Fotoeffektus vizsgálata uj

A mérés célja:

• Igazolni, hogy a fotoelektronok kinetikus energiája, illetőleg a vele arányos lezáró feszültség független a fény intenzitásától,
• a $\frac{h}{e}$ arány meghatározása méréssel.

Ennek érdekében:

• Megmérjük egy vákuumfotodióda lezárási feszültséget
  • különböző intenzitású fénynél
  • különböző hullámhosszú fénynél

Elméleti összefoglaló

A fotoeffektus

A külső fényelektromos hatás alapjelensége: ha egy fémlemezre fény esik, a lemezből elektronok lépnek ki. E jelenség vizsgálata néhány olyan eredményre vezetett, melyeket a fény folytonos hullámelméletével nem lehet megmagyarázni. Ezek a következők:

• Az elektronok csak akkor lépnek ki, ha a fény frekvenciája nagyobb egy, az illető fémre jellemző határfrekvenciánál. A klasszikus szemlélet szerint azonban a $W = konst\cdot\Phi$ feltételnek megfelelő sugárzási intenzitás minden frekvencián biztosítható.
• Megfelelő fényfrekvencia esetén az elektronok kilépése akármilyen gyenge fény hatására azonnal (10^-9 s-on belül) bekövetkezik. (A kísérletek során használt fémeknél a kilépési munka 10^-19 J nagyságrendű, az elektron által „lefedett” terület, ahonnan energiát gyűjthet ~ 10^-19m² , egy átlagos megvilágítást feltételezve, ami $~10 ^{-5} \frac{W}{m^2}$, a $\Delta E=\Phi \cdot A \Delta t$ alapján 10⁵ s , ~ 28 óra lenne a folyamathoz szükséges idő.)
• A kilépő elektronok száma arányos a megvilágítás erősségével, de energia eloszlásuk független attól. A maximális mozgási energia a fény frekvenciájának lineáris függvénye, a klasszikus számítások szerint ez nem lineáris.

E kvalitatív tapasztalatok kvantitatív magyarázatát Albert Einstein adta meg azzal, hogy Planck kvantumhipotézisét a fényjelenségekre is kiterjesztette. Feltételezte, hogy a Planck-féle $h \cdot f$ energiacsomag nem csak a sugárzó oszcillátor diszkrét energiaváltozásait adja meg, hanem a sugárzási térben is $h \cdot f$ adagokban van jelen az energia. A fényenergia diszkrét energiaadagokban terjed. Ezek a fotonok. Tehát egy foton energiája:

 

$\[E = h \cdot f \]$

(1)

ahol $\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Planck-féle állandó, $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a sugárzás– esetünkben a fény – frekvenciája. Az elektronok kilépése csak akkor indulhat meg, ha a beeső fotonok energiája legalább az elektronok kötési energiájával egyenlő. A kilépés feltétele tehát:

 

$\[ h \cdot f \geq W = h \cdot f_{0} \]$

(2)

ahol $\setbox0\hbox{$W$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektron kötési energiája, az úgynevezett kilépési munka, $\setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a fémre jellemző küszöbfrekvencia. Általános esetben:

 

$\[ h \cdot f = W + \frac{1}{2} m v^2 \]$

(3)

vagyis a foton energiatöbblete a kilépő elektron kinetikus energiájaként jelenik meg. Nagyobb fényintenzitás több fotont, tehát több kilépő elektront jelent. Ilyen módon magyarázatot nyert a külső fényelektromos jelenség valamennyi felsorolt sajátsága.

1.ábra

A fényelektromos jelenség egyik legelterjedtebb gyakorlati alkalmazása a fotocella, ami egy légritkított üvegcső, mely egyik oldalán a belső felületére felvitt fémréteg képezi a katódot, a vele szemben elhelyezett dróthurok pedig az anód (1.ábra). Mint a (3) egyenletből látható, a határfrekvencia esetétől eltekintve a kilépő elektronok kinetikus energiával is rendelkeznek, ami feszültségmentes tér esetén elegendő ahhoz, hogy az anódig repüljenek, ezért 0 anódfeszültség esetén is mérhető bizonyos – igen kicsi – áram.

