb46e0c7a217c899.png)
ahol 
. Használatos még a K csillapodási hányados logaritmusa, az ún. logaritmikus dekrementum is:
![\[\Lambda=\ln K=\beta T\]](/images/math/f/5/5/f55922b2e6f73cf0584aa6742023ae9d.png)
Kényszerrezgések
Egy tömegre pl. motor és excenter segítségével időben periodikusan változó erőt alkalmazva egy átmeneti időszak után időben állandósult rezgés alakul ki, melynek frekvenciája megegyezik a kényszerítő erő frekvenciájával, míg amplitúdója függ az erőtől, a rugóállandótól, a tömegtől, a csillapítástól valamint a gerjesztő frekvenciától. Az anyagi pont mozgásegyenlete ekkor:
![\[ma=-Dx-kv+F_0\sin(\omega t)\]](/images/math/d/7/0/d700dd523f6789794008013701d4127e.png)
A korábban bevezetett jelöléseket alkalmazva másodrendű lineáris, inhomogén differenciálegyenletet kapunk:
![\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=\frac{F_0}{m}\sin(\omega t)\]](/images/math/a/3/6/a365b484e2e8bca8da1b9e33b1dc9748.png)
ahol 
a kényszererő maximális értéke. Az egyenlet megoldása:
![\[x(t)=A_0e^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)+\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} }\sin(\omega t+\varphi),\]](/images/math/0/0/9/00954c33ce0f7e021cd0b585b36be497.png)
melynek második tagja írja le az állandósult állapotot. Az állandósult állapot amplitúdója:
![\[A(\omega)=\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} },\]](/images/math/7/7/2/7720f8a65b3abb6e065f1f3b8160c243.png)
melynek maximuma van az
![\[\omega_{max}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}\]](/images/math/9/1/5/915a5a394448e94f7f6df72c7607febb.png)
körfrekvenciánál. A 
fázisállandó nem az időmérés kezdetétől függ, hanem a kényszerítő erő fázisától való eltérés, ennek tangense:
![\[\text{tg}\varphi=\frac{2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}.\]](/images/math/6/d/b/6dbbdd1f06cca90c8f59865a19ee8340.png)
Az amplitúdóhoz hasonlóan megadhatjuk a sebességamplitúdó kifejezését is:
![\[A\omega=\frac{F_0\omega}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\]](/images/math/a/c/4/ac40d1467d7453e71cd74c80e41715d4.png)
melynek maximuma – ellentétben a kitérési amplitúdó maximumával – éppen -nál van, ahol
![\[A\omega_0=\frac{F_0}{2m\beta}.\]](/images/math/3/c/3/3c369dfa228035d26cc0c23371ffe361.png)
A kényszerrezgés energiaviszonyainak jellemezésére az egy periódus alatt disszipált energia 
és a rendszerben tárolt átlagos energia 
hányadosával arányos jósági tényező-t használjuk
![\[Q=2\pi\frac{\langle W\rangle}{T\langle P\rangle}\approx\frac{\omega_0}{2\beta}\]](/images/math/0/0/b/00b44b97ac127fd01604257e56fe2fc0.png)
A kísérleti berendezés leírása
A kísérleti berendezés az 1. ábrán látható. Az alul elhelyezkedő elektronikai egység hátsó lapján található a kényszererőt létrehozó excenter. A kényszererő amplitúdója az amplitúdórúd helyzetének változtatásával szabályozható, ami a kényszert kifejtő zsinór rögzítési pontja és az excenter középpontja közötti távolságot befolyásolja (2. ábra). A kényszert továbbító zsinór a tartóoszlop tetején található két csiga vájatain áthaladva egy hurokkal kapcsolódik a vizsgálandó rugó egyik végéhez. A másik véghez a skálával ellátott mérőrúd és a hozzá erősített ún. csillapító rúd csatlakozik. E két rúd alkotja a rezgőmozgást végző „alaptömeget”, melynek értéke 50 g.
A mérőkészlethez tartozik két 50 g tömegű rézkorong is. A korongokat a mérőrudat és csillapitórudat összekötő csavarmenetre lehet felerősíteni. A tartóoszlop középmagasságánál látható a rúdvezető, melyben optikai érzékelők vannak. A mérőrudat a rúdvezető téglalap alakú nyílásán kell átvezetni.
