Harmonikus rezgések vizsgálata

A mérés célja:

• elmélyíteni a hallgatók harmonikus rezgésekről szóló ismereteit,
• megtapasztalni a mechanikai és az elektromos rezgések közötti analógiát,
• megismerkedni a váltóáramú mérésekkel és a komplex jelöléssel,
• valamint egyszerű szűrőkapcsolások tulajdonságaival

Ennek érdekében:

• a mechanikai rezgések leírásán keresztül áttekintjük a harmonikus rezgések elméletét,
• megismerjük a különböző áramköri elemek váltóáramú viselkedését,
• áttekintjük a komlex jelölést
• megismerkedünk néhány egyszerű szűrőelrendezéssel,
• megvizsgáljuk a mechanikai rezgéseket,
• méréseket végzünk alul- és felüláteresztő szűrőkkel,
• megvizsgáljuk a feszültségviszonyokat soros RLC körökben,
• megfigyeljük az analógiát a soros RLC és a mechanikai rezgések között.

Elméleti összefoglaló

A harmonikus rezgés alapvető fizikai jelenség. Vibrációk, oszcillációk harmonikus rezgéssel modellezhetők, ha az amplitúdók elég kicsinyek. A harmonikus mozgás differenciálegyenlete nem csupán a klasszikus fizikában (mechanika, villamosságtan), de a kvantumfizikában, a szilárdtestfizikában és az optikában is gyakran előfordul. A harmonikus rezgés tulajdonságait a mechanikai rezgések példáján keresztül tárgyaljuk, majd megmutatjuk a soros RLC körökben megfigyelhető elektromos rezgések és a mechanikai rezgések közötti analógiát. Végül pedig bevezetjük a komplex jelölést és megvizsgálunk néhány egyszerű szűrőelrendezést.

Harmonikus mechanikai rezgések leírása

Csillapítatlan mechanikai rezgések

Ha egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegű anyagi pontra a kitéréssel arányos, rugalmas erő hat, akkor a mozgásegyenlet

$\[ma=-Dx\]$

alakú, ahol $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a rugóállandó, $\setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a tömegpont kitérése az egyensúlyi helyzetből, $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a tömeg, és $\setbox0\hbox{$a$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a gyorsulás. A mozgásegyenlet megoldása

$\[x(t)=A\sin(\omega_0 t+\alpha)\]$

ahol $\setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a (kitérési) amplitúdó, $\setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpillanathoz tartozó fázis (mindkettőt a kezdeti feltételek határozzák meg),

$\[\omega_0=\sqrt{\frac{D}{m}}\]$

a csillapítatlan rezgő rendszer körfrekvenciája. ($\setbox0\hbox{$\omega_0=2\pi f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a megfelelő frekvencia.)

A harmonikus rezgőmozgás sebessége

$\[v(t)=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}=A\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha)\]$

ahol $\setbox0\hbox{$A\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a maximális sebesség, az ún. sebességamplitúdó.

Csillapodó rezgések

A csillapodást okozó erők gyakran (jó közelítéssel) a sebességgel arányosak: $\setbox0\hbox{$F_{cs}=-kv$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a csillapítás erősségére jellemző mennyiség. Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete:

$\[ma=-Dx-kv\]$

ami a $\setbox0\hbox{$\beta=k/(2m)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csillapítási tényező bevezetésével és $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ definíciójának felhasználásával az alábbi alakra hozható:

$\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=0\]$

A differenciálegyenlet megoldása $\setbox0\hbox{$\omega_0^2\geq\beta^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén időben csökkenő amplitúdójú lengéseket eredményez:

$\[x(t)=Ae^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)\]$

A rezgés körfrekvenciája

$\[\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\]$

Az amplitúdóváltozás jellemzésére különböző mennyiségeket használnak. A csillapodási hányados két, azonos irányban egymás után következő amplitúdó hányadosa

$\[K=\frac{x_n}{x_{n+1} }=e^{\beta T}\]$

ahol $\setbox0\hbox{$T=2\pi/\omega'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Használatos még a K csillapodási hányados logaritmusa, az ún. logaritmikus dekrementum is:

$\[\Lambda=\ln K=\beta T\]$

Kényszerrezgések

Egy $\setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ tömegre pl. motor és excenter segítségével időben periodikusan változó erőt alkalmazva egy átmeneti időszak után időben állandósult rezgés alakul ki, melynek frekvenciája megegyezik a kényszerítő erő frekvenciájával, míg amplitúdója függ az erőtől, a rugóállandótól, a tömegtől, a csillapítástól valamint a gerjesztő frekvenciától. Az anyagi pont mozgásegyenlete ekkor:

$\[ma=-Dx-kv+F_0\sin(\omega t)\]$

A korábban bevezetett jelöléseket alkalmazva másodrendű lineáris, inhomogén differenciálegyenletet kapunk:

$\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\beta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega_0^2 x=\frac{F_0}{m}\sin(\omega t)\]$

ahol $\setbox0\hbox{$F_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a kényszererő maximális értéke. Az egyenlet megoldása:

$\[x(t)=A_0e^{-\beta t}\sin(\omega' t+\alpha)+\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} }\sin(\omega t+\varphi),\]$

melynek második tagja írja le az állandósult állapotot. Az állandósult állapot amplitúdója:

$\[A(\omega)=\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2} },\]$

melynek maximuma van az

$\[\omega_{max}=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}\]$

körfrekvenciánál. A $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázisállandó nem az időmérés kezdetétől függ, hanem a kényszerítő erő fázisától való eltérés, ennek tangense:

$\[\text{tg}\varphi=\frac{2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}.\]$

Az amplitúdóhoz hasonlóan megadhatjuk a sebességamplitúdó kifejezését is:

$\[A\omega=\frac{F_0\omega}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\beta^2\omega^2}}\]$

melynek maximuma – ellentétben a kitérési amplitúdó maximumával – éppen $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nál van, ahol

$\[A\omega_0=\frac{F_0}{2m\beta}.\]$

A kényszerrezgés energiaviszonyainak jellemezésére az egy periódus alatt disszipált energia $\setbox0\hbox{$\langle W\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és a rendszerben tárolt átlagos energia $\setbox0\hbox{$\langle P\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hányadosával arányos jósági tényezőt használjuk

$\[Q=2\pi\frac{\langle W\rangle}{T\langle P\rangle}\approx\frac{\omega_0}{2\beta}\]$

Váltakozó áramú kapcsolások

Áramköri elemek áram- és feszültségviszonyai

Ohmos ellenállás

Az ellenálláson eső feszültséget az

$\[u(t)=R i(t)\]$

összefüggés írja le. Szinuszos gerjesztés [$\setbox0\hbox{$i(t)=I\cos\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$] esetén

$\[u(t) = R I \cos\omega t,\]$

azaz az ohmos ellenálláson a feszültség és az áram azonos fázisban van.

Tekercs

A tekercsben indukálódó feszültséget az

$\[u(t) = L \frac{{\rm d}i(t)}{{\rm d}t}\]$

egyenlet írja le. Szinuszos gerjesztés [$\setbox0\hbox{$i(t)=I\cos\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$] esetén

$\[u(t) = -L \omega I \sin\omega t = L \omega I \cos( \omega t + 90^\circ),\]$

tehát a tekercsben fellépő feszültség 90°-ot siet az átfolyó áramhoz képest.

Kondenzátor

A kondenzátoron átfolyó áram időfüggését az alábbi egyenlet írja le:

$\[i(t) = C \frac{{\rm d}u(t)}{{\rm d}t}.\]$

Szinuszos gerjesztés [$\setbox0\hbox{$i(t)=I\cos\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$] esetén:

$\[u(t) = \frac{I}{C\omega}\sin\omega t = \frac{I}{C\omega}\cos(\omega t - 90^\circ),\]$

azaz a kondenzátor feszültsége 90°-kal késik az áramhoz képest.

Soros rezgőkör - a mechanikai kényszerrezgés elektromos megfelelője

Kondenzátor és tekercs soros kapcsolását (a veszteségeket soros ellenállással figyelembe véve) soros rezgőkörnek nevezik (1. ábra). Az alábbiakban láthatjuk, hogy ez az áramkör a korábban ismertetett kényszerrezgés elektromos megfelelője, amennyiben a tömegpont kitérését megfeleltetjük a kondenzátor töltésének, a rugóállandót a kondenzátor kapacitásának, a tömegpont tömegét a tekercs induktivitásának és a csillapítást az ellenállásnak. Ha az RLC körben a kondenzátort feltöltenénk, majd a bemenetet rövidre zárnánk, akkor egy csillapodó rezgést figyelhetnénk meg. A nagy frekvencia és a gyors csillapodás miatt azonban ezt nehezebb megfigyelni, mint egy kitérített, és magára hagyott mechanikai rezgő rendszert. Ha a bemenetre szinuszos gerjesztő feszültséget kapcsolunk, akkor viszont a kényszerrezgéssel teljesen analóg viselkedést figyelhetünk meg.