Ahhoz, hogy a fotocella tetszőleges megvilágítás ellenére teljesen árammentes legyen, akkora ellenteret kell az anód és a katód között létesíteni, mely a legnagyobb energiájú elektronokat is meggátolja az anód elérésében. Az árammentesség feltétele tehát:

 

$\[ e U_{0} = \frac{1}{2} m v^2_{max} \]$

(4)

ahol $\setbox0\hbox{$e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektron töltése, $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a lezáró feszültség. A fotocella anódja és a katódja tekinthető egy kapacitásnak, mely a fotoáram hatására elektromosan feltöltődik (ha a kimenetei "lebegnek", azaz nem zárjuk rövidre egy véges ellenállással) mindaddig, amíg potenciálja el nem éri az $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lezáró feszültséget. Erre az $\setbox0\hbox{$U_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültségre a (3) és (4) egyenletekb a következő kifejezést kapjuk:

 

$\[ U_{0} = \frac{h}{e} f - \frac{W}{e} \]$

(5)

A fotocellát különböző, jól meghatározott frekvenciájú fénnyel megvilágítva a $\setbox0\hbox{$f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ - $\setbox0\hbox{$U_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ grafikonon egy egyenest kapunk, melynek meredeksége a Planck-állandó ($\setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és az elektron töltésének($\setbox0\hbox{$e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) hányadosa ($\frac{h}{e}$).

Fénykibocsátó dióda (LED)

A fotoeffektus tulajdonságaiból adódik, hogy ha a fentia méréshez monokromatikus fényt kell alkalmazni, ami fénykibocsűjtó diódákra, azaz a LED-ekre jó közelítéssel teljesül. A LED-ek, ahogy a nevük is mutatja olyan félvezető pn átmenetek, melyek fotonokat képesek kibocsájtani, tehát egy, a fotoeffektussal ellentétes folyamat megy bennük végre, amiben a pn átmeneten áthaladó, majd rekombinálódó elektronok energiát adnak le egy foton kibocsátása formájában.

Félvezető p-n átmenet tulajdonságai - e/k állandó meghatározása

Félvezetőkben az elektromos áramot elektronok és lyukak (elektronhiányok) mozgása eredményezi. Bizonyos adalék anyagok (foszfor, arzén) hatására a félvezetőkben az elektronok annyira túlsúlyba kerülnek a lyukakhoz képest, hogy gyakorlatilag csak elektronvezetés alakul ki: az ilyen félvezetőt n típusúnak nevezik. Más adalékok (bór, gallium, alumínium) viszont a félvezetőben lyukvezetést hoznak létre: az ilyen félvezetők a p típusú félvezetők.

Ha egy p típusú és egy n típusú félvezetőt érintkezésbe hozunk (ez az ún. p–n átmenet), akkor az érintkezési helyen kontaktpotenciál jön létre, mert energetikai okok miatt az n típusú részből elektronok mennek át a p típusú részbe (így az negatív többlettöltésre tesz szert), a p típusú részből viszont lyukak mennek át az n típusú részbe (így abban pozitív többlettöltés jön létre). A kontaktus létrejöttének pillanatában tehát egy, a p rétegből az n rétegbe irányuló kezdeti áram folyik. Az áram hatására a potenciálkülönbség nő, ami egyre jobban akadályozza a további töltésátmenetet, ezért egy bizonyos feszültség elérése után a p→n irányú áram megszűnik, és kialakul egy állandósult kontaktpotenciál. Ezzel egyidejűleg a kontaktus két oldalán létrejön egy olyan tartomány, amelyben nincsenek mozgásképes töltéshordozók. A töltéshordozók áthaladását (a p→n irányú áramot) ezen a kiürített tartományon át a létrejött $\setbox0\hbox{$U_D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú potenciálgát akadályozza, ezért külső feszültség nélkül a töltéshordozók csak a termikus mozgás segítségével, véletlenszerűen jutnak át.