Helyes beállítás esetén a rezgés csillapodása – melyet a légellenállás ill. a berendezés egyes elemei között fellépő súrlódás okoz – igen kicsi. Ezért a csillapítás változtatása (növelése) céljából a tartórúdra egy olyan mágnespárt szerelhetünk fel, melynek pofái között a távolság változtatható. Ezen mágnespofák között mozog az alumíniumból készült csillapítórúd. A mágneses tér hatására a mozgó fémrúdban örvényáramok keletkeznek, melyek Joule-hőjének disszipációja okozza a rendszer csillapodását. A mágnespofák közötti távolság csökkentésével a mágneses térerősség növelhető, azaz a disszipáció, vagyis a csillapítás fokozható.
Beállítás
- Ha a készülék jól van beállítva, a mérőrúd úgy függ, hogy egyik oldala sem ér hozzá a rúdvezető nyílásának falához (3. ábra). A nem jó a beállítás a 3. ábrán látható „b” vagy „c” esetben fordul elő. A „b” esetet az elektronika doboz változtatható magasságú lábainak megfelelő állításával korrigálhatjuk (vízszintezés). A „c” eset a mérőrúd felfüggesztésével (elcsavarásával)javítható.
- A fázis és amplitúdó pontos méréséhez úgy kell felfüggeszteni a mérőrudat, hogy egyensúlyi helyzetben középvonala egybeessen a rúdvezető optikai érzékelőjével. Ennek beállításához:
- Kapcsolja be az elektronika doboz hátoldalán levő kapcsolót. Figyelje a rúdvezető LED-et. Ha a mérőrúd középvonala (8,5 cm) feljebb van, mint a rúdvezető felső éle, akkor a LED kialszik. Ha a középvonal lejjebb került, akkor a LED kigyullad.
- Mozgassa úgy a mérőrudat fel és le, hogy a középvonala áthaladjon a rúdvezetőn. Közben figyelje a FÁZIS kijelzést. Amikor a mérőrúd középvonala lefelé halad keresztül a rúdvezetőn, egy LED villog a fázisskálán. Annyira fordítsa el a kényszerkereket, hogy a fázist jelző LED éppen 0° fázishelyzetet mutasson.
- Most pontosítsa a zsinór hosszát. Ez a zsinóron található plasztikcsattal állítható. Finom állítások a tartóoszlop tetején levő csavarral végezhetők. A zsinórhossz akkor megfelelő, ha egészen kicsi oszcillációknál a fázis LED ki-be kapcsol.
Az elektronika doboz a 4. ábrán látható. Az elülső lapon található a DRIVE kapcsoló. Ezzel indítható a motor, mely a kényszer kereket forgatja. A FREQUENCY gombbal változtatható a kényszer frekvenciája. Óramutató járásával megegyezően forgatva növeli a frekvenciát. A FUNCTION kapcsoló határozza meg azt, hogy az alábbi három változóból melyiket írja ki a digitális kijelző. (A kijelző jobb oldalán egy LED mutatja, hogy melyik változó értéket olvashatjuk le.)
- FREQ. – A kényszerkerék frekvenciája (Hz)
- AMPL. – A mérőrúd csúcstól-csúcsig amplitúdója (ez az amplitúdó kétszerese) (mm)
- PERIOD – A mérőrúd egy teljes rezgésének periódusideje (s).
 |
 |
 |
Mérési feladatok
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
1. A rugóállandó mérése
Állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd 17 cm-es jele a rúdvezető alsó szélével egy vonalba essék! Erősítse az egyik 50 g-os rézsúlyt a mérőrúd és a csillapítórúd közé! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezze fel a második rézsúlyt is, és mérje meg az újabb megnyúlást! Számítsa ki a rugó rugóállandóját!
2. Csillapítatlan rendszer lengésideje
Szabályozza be a készüléket!
- Nagyon fontos, hogy a mérőrúd ne érjen a rúdvezető egyik falához se (lásd az előző pontban)!
Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnespofákat! A funkciókapcsolót állítsa periódusidőmérésre (PERIOD). Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, és engedje el! A digitális kijelző ekkor a rezgés periódusidejét (s) mutatja. A mérést üres mérőrúddal, majd 50 és 100 g-os terhelésekkel is végezze el!
- Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!
3. Kényszerrezgés amplitúdójának és sebességamplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében
A méréseket két különböző csillapítás esetén, mérőrúd + 50 g tömeggel végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól a lehető legtávolabb állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a csillapítórúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!
Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét úgy, hogy már egészen kis kitéréseknél villogjon a digitális kijelző (beállítás)! A funkciókapcsolót állítsa frekvenciamérésre (FREQ.) és a DRIVE kapcsolóval indítsa el a kényszerrezgést! A frekvenciaszabályozó gombbal lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát, és időről-időre váltson át az amplitúdómérésre (AMPL.)!
- Itt a kijelző mm-ben megadja a csúcstól-csúcsig amplitúdót – ez az amplitúdó kétszerese.
- Figyelje eközben a fázisállandót jelző LED értékét is! Amikor a kényszerítő frekvencia megegyezik az sajátfrekvenciával, a fázisszög 90°.
Keresse meg az 
rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális!
- A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától.
- Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját, majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!
Amennyiben mindent rendben talál, vegye fel táblázatosan a rezonanciafrekvenciánál 1 Hz-cel kisebb és 1 Hz-cel nagyobb frekvenciák közötti intervallumban 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is) a kitérési amplitúdókat! Ábrázolja a különböző csillapítással felvett görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben értékét!
A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeségamplitúdó 
értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebességamplitúdó – frekvencia görbéket!
- A különböző csillapítással felvett görbéket most is közös diagrammon ábrázolja!
4. Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása
A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a csillapodási hányados mérésén alapul. Ekkor egymás utáni lengések amplitúdócsökkenéseit mérjük. Ennek észlelése akkor pontos, ha a lengő rendszer periódusideje eléggé nagy (kb. 3-10 s). Az alkalmazott rugónál a lengésidő rövidebb, emiatt egy másik módszer alkalmazása előnyösebb: a csillapítási- és jósági tényezők a sebességamplitúdó frekvenciafüggéséből meghatározhatók.
Illesszen a 3. pontban mért sebességamplitúdó adatokra a sebességamplitúdó – frekvencia függvénynek megfelelő görbét! Az illesztett görbe illesztési paraméterei között szerepel a 
csillapítási tényező és az saját körfrekvencia. Ezek alapján meghatározható a jósági tényező is.
5. Lebegés vizsgálata
Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinuszhullám szuperpozíciójakor „lebegés” alakul ki (5. ábra). Ha 
időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi 
időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája 
, ahol 
és 
a két összetevő rezgés frekvenciája.
A kényszerrezgés bekapcsolásakor az állandósult tag mellett egy darabig megfigyelhető a csillapított rendszer idővel elhaló saját rezgése is. A differenciálegyenlet megoldása tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló mindkét frekvenciát. A tranziens rezgés körfrekvenciája 
, az állandósulté pedig 
. Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő körfrekvenciája közelében van, és a csillapítás elég kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik.
Szerelje le újra a csillapító mágnespofákat és állítsa be pontosan a mérőrúd helyzetét. Határozza meg a rendszer sajátfrekvenciáját! (A 2. méréshez hasonlóan használja a készülék kijelzőjén a PERIOD állást! 
) Állítsa a kényszerkeréken az amplitúdót 2 mm-re! Kapcsolja be a kényszermozgást és szabályozza annak frekvenciáját úgy, hogy 0,1 Hz-cel legyen alacsonyabb, mint ! Jegyezze fel mindét frekvencia értékét és kapcsolja ki a kényszert! Várjon, amíg a mérőrúd megáll! Állítsa a funkciókapcsolót AMPL. állásba.
Helyezze a mérőrúd alá az ultrahangos érzékelőt! Indítsa el a számítógépen a Logger Lite programot. A program felismeri a rákapcsolt szenzort. Végezze el a következő beállításokat: Experiment 
Data Collection Length: 120 s; Options Graph Options Axes Options Scaling: Autoscale (mindkét tengelyen).
Indítsa el az adatgyűjtést, majd kapcsolja be a kényszerrezgést! A lebegés megszűntéig mérjen! Utána a mérési adatok a File Export as paranccsal menthetők.
Ábrázolja az amplitúdót az idő függvényében! Határozza meg a burkoló szinuszgörbe periódusidejét és frekvenciáját!
- Vesse össze az elmélet alapján várható értékekkel!
- Akkor kap szép lebegést, ha kicsi a csillapítás (leszedett mágnespofák, jól beállított mérőrúd (nem súrlódik).
Vissza a Fizika laboratórium 1. tárgyoldalára.