1. ábra

Viszgáljuk meg a rezgőkör differenciálegyenletét a kondenzátor időfüggő töltésére ($\setbox0\hbox{$q(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) felírva, amikor a rezgőkörre $\setbox0\hbox{$u_0(t)=U_0\sin\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültséget kapcsolunk:

$\[u_{\rm C}=q(t)/C\]$

$\[i(t)=\dot{q}(t)\]$

$\[u_{\rm R}=Ri(t)=R\dot{q}(t)\]$

$\[u_{\rm L}=L\dot{i}(t)=L\ddot{q}(t)\]$

$\[L\ddot{q}(t)+R\dot{q}(t)+q(t)/C=U_0\sin\omega t\]$

$\[\ddot{q}(t)+\frac{R}{L}\dot{q}(t)+\frac{1}{LC}q(t)=\frac{U_0}{L}\sin\omega t.\]$

Vegyük észre, hogy ez a differenciálegyenlet $\setbox0\hbox{$R/L=2\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$1/LC=\omega_0^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelöléssel a kényszerrezgést leíró differenciálegyenlettel teljesen analóg egyenletet eredményez. Ennek következtében az általános megoldás is teljesen analóg: traniens és állandósult tagokat tartalmaz.

Esetünkben a tranziens tag hamar elhal, és az állandósult tagot tanulmányozhatjuk. Az amplitúdó itt a kondenzátor töltése, de számunkra sokkal érdekesebb ennek deriváltja, a körben folyó áramerősség. Ez tehát az analógia alapján a mechanikai rezgés sebességrezonanciájával egyezik meg:

$\[I(\omega)=\frac{U_0}{L\sqrt{\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+4\beta^2\omega^2}}.\]$

Ha behelyettesítjük $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét, akkor

$\[I(\omega)=\frac{U_0}{\sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}}.\]$

Látható, hogy a rezgőkörben folyó áramnak $\setbox0\hbox{$\omega L = 1/\omega C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén az

$\[\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}\]$

körfrekvencián maximuma van. A jelenséget rezonanciának, $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t rezonancia-körfrekvenciának hívják. Ezen a körfrekvencián áramrezonancia alakul ki.

Ez az áram – kis veszteségi ellenállást feltételezve – igen nagy feszültségeket hozhat létre a kondenzátoron és a tekercsen. Azonban ezek a feszültségek egymáshoz viszonyítva 180°-os fázisban vannak, abszolút értékük pedig megegyezik (hiszen azonos áram folyik át rajtuk), így egymást kiegyenlítik.

Megjegyzés: A kondenzátoron és a tekercsen eső feszültségnek nem pontosan az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rezonanciafrekvencián van maximuma - hasonlóan a mechanikai kényszerrezgés amplitúdórezonanciájához.

Komplex jelölés

2. ábra

Szinuszos gerjesztés esetén, állandósult állapotban minden áram- és feszültségfüggvény azonos $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfrekvenciával változik. Az egymáshoz képesti fáziskülönbségeket ilyenkor fazorábrával szemléltethetjük. Az 2. ábrán egy soros RLC-kör (részletesen lásd később) fazorábrája látható. Az áram - a soros kapcsolás miatt - mindhárom elemen ugyanakkora, a feszültségek pedig ehhez viszonyítva sietnek, fázisban vannak, illetve késnek.

Az áramkörre kapcsolt feszültség a három, sorbakapcsolt feszültséget jelölő fazor vektori eredője.

A fazorokat felfoghatjuk komlex számokként is. Így az egyes áram és feszültségjeleket egy-egy komplex szám jelöli. A fazorokhoz hasonlóan a komplex szám abszolút értéke a jel nagyságát (csúcsértékét), a komplex szám arkusza pedig a jel (a kiválasztott fázishelyzethez viszonyított) fázisát adja meg.

Figyelem! Mivel a villamos hálózatoknál $\setbox0\hbox{$i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az áram pillanatértékét jelöli, a komplex egység szokásos jelölése itt $\setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ !

Az 2. ábrán látható fazorábrán szereplő jeleknek megfelelő komplex mennyiségek:

$\[\mathbf{I}=I\]$

$\[\mathbf{U_{\rm R}}=U_{\rm R}=RI\]$

$\[\mathbf{U_{\rm L}}=jU_{\rm L}=j\omega LI\]$

$\[\mathbf{U_{\rm C}}=-jU_{\rm C}=I/j\omega C\]$

Ekkor az eredő (komplex) feszültséget nem csak megszerkeszthetjük, hanem egyszerű komplex algebrával ki is számolhatjuk:

$\[\mathbf{U} = \mathbf{U_{\rm R}}+\mathbf{U_{\rm L}}+\mathbf{U_{\rm C}}= RI + j\omega LI + I/j\omega C\]$

Az eredő feszültség nagysága (csúcsértéke) a komplex érték abszolút értéke:

$\[U=|\mathbf{U}|=\sqrt{R^2+(\omega L-1/\omega C)^2}I=ZI,\]$

ahol $\setbox0\hbox{$Z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az eredő ellenállás.