Eléggé általánosan igaz, hogy a termikusan aktivált folyamat gyakorisága az $e^{- \frac{E}{k T} }$ faktorral arányos, ahol $\setbox0\hbox{$E$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a továbbhaladáshoz szükséges energia, $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a Boltzmann-állandó, $\setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig az abszolút hőmérséklet. Ennek megfelelően annak gyakorisága, hogy egy lyuk p→n irányban vagy egy elektron n→p irányban az $\setbox0\hbox{$U_D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ magasságú potenciálgáton átugrik, az $\setbox0\hbox{$e^{- \frac{e U_D}{k T} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ faktorral arányos ($\setbox0\hbox{$e$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektron töltésének nagysága). Ez egyben azt is jelenti, hogy a termikus aktiváció segítségével a potenciálgáton át egy p→n irányú, ún. injektált áram folyik:

 

$\[ I_I = C e^{-\frac{e U_D}{kT} } \]$

(1)

A kiürített tartományon át ugyanakkor létrjön egy ellenkező irányú áram is, ami annak következménye, hogy a termikus mozgás (termikus aktiváció) révén, ha kis számban is, de mindig keletkeznek töltéshordozók, így – többek között – a kiürített réteg n oldalán lyukak, p oldalán pedig elektronok jelennek meg. Mivel a kontaktpotenciál ezeknek a mozgását a kontaktuson át éppen elősegíti, ily módon egy n→p irányú, ún. telítési (szaturációs) áram, $I_s$ jön létre. Ez az áram nem függ a kontaktuson kialakult feszültségtől, csak a termikusan keltett töltéshordozók mennyiségétől. Külső feszültség nélküli (egyensúlyi) állapotban a két áram egymást kiegyenlíti, vagyis ekkor $\setbox0\hbox{$I_I {{=}} I_s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$.

Ha a p–n átmenetre $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ külső feszültséget kapcsolunk, akkor ez módosítja a potenciálgát magasságát, ezért megváltoztatja az injektált áramot, amely most

 

$\[ I_I = C e^{-\frac{e\left( U_D - U \right)}{kT} } \]$

(2)

Itt $\setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ állandó, az $\setbox0\hbox{$U$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ feszültség pedig negatív, ha a feszültség a kontaktpotenciállal egyirányú, és pozitív, ha azzal ellentétes. Mivel $\setbox0\hbox{$U {{=}} 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén $\setbox0\hbox{$I_I{{=}}I_s{{=}}Ce^{-\frac{eU_D}{kT} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$,

 

$\[ C=I_se^{\frac{eU_D}{kT} }, \]$

(3)

amivel az injektált áramra azt kapjuk, hogy

 

$\[ I_I=I_se^{\frac{eU}{kT} }. \]$

(4)

A kontaktuson átfolyó $\setbox0\hbox{$I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ eredő áram a feszültségfüggő $\setbox0\hbox{$I_I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ injektált áram és a feszültségtől független $\setbox0\hbox{$I_S$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ telítési áram különbsége:

 

$\[ I=I_s\left(e^{\frac{eU}{kt} }-1 \right). \]$

(5)

Ez az összefüggés azt az ismert tapasztalatot tükrözi, hogy egy ilyen kontaktus különböző irányban előfeszítve különböző nagyságú áramot bocsát át, más szóval egyenirányít. Az ilyen egyenirányító p–n átmenetet félvezető diódának nevezik.

LED nyitófeszültségének meghatározása

Diffrakció

A tapasztalat szerint egy akadály mellett elhaladó fénysugár az akadályoknál részben elhajlik, behatol az árnyéktérbe is. Ez a diffrakció (fényelhajlás) jelensége. A jelenséget a "Huygens-Fresnel-elv" segítségével lehet meg-magyarázni: a Huygens-Fresnel-elv alapján a hullámfelület minden pontja elemi hullámforrásnak tekintendő, és ezeknek az egymással koherens elemi gömbhullámoknak az interferenciája szabja meg a tér egy pontjában a fényhatást.

4. ábra

Példaképp vizsgáljuk meg az optikai rés esetét. A rés egy átlátszatlan felületen kialakított keskeny, a fény hullámhosszával összemérhető szélességű, hosszú nyílás. Világítsuk meg a rést egy koherens, párhuzamos fénynyalábbal (legegyszerűbben egy lézer fényével). A fény a résen áthaladva elhajlik. A réstől távol elhelyezett ernyőn a résből kiinduló elemi hullámok interferenciája alakítja ki a diffrakciós képet. A diffrakciós képet – az intenzitást a hely függvényében - egy fotodióda mozgatásával könnyen meg lehet mérni (4. ábra).

