Optikai heterodin detektálás

Szerkesztés alatt!

Elméleti összefoglaló

A hullám fogalma – a fény mint hullám

A fény, mint ismeretes, az elektromágneses tér hullámjelensége. Jellemző rezgési frekvenciája a 10¹⁴ Hz körüli tartományba esik. Az a fizikai mennyiség, amelynek terjedését egyszerűen fénynek nevezzük, az elektromos és mágneses térerősség. Tehát a fényben az elektromos és a mágneses tér változásai terjednek. Tekintsünk egy, a tárgyalás szempontjából egyszerű, lineárisan polarizált harmonikus síkhullámot. A síkhullám elnevezés onnan ered, hogy az azonos térerősségű pontok egy adott pillanatban egy síkon helyezkednek el. A síkhullám kifejezése:

$\[E\left( {{\bf{r}},t} \right) {{=}} {E_0}\cos \left( {\omega t - {\bf{kr}}} \right)\]$

ahol E₀ az elektromos hullám amplitúdója, k a hullámszám vektor, $\setbox0\hbox{$\omega {{=}} 2\pi \cdot f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektro-mágneses hullám körfrekvenciája, „f” pedig a frekvenciája. Egyszerű megfontolásokból a hullám terjedési sebessége k-val és $\setbox0\hbox{$\omega $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-val kifejezhető:

 

$\[{{c = \frac{\omega }{\left| k \right|}}}\]$

(2)

A „k” helyett a gyakorlatban $\setbox0\hbox{$\lambda {{=}} \frac{2\pi}{k}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t szokás használni, amelyet hullámhossznak nevezünk. Így az egyenlet ismertebb alakjában $\setbox0\hbox{$c {{=}} \lambda \cdot f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az (1) egyenletből látszik $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szemléletes jelentése is: azt a k vektor irányában mért legkisebb távolságot jelenti, amely szerint a térerősség periodikusan változik.

Doppler-effektus

Tegyük fel, hogy az (1) szerinti monokromatikus síkhullámot egy „K” koordináta-rendszerben írtuk fel. Ha ezt a síkhullámot a K-hoz képest v(t) pillanatnyi sebességgel mozgó K' rendszerből figyeljük, akkor a hullám K-beli frekvenciájától különböző frekvenciájú hullámot fogunk észlelni. Válasszuk úgy a K és K' rendszert, hogy -ban az origók egybe essenek. Ekkor a K-beli koordinátát K'-beli koordinátákkal kifejezhetjük:

$\[{\bf{r}} = \int\limits_0^t {{\bf{v}}(\tau ){\rm{d}}\tau } + {\bf{r'}}\]$

(3)

Ezt beírva az (1) egyenletbe, a hullám K'-beli alakját nyerjük:

$\[E\left( {{\bf{r'}},t} \right) = {E_0}\cos \left( {\varphi ({\bf{r'}},t)} \right) = {E_0}\cos \left( {\omega t - {\bf{k}} \cdot \int\limits_0^t {{\bf{v}}(\tau ){\rm{d}}\tau } - {\bf{k}} \cdot {\bf{r'}}} \right) \]$

(4)

Definíció szerint a körfrekvencia a fázis ($\setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) idő szerinti parciális deriváltja:

$\[\omega '(t) \equiv \frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} = \omega - {\bf{k}} \cdot {\bf{v}}(t)\]$

(5)

tehát a két rendszer relatív sebességétől függően a körfrekvencia megváltozik, mégpedig a két vonatkoztatási rendszer relatív sebességének pillanatnyi értéke szerint. (Az egyszerűség kedvéért v és ω időfüggését a továbbiakban nem jelöljük.) Ezt a jelenséget felfedezőjéről Doppler-effektusnak nevezik. A jelenség az akusztikában már XIX században ismert és igazolt volt. (A fenti eredmény csak közelítő jellegű, mivel a Galilei-féle relativitás elvének megfelelő transzformáció, amellyel az egyik koordináta rendszerből áttérünk a másikba, csak a fénysebességhez képest kis v sebességek esetében igaz. A pontos tárgyalásnál a Galilei-féle relativitást fel kell cserélni az Einstein-féle relativitás elvével és ennek megfelelően a két rendszer transzformációját Lorentz-transzformációval kell leírni, ld. a függeléket. A gyakorlatban szinte mindig teljesül az a feltétel, hogy v << c, ahol „c” a fénysebesség, ezért a kapott eredmények nagyon nagy pontossággal érvényben maradnak.) Felhasználva a

 

$\[{{k = \frac{2\pi }{\lambda }}}\]$

(6)

egyenleteket, a körfrekvenciáról áttérve frekvenciára kapjuk:

$\[{{f' = f - \frac{\left| {\bf{v}} \right|}{\lambda }\cos \vartheta}}\]$

(7)

ahol $\setbox0\hbox{$\cos \vartheta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a k és v vektor által bezárt szög koszinusza. Speciálisan, ha k és v azonos irányú, akkor $\setbox0\hbox{$\cos \vartheta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , így:

$\[f' = f - \frac{{\left| {\bf{v}} \right|}}{\lambda }\]$

(8)

és ha ellentétes irányúak, akkor $\setbox0\hbox{$\cos \vartheta {{=}} -1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , melyből:

$\[f' = f + \frac{{\left| {\bf{v}} \right|}}{\lambda }\]$

(9)

Mérési feladatok

• Optikai heterodin detektálás és alkalmazásai