Az eredő feszültség fázisa a komplex feszültség arkusza:

$\[\varphi=\arccos\frac{R}{Z}.\]$

A komplex áram és feszültség alapján azonban közvetlenül is fel tudjuk írni az áram és a feszültség időfüggvényét:

$\[i(t)=\rm{Re}\left(\mathbf{I}e^{j\omega t}\right)=I\cos \omega t\]$

$\[u(t)=\rm{Re}\left(\mathbf{U}e^{j\omega t}\right)=U\cos(\omega t+\varphi)=ZI\cos(\omega t+\varphi)\]$

3. ábra

Ha az 2. ábrán látható fazorokat leíró komplex feszültségeket elosztjuk az áramerősség nagyságával, akkor ellenállás dimenziójú komplex mennyiségeket kapunk:

$\[\frac{\mathbf{U_{\rm R}}}{I}=\mathbf{R}=R\]$

$\[\frac{\mathbf{U_{\rm L}}}{I}=\mathbf{X_{\rm L}}=j\omega L\]$

$\[\frac{\mathbf{U_{\rm C}}}{I}=\mathbf{X_{\rm C}}=1/j\omega C\]$

$\[\frac{\mathbf{U}}{I}=\mathbf{Z}\]$

A komplex ellenállásokkal ugyanúgy számolhatunk egy váltóáramú körben, mint az ohmos ellenállásokkal egyenáramú hálózatok esetében.

A mi esetünkben a soros kapcsolás miatt az eredő (komplex) ellenállás az egyes (komplex) ellenállások összege:

$\[\mathbf{Z}=\mathbf{R}+\mathbf{X_{\rm L}}+\mathbf{X_{\rm C}}.\]$

A komplex jelölésmóddal bármely áramköri elem leírása olyan, mintha egy ohmos ellenállás lenne:

$\[\mathbf{U_{\rm R}}=\mathbf{R}\mathbf{I}\]$

$\[\mathbf{U_{\rm L}}=\mathbf{X_{\rm L}}\mathbf{I}\]$

$\[\mathbf{U_{\rm C}}=\mathbf{X_{\rm C}}\mathbf{I}\]$

$\[\mathbf{U}=\mathbf{Z}\mathbf{I}\]$

A komplex ellenállás abszolút értéke a skalár ellenállás értéket adja, míg arkusza azt mutatja meg, hogy az adott áramköri elem mennyivel tolja el a fázist.

Egyszerű áramkörök leírása komplex jelöléssel

A komplex leírásmód előnyének szemléltetése céljából az alábbiakban megvizsgálunk néhány negyszerű áramkört.

Szűrő áramkörök

Szűrők segítségével egy különböző frekvenciájú rezgésekből álló elektromos jelből ki lehet szűrni bizonyos frekvenciatartományokat. A legegyszerűbb elsőrendű szűrők egy ellenállást és egy kondenzátort/tekercset tartalmaznak és a feszültségosztás elvén működnek, melyet a komplex jelölést felhasználva egyszerűen az egyenáramú áramkörökben jól ismert $\setbox0\hbox{$U_1=UR_1/(R_1+R_2)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültségosztó képlettel leírhatunk komplex ellenállások használatával. Ilyen szűrőkre láthatunk példát az 4/a és 4/b ábrákon. A kapcsolások feszültségviszonyai pedig az alábbi képletekkel írhatók le (A vastag betűs mennyiségek komplex változók, $\setbox0\hbox{$j$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a képzetes egység. Ugyanakkor mérni csak valós mennyiségeket lehet, azaz a komplex mennyiségek abszolút értékét!):

4/a ábra	4/b ábra
$\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{1/j\omega C}{R + 1/j\omega C} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega RC} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega RC}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} \end{array} \]$	$\[ \begin{array}{rcl} \mathbf{U}_{\rm ki} & = & \mathbf{U}_{\rm be} \frac{R}{R + j\omega L} \\ \\ \frac{\mathbf{U}_{\rm ki}}{\mathbf{U}_{\rm be}} & = & \frac{1}{1 + j\omega L/R} \\ \\ \frac{U_{\rm ki}}{U_{\rm be}} & = & \left|\frac{1}{1 + j\omega L/R}\right|=\frac{1}{\sqrt{1+(\omega L/R)^2}} \end{array} \]$