A k hullámszámvektor irányában a relatív intenzitást a Fourier-integrál segítségével lehet kiszámítani. Az intenzitás arányos az integrál abszolút értékének négyzetével:

$\[ I(\pmb{k}) = \left \lvert \int_{-\infty}^{\infty} e^{\pmb{kx}i}f(\pmb{x})d\pmb{x} \right \rvert^2. \]$

A kifejezésben

$\[|\pmb{k}| = k = \frac{2\pi}{\lambda},\]$

$\[\pmb{kx} = kx \sin \theta \approx kx\theta \; (\theta\ll1), \]$

$\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{d} \; \mathrm{ha} \; x \in \left[-\frac{d}{2};\frac{d}{2}\right] \\ 0\; \mathrm{ha} \; x \notin \left[-\frac{d}{2};\frac{d}{2}\right]. \end{cases} \]$

Felhasználva, hogy

$\[ y = D \mathrm{tg} \theta \approx D\theta \; (\theta<<1), \]$

és elvégezve az integrálást

$\[ I(y) = \left( \frac{\lambda D}{\pi yd} \right)^2\sin^2\left( \frac{\pi yd}{\lambda D} \right).\]$

5. ábra

A diffrakciós kép az 5. ábrán látható. A vízszintes tengely $\setbox0\hbox{$\frac{yd}{\lambda D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ egységekben van skálázva. Az intenzitás az $\setbox0\hbox{$y_z=\pm\frac{\lambda D}{d}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ helyen válik először zérussá. Az két zérushely közti távolság ($\setbox0\hbox{$2y_z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) és a $\setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolság mérésével a $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hullámhossz ismeretében a $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ résszélesség, $\setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ismeretében pedig a $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ hullámhossz meghatározható.

Meglepő módon a rés „inverzének”, egy vékony akadálynak (pl. hajszál) a diffrakciós képe ugyanilyen, így ezzel a módszerrel vékony drótok, hajszálak, stb. átmérője is mérhető. Bonyolultabb optikai struktúrák (például két vagy több párhuzamos rés) esetén a diffrakciós kép hasonlóan kiszámítható, csak $\setbox0\hbox{$f(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kifejezését kell ennek megfelelően módosítani.

A diffrakciós kép alapján következtetni lehet az optikai struktúrára. Ha az intenzitás kifejezésében ismernénk az abszolútértékjelen belüli kifejezést, akkor inverz Fourier-transzformációval meg lehetne határozni a diffrakciós képet létrehozó struktúrát. A mérés alapján azonban csak az intenzitást (az abszolút érték négyzetét) ismerjük, így nem teljesen egyértelmű a számítás.

A másik lehetőség az, hogy a diffrakciós kép alapján megsejtjük (vagy más információk alapján tudjuk), hogy körülbelül milyen optikai struktúra hozta létre a diffrakciós képet (például néhány egyforma, párhuzamos rés); majd paraméteresen kiszámítjuk a feltételezett struktúra diffrakciós képét, végül a paramétereket addig változtatjuk, amíg a számított és a mért diffrakciós kép a legjobban egyezik egymással.

Méréshez használt eszközök (2.ábra)

• Mérőegység (a fotodiódát és az elektronikát tartalmazó doboz)(3.ábra és 4.ábra)
• Higanygőzlámpa, hűtő- és védőburában
• Digitális feszültségmérő (multiméter)
• Lépcsős szürke fényszűrő, áteresztőképessége:100, 80, 60 40, 20%
• Sárga és zöld színszűrők
• Optikai rács és lencse együttese, a továbbiakban együtt: rács-lencse
• Stopperóra.

A mérőberendezés

A rács a higanygőzlámpa fényét monokromatikus spektrumvonalakra bontja. Mind az első, mind a második rendben jól megfigyelhetők az alábbi spektrumvonalak:

szín	hullámhossz
sárga	578 nm
zöld	546 nm
kék	436 nm
ibolya1	405 nm
ibolya2	365 nm

Ha a zöld vagy a sárga vonallal dolgozunk, használjuk a megfelelő színszűrőt, hogy a rácseltérítés folytán magasabb eltérítési rendekből átfedő ultraibolya fényt kiszűrjük!

