Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás
Karakterisztikus méretskálák
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől.
Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszettel és fordítottan arányos a hosszával:
Az Ohm törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti karakterisztikus idő alatt impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség:
Az elektronok két ütközés között eltelt momentumrelaxációs idő alatt utat tesznek meg, ahol a Fermi sebesség. A Drude modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete () kisebb mint az ütközések skáláját jellemző momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk diffúzív vezetékeket (), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba, illetve ballisztikus nanovezetékeket (), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem.
ÁBRA
A két határeset között lényeges különbséf jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig a ?? ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától.
Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az fázisrelaxációs hossz, akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes interferencia-jelenségeket mutatnak, melyeket a ?? fejezetben szemléltetünk.
További érdekes jelenségeket tapasztalhatunk, ha a vezeték keresztmetszete a az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, . Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
Kvantumvezeték ellenállása
Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ideális kvantumvezetékkel, melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra).
Hard wall határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye:
azaz hosszirányban () síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
ahol az -irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, pedig a kvantált keresztmódust (-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3a ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. vezetési csatornákon) keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát -el jelöljük.
Ha a két elektrontartály közé feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3b ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív -val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek -vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív -val rendelkező állapotok. Áramot csak a ás kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív -jú állapotok szállítanak, hiszen kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.
Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az energiasávban található elektronok sűrűségét a következőképpen írhatjuk:
A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik.
Egy atomi méretű kontaktust modellezhetünk úgy, mint két ideális kvantumvezetéket, melyeket egy szórási tartomány köt össze. A bal oldali -edik vezetési csatornából a jobb oldali -edik csatornába való átjutáshoz hozzárendelhetünk egy transzmissziós valószínűséget. A rendszer vezetőképességét ezen valószínűségekből a Landauer formula segítségével számolhatjuk: \begin{equation} G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n,m=1}^{M}T_{nm}. \end{equation} Megfelelő bázisba való áttéréssel elérhetjük, hogy a bal oldali -edik módus csak a jobb oldali -edik módusba tudjon szóródni. Ebben a \emph{sajátbázisban} a rendszer darab egymástól független egycsatornás vezetéknek tekinthető. Minden csatornához hozzárendelhetünk egy \emph{transzmissziós sajátértéket}, melyekkel a vezetőképesség \begin{equation} G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n=1}^{M}\tau_{n} \end{equation} alakban írható. Ezen transzmissziós sajátértékek halmaza jól jellemzi a kontaktus vezetési tulajdonságait, így a értékek halmazát gyakran ``mezoszkópikus PIN-kódnak is nevezik \cite{agrait03}.
- X irányban: síkhullám terjedés
- Y irányban kvantált keresztmódusok
- A különböző keresztmódusokhoz tartozó 1D parabolikus diszperziók: vezetési csatornák
- Fermi energiát metsző diszperziók: nyitott csatornák
- Ha feszültséget adunk a két elektróda közé akkor a bal oldali elektródából jövő állapotok () eV-al magasabb energiáig lesznek betöltve mint a jobb oldali elektródából jövők ()
Egy vezetési csatornában folyó áram: (Ideális elektrontartály!!!)
A csatornák nem tudnak egymásba átszóródni, mert ez sértené az impulzusmegmaradást, így függetlennek tekinthetjük őket.
Landauer formula
Egycsatornás vezeték egy szórócentrummal
Két ideális kvantumvezeték kvantált keresztmódusokkal, köztük egy transzmissziós mátrix-szal leírható keskeny csatorna:
A vezetőképességet a Landauer formula adja meg:
- Megfelelő sajátbázisban a vezetőképesség transzmissziós sajátértékek összege, ún. „mezoszkópikus PIN kód”.
Az elektronok részecsketermészete "sörét" zaj
- Áram mérésekor vagy teljesen transzmittált, vagy teljesen reflektált elektront detektálunk, "fél" elektront soha.
- Időegység alatt transzmittált elektronok számának várható értéke:
de vagy kivételével véges szórást is tapasztalunk:
Vezetőképesség kvantálás kvantum pont-kontaktusban
Kvantum pont-kontaktus: két elektródát egy keskeny, hullámhosszal összemérhető szélességű csatorna köt össze, melynek a szélességét középen egy kapuelektródára tett feszültséggel változtathatjuk.
- A kontaktus közepe felé haladva ez elektron keresztirányú energiája nő, hosszirányú kinetikus energiája pedig csökken.
- Adiabatikusan változó csatornaszélességnél a csatornák nem tudnak egymásba szóródni, függetlennek tekinthetők.
- A kontaktus közepénél a legtöbb csatorna keresztirányú energiája nagyobb mint a Fermi energia, ezek a módusok visszaverődnek a kontaktusról.
- A kontaktus közepén is nyitott csatornák T=1 valószínűséggel átjutnak, hiszen a visszaverődés jelentős impulzusváltozással járna.
Nyitott csatornák száma a kontaktus közepén:
Vezetőképesség kvantálás!