Transzport nanovezetékekben: Landauer-formula, vezetőképesség-kvantálás
Tartalomjegyzék |
Karakterisztikus méretskálák
Egy nanométeres skálájú objektum vezetési tulajdonságai több szempontból eltérnek a makroszkopikus skálán megszokott jelenségektől.
Makroszkopikus vezetékek ellenállása jól leírható az Ohm-törvénnyel: az áramsűrűség a fajlagos vezetőképesség és az elektromos tér szorzata, a vezetőképesség pedig arányos a vezeték keresztmetszettel és fordítottan arányos a hosszával:
Az Ohm törvény egyszerűen magyarázható az elektromos vezetés Drude modelljével. Az elektronok a kristályrácsban két ütközés közötti karakterisztikus idő alatt impulzust nyernek, majd a véletlen irányba történő szóródás hatására ezt elveszítik. Ennek megfelelően elektronsűrűség esetén az az áramsűrűség illetve fajlagos vezetőképesség:
Az elektronok két ütközés között eltelt momentumrelaxációs idő alatt utat tesznek meg, ahol a Fermi sebesség. A Drude modell értelmét veszti ha a vizsgált vezeték karakterisztikus mérete () kisebb mint az ütközések skáláját jellemző momentumrelaxációs szabadúthossz. Ezen feltétel alapján megkülönböztethetünk diffúzív vezetékeket (), melyekben a elektronok sokszor szóródnak mialatt eljutnak az egyik elektródából a másikba, illetve ballisztikus nanovezetékeket (), melyekben az elektronok csak a vezeték falán szóródnak, de a vezetéken belül nem.
1a. ábra - Diffúzív vezeték | 1b. ábra - Ballisztikus vezeték |
A két határeset között lényeges különbséf jól szemléltethető az ellenállás hosszfüggésével: míg egy diffúzív vezeték ellenállása nő a vezeték hosszának növelésével, addig a ?? ábrán szemléltetett ballisztikus vezetékbe bejutó elektronok visszaszórás nélkül átjutnak a túloldalra, azaz az ellenállás nem függ a vezeték hosszától.
Az elektronok hullámtermészetét figyelembe véve azt is érdemes megvizsgálni, hogy a vizsgált rendszer méretének skáláján megőrződik-e az elektronhullámok fázisinformációja. Ha a minta mérete kisebb mint az fázisrelaxációs hossz, akkor a vezetési tulajdonságok makroszkopikus skálán nem tapasztalható érdekes interferencia-jelenségeket mutatnak, melyeket a ?? fejezetben szemléltetünk.
További érdekes jelenségeket tapasztalhatunk, ha a vezeték keresztmetszete a az elektronok Fermi-hullámhosszával összemérhetővé válik, . Ezt a határesetet tárgyaljuk az alábbiakban.
Kvantumvezeték ellenállása
Az elektronok hullámhosszával összemérhető vezetékek tulajdonságait vizsgáljuk meg egy egyszerű modellel: két elektrontartályt kössünk össze egy kétdimenziós, párhuzamos falú ideális kvantumvezetékkel, melyben az elektronok szóródás nélkül haladnak (2. ábra).
Hard wall határfeltételt alkalmazva (azaz a bezáró potenciál a vezetéken belül ill. kívül zérus ill. végtelen) egyszerűen felírható az elektronok hullámfüggvénye:
azaz hosszirányban () síkhullám terjedést, keresztirányban pedig kvantált állóhullámokat kapunk. Ennek megfelelően az elektronok energiája:
ahol az -irányú síkhullám terjedéshez tartozó hullámszám, pedig a kvantált keresztmódust (-irányú állóhullámot) jellemzi. Az energiakifejezés a 3a ábrán szemléltetett, egymáshoz képest a keresztirányú energiák szerint eltolt egydimenziós diszperziós relációknak felel meg. Értelemszerűen csak azon módusokon (ún. vezetési csatornákon) keresztül folyhat áram, melyekhez tartozó tartozó keresztirányú energia kisebb az elektródák Fermi energiájánál, azaz a diszperziós reláció metszi a Fermi szintet. Ezen feltételnek megfelelő módusokat nyitott vezetési csatornának nevezzük, a nyitott csatornák számát -el jelöljük.