A kimeneti és bemeneti feszültségek hányadosa, a hálózatra jellemző, frekvenciafüggő kifejezés, melyeket megvizsgálva látható, hogy formailag azonosak, tehát a két kapcsolás azonos jellegű viselkedést mutat. Ameddig $\setbox0\hbox{$\omega RC \ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy $\setbox0\hbox{$\omega L/R \ll 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a kifejezések értéke 1; ha $\setbox0\hbox{$\omega RC \gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy $\setbox0\hbox{$\omega L/R \gg 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a hányados értéke $\setbox0\hbox{$1/\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szerint csökken. Ez azt jelenti, hogy adott $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén az alacsony frekvenciájú jelek csillapítás nélkül jelennek meg a kimeneten, míg magasabb frekvenciákon a kimenő feszültség egyre kisebb. Ezeket a kapcsolásokat aluláteresztő szűrőknek nevezik.

Könnyen belátható továbbá az is, hogy ugyanezeket az elrendezéseket használva felüláteresztő szűrőket is megvalósíthatunk, amennyiben a kondenzátoron (4/a) vagy ellenálláson (4/b) eső feszültség helyett a kapcsolás másik áramköri elemén (ellenállás/tekercs) eső feszültséget tekintjük kimeneti feszültségnek.

Rezgőkörök

A Komplex jelölést bemutató fejezetben egy soros rezgőkör állandósult állapotát írtuk fel a komplex jelölés használatával (fontos megjegyezni, hogy a tranzienseket ebben a leírásban nem lehet vizsgálni), ahol a hálózat eredő impedanciájára:

$\[\mathbf{Z}(\omega) = j\omega L + 1/j\omega C + R,\]$

az impedancia abszolút értékére és fázisszögére pedig:

$\[Z(\omega) = \sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}\]$

$\[\varphi = \arccos\frac{R}{Z},\]$

összefüggéseket kaptuk.

Így a körben folyó áram (azaz az ellenálláson eső feszültség és az ellenállás hányadosa):

$\[I(\omega)= \frac{U_R}{R}= \frac{U_0}{Z}=\frac{U_0}{\sqrt{(\omega L-1/\omega C)^2+R^2}}\]$

5. ábra

A komplex felírásmód alkalmazásával hasonlóan egyszerűen megkaphatjuk egy párhuzamos LC rezgőkör jellemzőit is, melyek az alábbiak:

$\[\mathbf{Z}(\omega) = \frac{j\omega L}{ 1 - \omega^{2} L C} + R,\]$

$\[Z(\omega) = \sqrt{\frac{\omega^{2} L^{2}}{(1 - \omega^{2} L C)^2} + R^{2}}\]$

$\[I(\omega)= \frac{U_0}{Z}=\frac{U_0}{\sqrt{R^2 + \omega^{2} L^{2} / (1 - \omega^{2} L C)^2}}\]$

A körben folyó áramot leíró képlet elemzéséből megállapítható, hogy a párhuzamos RLC kör esetén kis és nagy $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékeknél kapunk maximális áramot és az áramnak mimimuma van $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében az $\setbox0\hbox{$\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen.

A mechanikai rezgések vizsgálatához használt kísérleti berendezés leírása

6. ábra

A kísérleti berendezés az 6. ábrán láthatóhoz hasonló saját gyártású mérőeszköz. Az alul elhelyezkedő elektronikai egységben található a meghajtó villanymotor és egy optikai érzékelő, mellyel a meghajtás frekkvenciája mérhető, az egység első lapján találhatók az elektromos csatlakozók (motortáp, optikai értzékelő tápja, illetve jelkimenete), a hátsó lapon pedig a kényszererőt létrehozó excenter. A kényszererő amplitúdója az amplitúdórúd helyzetének változtatásával szabályozható, ami a kényszert kifejtő zsinór rögzítési pontja és az excenter középpontja közötti távolságot befolyásolja (7. ábra). A kényszert továbbító zsinór a tartóoszlop tetején található két csiga vájatain áthaladva egy hurokkal kapcsolódik a vizsgálandó rugó egyik végéhez. A másik véghez a skálával ellátott mérőrúd és a hozzá erősített ún. csillapító rúd csatlakozik. E két rúd alkotja a rezgőmozgást végző „alaptömeget”, melynek értéke 50 g.