2.ábra: A mérési elrendezés. Bal oldalon a fotocella háza, a fehér felületen jól látható a belépő rés. Jobb oldalon a higanygőz lámpa háza és az állítható pozíciójú rács-lencse.

3.ábra: A fotocella háza a kezelői felülettel és a belépő réssel.

4.ábra: A nyitott fotocellaház. Középen a fotocella fehér árnyékoló csőben. Csak a két, téglalap alakú fekete felületen jut fény a katódra.

A mérés menete

• Kapcsolja be a higanygőzlámpát. Hagyja legalább 10 percig bemelegedni. Ezalatt ellenőrizze, hogy a fényforrás, a rács-lencse és a dióda egy magasságban legyenek. Kapcsolja be a mérő egységet, és az erre szolgáló (kék) csatlakozókon feszültségmérővel ellerőrizze a tápfeszültséget adó telepek feszültségét. (Legalább $\pm$6 V szükséges a helyes működéshez. A készülék azért elemes (akkumulátoros) táplálású, mert ez biztosítja a leginkább zajmentes tápellátást.
• A bemelegedési idő után a lámpa egy kiválasztott vonalát a mérőegység forgatásával állítsa a fehér takaró lemezen lévő nyílásra. Forgassa el a mérőegységen lévő fényárnyékoló hengert, hogy láthatóvá váljék a doboz belsejében a fotodióda előtt lévő maszk és rajta az ablak. Erre az ablakra fókuszálja a spektrumvonalat a rács-lencse mozgatásával. Győződjön meg róla, hogy ugyanaz a spektrumvonal fókuszálódik a belső maszk nyílásán, mint amelyik a külső lemez nyílására esik! Ezt a mérőegység kis elforgatásával lehet szabályozni. Ezután fordítsa a helyére a fényárnyékoló hengert.
• Minden mérés előtt nyomja be a mérőegységen levő piros nullázó gombot! Ezzel kisüti az elektronikai rendszerben keletkezett feltöltődést; így biztosíthatjuk azt, hogy csak a kiválasztott spektrumvonal által keltett fotóáram következtében létrejött potenciált mérjük.

Mérési feladatok

1. Helyezze a lépcsős intenzitásszűrőt a fehér takaró lemez nyílása elé! A szűrő mágnesesen rögzíthető. Amikor színszűrőt is használ, azt erősítse a maszkra, és a színszűrő elé helyezze a lépcsős szűrőt. Csatlakoztassa a feszültségmérőt a mérőegység kimenetére. (2V vagy 20 V-os méréshatárt használjon.) Az eredményt mV pontosan olvassa le.  A sárga, zöld és kék színeknél mérje meg a lezáró feszültséget a lépcsős szűrő valamennyi fokozatában! A 20%-os fokozatnál a feszültség beállása már elég lassú, ekkor a következőképpen járjon el: előbb hagyja 1-2 percig állandósulni az értéket, majd nullázzon, és az imént elért értéknél 2mV-al kisebb feszültség eléréséig mérje a beállási időt. Jegyezze fel a feszültséget és az időt is és ismételje meg a mérést még négyszer. A sárga és a zöld színnél ne felejtse el használni a megfelelő színszűrőt! Az eredményeket táblázatban rögzítse. Mire lehet következtetni belőlük?
2. Mérje meg mind az öt hullámhossznál a beállási időt. A beállási időt az előző pontban leírt módszerrel állapítsa meg. A sárga és a zöld színnél ne felejtse el használni a megfelelő színszűrőt! A lépcsős szűrő használatával csak azokat a beállításokat mérje végig, amikor a beállási idő legalább négy másodperc.Végezze el a mérést a rács másodrendbeli vonalai közül a három legjobban látszóval is. Rögzítse táblázatban az eredményeit. Milyen különbség van az első- és másodrendben végzett mérések között? Miért?
3. Ábrázolja grafikusan a 2. feladatban kimért $\setbox0\hbox{$U_0(f)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ kapcsolatot! Határozza meg $\frac{h}{e}$ értékét és a kilépési munkát!