A mérőkészlethez tartozik két 50 g tömegű rézkorong is. A korongokat a mérőrudat és csillapitórudat összekötő csavarmenetre lehet felerősíteni. A tartóoszlop középmagasságánál látható a rúdvezető, mérőrudat a rúdvezető téglalap alakú nyílásán kell átvezetni úgy, hogy a mérőrúd egyik oldala sem ér hozzá a rúdvezető nyílásának falához (8. ábra). A nem jó a beállítás a 9. ábrán látható „b” vagy „c” esetben fordul elő. A „b” esetet az elektronika doboz változtatható magasságú lábainak megfelelő állításával korrigálhatjuk (vízszintezés). A „c” eset a mérőrúd felfüggesztésével (elcsavarásával)javítható.

Helyes beállítás esetén a rezgés csillapodása – melyet a légellenállás ill. a berendezés egyes elemei között fellépő súrlódás okoz – igen kicsi. Ezért a csillapítás változtatása (növelése) céljából a tartórúdra egy olyan mágnespárt szerelhetünk fel, melynek pofái között a távolság változtatható. Ezen mágnespofák között mozog az alumíniumból készült csillapítórúd. A mágneses tér hatására a mozgó fémrúdban örvényáramok keletkeznek, melyek Joule-hőjének disszipációja okozza a rendszer csillapodását. A mágnespofák közötti távolság csökkentésével a mágneses térerősség növelhető, azaz a disszipáció, vagyis a csillapítás fokozható.

7. ábra

8. ábra

A motor egy szabályozható tápegységgel kerül meghajtásra, és a feszültség változtatásával érhetjük el a meghajtás frekvenciájának változását. A mérőrúd pozícióját az idő függvényében (így a rezgés amplitúdóját és frekvenciáját is) egy Vernier GO! Motion ultrahangos távolságmérővel méri a Logger Lite nevű program segítségével (ha saját laptopot szeretne használni a méréshez, akkor telepítse a programot). A meghajtás frekvenciáját mérő optikai jeladó feszülségjele szintén rögzíthető a Logger Lite programban. Az optikai jeladó használatához egy 5V-os DC tápfeszültséget kell kapcsolni a tápbemenetre, melyet szintén a rendelkezésre álló tápegyből tud kivenni.

Mérési feladatok

• A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.

FELADATOK ELSŐ ALKALOMMAL

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

1. A rugóállandó mérése

Állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd alja körülbelül a rúdvezető alsó széléhez essen! Erősítse az egyik 50 g-os rézsúlyt a mérőrúd és a csillapítórúd közé! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezze fel a második rézsúlyt is, és mérje meg az újabb megnyúlást! Számítsa ki a rugó rugóállandóját!

• A méréshez használja a Logger Lite szoftvert és az ultrahangos távolságmérőt!
• A Logger Lite szoftver beállításához kérje a mérésvezető segítségét!

2. Csillapítatlan rendszer lengésideje

Szabályozza be a készüléket!

• Nagyon fontos, hogy a mérőrúd ne érjen a rúdvezető egyik falához se (lásd az előző pontban)!

Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnespofákat! Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, és engedje el! Indítsa el a Logger Lite programban a mintavételezést és rögzítsen 5-10 periódust! Az "Export As" menüpontot használva mentse el az adatokat és töltse be a Matlab-ba, majd határozza meg a rezgés periódusidejét. A mérést üres mérőrúddal, majd 50 és 100 g-os terhelésekkel is végezze el!

• A mért adatok Matlab-ba való betöltésére (és akár a görbeillesztésre) célszerű egy függvényt készítenie, mert a későbbi méréseknél szintén el kell végezni a betöltést és illesztést.
• Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!

3. Kényszerrezgés amplitúdójának és sebességamplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében

A méréseket két különböző csillapítás esetén, mérőrúd + 50 g tömeggel végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól kb. 2 cm-re állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a csillapítórúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!

Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét, majd a motor feszültségének növelésével indítsa el a kényszerrezgést! A meghajtás elindítását célszerű kézzel segíteni, óvatosan lökje meg a meghajtókereket az (előlap felől nézve) óramutató járásával ellentétes irányba. A mérés során lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát a feszültség növelésével, és keresse meg az $\setbox0\hbox{$f_{max}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális!

• NE HASZNÁLJON TÚL KICSI CSILLAPÍTÁST (túl távoli mágnespofák), mert a rezonanciafrekvencián az amplitúdó túl nagy lehet, ami károsíthatja a berendezést, vagy balesetet okozhat!
• A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától.
• Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját, majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!

Amennyiben mindent rendben talál, végezze el újra a frekvencia hangolását és időről-időre álljon meg és várja meg az állandósult állapotot! A rezonanciafrekvenciánál 1 Hz-cel kisebb és 1 Hz-cel nagyobb frekvenciák közötti intervallumban mérjen kb. 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is)! Illesztéssel határozza meg az amplitúdókat és a frekvenciákat! Ábrázolja a különböző csillapítással felvett görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben $\setbox0\hbox{$f_{max}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét!

• Célszerű már a frekvencia hangolása közben elindítani a mintavételezést és a számítógépen figyelni mikor ér véget a tranziens viselkedés.
• Az adott frekvenciához tartozó állandósult állapotban történő méréshez indítson új mintavételezést és vegyen fel 10-20 periódust! Ennek a mérési fájlnak a automatizált betöltése és illesztáse egyszerűbb, mert nem szükséges az adatok levágása.
• Rögzítse a motor meghajtófeszültségének értékét is a különböző frekvenciáknál, a későbbi méréseknél segítségére lehet.
• Először végezze el a mérést nagyobb frekvencia lépésekben, majd ha szükséges, akkor finomítsa a felbontást!

A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeségamplitúdó $\setbox0\hbox{$(A\cdot 2\pi f=A\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebességamplitúdó – körfrekvencia görbéket!

• A különböző csillapítással felvett görbéket most is közös diagrammon ábrázolja!

4. Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása

A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a csillapodási hányados mérésén alapul. Ekkor egymás utáni lengések amplitúdócsökkenéseit mérjük. Ennek észlelése akkor pontos, ha a lengő rendszer periódusideje eléggé nagy (kb. 3-10 s). Az alkalmazott rugónál a lengésidő rövidebb, emiatt egy másik módszer alkalmazása előnyösebb: a csillapítási- és jósági tényezők a sebességamplitúdó frekvenciafüggéséből meghatározhatók.

Illesszen a 3. pontban mért sebességamplitúdó adatokra a sebességamplitúdó – körfrekvencia függvénynek megfelelő görbét! Az illesztett görbe illesztési paraméterei között szerepel a $\setbox0\hbox{$\beta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ csillapítási tényező és az $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ saját körfrekvencia (valamint az $\setbox0\hbox{$F_0/m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hányados). Az illesztés alapján határozza meg ezeket a paramétereket és hibájukat. Ezek alapján már meghatározható a jósági tényező is.

5. Szorgalmi feladat: Lebegés vizsgálata

9. ábra

Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinuszhullám szuperpozíciójakor „lebegés” alakul ki (9. ábra). Ha $\setbox0\hbox{$t_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi $\setbox0\hbox{$t_B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája $\setbox0\hbox{$f_L=\left(f_1-f_2\right)/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$f_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a két összetevő rezgés frekvenciája.

A kényszerrezgés bekapcsolásakor az állandósult tag mellett egy darabig megfigyelhető a csillapított rendszer idővel elhaló saját rezgése is. A differenciálegyenlet megoldása tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló mindkét frekvenciát. A tranziens rezgés körfrekvenciája $\setbox0\hbox{$\omega’$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, az állandósulté pedig $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfrekvenciája $\setbox0\hbox{$\omega’$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közelében van, és a csillapítás elég kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik.

Szerelje le újra a csillapító mágnespofákat és állítsa be pontosan a mérőrúd helyzetét. Határozza meg a rendszer sajátfrekvenciáját! (A 2. méréshez hasonlóan használja a készülék kijelzőjén a PERIOD állást! $\setbox0\hbox{$f_0=1/T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) Állítsa a kényszerkeréken az amplitúdót 2 mm-re! Kapcsolja be a kényszermozgást és szabályozza annak frekvenciáját úgy, hogy 0,1 Hz-cel legyen alacsonyabb, mint $\setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$! Jegyezze fel mindét frekvencia értékét és kapcsolja ki a kényszert! Várjon, amíg a mérőrúd megáll! Állítsa a funkciókapcsolót AMPL. állásba.

Ábrázolja az amplitúdót az idő függvényében! Határozza meg a burkoló szinuszgörbe periódusidejét és frekvenciáját!

• Vesse össze az elmélet alapján várható értékekkel!
• Akkor kap szép lebegést, ha kicsi a csillapítás (leszedett mágnespofák, jól beállított mérőrúd (nem súrlódik).

FIGYELEM! A második alkalomra az eddigi feladatok előzetes kiértékelését el kell végezni és meg kell mutatni a mérésvezetőnek.

FELADATOK MÁSODIK ALKALOMMAL

A méréshez rendelkezésre álló eszközök

13. ábra

14. ábra

• Általános megjegyzések:
  • A méréshez szükséges alkatrészek egy átlátszó plexidobozban találhatók, banánhüvelyes kivezetésekkel. Az alkatrészek körülbelüli értékei a dobozról leolvashatók, illetve a mellékelt lapon is megtalálhatók.
  • Az egyes mérési feladatok elvégzésekor azokban a frekvenciatartományokban, ahol jelentős a kimenő jel változása, sűrűbben vegyen fel mérési pontokat!
  • Az oszcilloszkópot csak esetleges ellenőrzésre használja, a frekvenciákat és a feszültségeket a digitális műszerekkel kell mérni.

1. Mérje meg a dobozban (13. és 14. ábra) található $\setbox0\hbox{$R_1\dots R_7$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ellenállások értékét valamint a tekercsek $\setbox0\hbox{$R_{L1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$R_{L2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ohmos ellenállását multiméterrel!

• Az ellenállásmérést csak hálózatba be nem kötött elemeken szabad végezni!

A kondenzátorok és tekercsek körülbelüli kapacitása és induktivitása (az áramkörök tervezéséhez): $\setbox0\hbox{$C_1\approx 500 \rm{nF}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$C_2=2C_1\approx 1000 \rm{nF}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$L_1\approx 2 \rm{mH}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$L_2\approx 100\rm{mH}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

2. Állítson össze aluláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! Mérje meg a kimenő feszültséget $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében! Ábrázolja a $\setbox0\hbox{$20\lg(U_{ki}/U_{be})$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ – $\setbox0\hbox{$\lg\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényt! Illesszen a mért adatokra az elméletnek megfelelő görbét! Az illesztésből határozza meg a szűrőre jellemző $\setbox0\hbox{$\omega_0 = 1/RC$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ körfrekvenciát, majd ebből az ellenállás ismeretében a kondenzátor (mért) $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapacitását! ($\setbox0\hbox{$U_{be} \approx 1{\rm V}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ legyen!)

• A multiméterekkel mérhető frekvenciatartomány: 5 Hz – 100 kHz. Az $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és (névleges) $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékeket úgy kell kiválasztani a panelen lévők közül, hogy $\setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lehetőleg ennek a tartománynak a közepe táján (0,5-1 kHz körül) legyen. Figyelem! A képletekből $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t számolunk, de a műszerek $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-et mérnek!
• A mérési naplóban írja le, hogy milyen elemeket használt fel a kapcsolás összeállításához! Válaszát számítással indokolja.
• Mivel az eredményeket logaritmikus skálán fogja ábrázolni, érdemes nagyjából logaritmikusan egyenletes sűrűséggel felvenni az adatokat. Pl.: 5 Hz, 10 Hz, 20 Hz, 50 Hz, 100 Hz, ...

3. Állítson össze felüláteresztő szűrőt kondenzátor felhasználásával! A feladatokat az 2. pont szerint végezze el!

• Vegye észre, hogy az alul- és felüláteresztő szűrő ugyanaz a kapcsolás, csak az egyiknél az ellenálláson, a másiknál a kondenzátoron mérjük a kimenő feszültséget. Mivel három műszer van, az egyikkel a bemenő feszültséget ellenőrizze, a másik kettővel pedig egyszerre lehet mérni az ellenálláson és kondenzátoron eső feszültséget, így a két karakterisztika egyszerre felvehető.

4. Állítson össze soros rezgőkört! $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ külön elemként legyen bekötve, mert a kör áramát az ellenálláson eső feszültségből fogja meghatározni! A frekvencia függvényében mérje meg $\setbox0\hbox{$U_R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$U_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, és $\setbox0\hbox{$U_C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékeit! Számítsa ki és ábrázolja a körben folyó $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramot és a $\setbox0\hbox{$Z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ eredő impedanciát $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ függvényében. A mért adatokra illesszen megfelelő függvényeket, és az illesztésből határozza meg $\setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t. Az eredmény (és a korábban megmért $\setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, $\setbox0\hbox{$R_L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékek) alapján határozza meg a tekercs $\setbox0\hbox{$L$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ induktivitását!

• Melyik ellenállást célszerű választani az RLC-kör összeállításához, ha azt szeretné, hogy a rezonanciagörbe minél élesebb legyen? Válaszát indokolja!
• Az illesztésnél vegye figyelembe a tekercs (korábban megmért) ohmos ellenállását is!

5. Végezze el az előző mérést egy nagyobb sorba kötött ellenállással is! Végezze el most is az illesztést! Ábrázolja a két mérésnél kapott $\setbox0\hbox{$I(\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ rezonanciagörbéket közös grafikonban!

Vissza a Fizika laboratórium 1. tárgyoldalára.