3a. ábra - Diszperzós reláció | 3b. ábra - Diszperzós reláció a mintára feszültséget kapcsolva |
Ha a két elektrontartály közé feszültséget kapcsolunk akkor a nanovezeték elektronállapotai a 3b ábrán szemléltetett módon töltődnek be: a pozitív -val rendelkező állapotok mind a bal oldali elektródából származnak, így ezek -vel magasabb energiáig vannak betöltve mint a jobb oldali elektródából származó, negatív -val rendelkező állapotok. Áramot csak a ás kémiai potenciál közötti tartományban levő pozitív -jú állapotok szállítanak, hiszen kémiai potenciál alatt a pozitív és negatív irányba haladó állapotok egyaránt betöltöttek, így eredő áramuk zérus lesz.
Egy adott vezetési csatornára az elektronok sebességét, illetve az energiasávban található elektronok sűrűségét a következőképpen írhatjuk:
A vezetékben folyó áram számolásához az elektrontöltés, a sebesség és az elektronsűrűség szorzatát kell képezni, illetve ezt összegezni a különböző vezetési csatornákra:
ahol a kettes szorzó a spin szerinti degenerációnak felel meg. Mivel a sebesség és az elektronsűrűség szorzatában az energiadiszperzió deriváltja kiesik, a kvantumvezeték vezetőképessége egyszerűen a vezetőképesség-kvantum egész számú többszörösének adódik. Érdemes megjegyezni, hogy a hosszirányú irányú transzlációinvariancia miatt az irányú impulzus megmarad, így az egyes csatornák között nem történhet átszóródás, mert az a hullámszám megváltozásával járna, azaz a vezetési csatornák áramjárulékát valóban tekinthetjük egymástól függetlennek.
A fenti számolásban abból indultunk ki, hogy csak az elektródák kémiai potenciálja alatt találunk betöltött állapotokat, azaz zérus hőmérsékletet tételezünk fel. Véges hőmérsékleten a kémiai potenciál szélességű környezetében egyaránt találhatók betöltött és betöltetlen állapotok, az állapotok betöltöttségének valószínűségét a Fermi-függvény írja le:
Az kvantumvezeték belsejében a , bal oldali elektródából származó elektronállapotok betöltöttségét az 1-es elektróda betöltési szám függvénye írja le, míg a állapotok a 2-es elektróda betöltési szám függvényével jellemezhető, ahol és egymáshoz képest energiával eltolt Fermi függvények. Ez a leírás egyben az elektrontartályok tökéletességét is feltételezi, azaz a kvantumvezetékből az egyik elektródába érkező elektronok csak termalizálódás után szóródhatnak vissza a kvantumvezetékbe, így az elektródát elhagyó elektronok valóban az elektróda Fermi-függvénye szerinti energiaeloszlást követik. A fentiek alapján véges hőmérsékleten a vezetékben pozitív illetve negatív irányba folyó áramot a
képletek írják le, azaz az eredő áram:
Mivel integrál tetszóleg hőmérsékleten -vel egyenlő, így egy egycsatornás ideális kvantumvezeték ellenállása tetszőleges hőmérsékleten a vezetőképesség-kvantum.
Landauer formula
Most tekintsük azt az egyszerű modellt, amikor egy egycsatornás, ideális kvantumvezeték közepén egy szórócentrum található, melyen valószínűséggel jutnak át az elektronok. Ebben az esetben az elektródák felől a szórócentrum felé haladó állapotok továbbra is a megfelelő elektródából származnak, és ennek az eloszlásfüggvényét követik (lás a ?? ábrán a és áramkomponenseket). A szórócentrumtól az elektródák felé haladó állapotok viszont kevertek, pl. a áramjáruléknál egyaránt figyelembe kell venni az 1-es elektródából induló és a szórócentrumon reflektálódó, illetve a 2-es elektródából induló és a szórócentrumon transzmittálódó elektronokat.
Zérus hőmérsékleten csak a kémiai potenciál alatti állapotok származhatnak mindkét elektródából, azonban az állapotok teljes árama értelemszerűen zérust ad, hiszen ez annak felel meg, mintha zérus feszültséget kapcsoltunk volna a rendszerre. Így a véges áramért továbbra is állapotok felelnek, melyek csak az 1-es elektródából származhatnak. Így a teljes áram könnyen számolható például a szórócentrum és a 2-es elektróda közötti vezetékdarabban. Itt a energiasávban levő elektronok esetén a korábbiak alapján áramot adnának, ami esetén értelemszerűen a transzmittálódó elektronok hányadával skálázódik, azaz . Így egy egycsatornás, transzmisszós valószínűségű szórócentrumot tartalmazó nanovezeték vezetőképessége:
Vizsgáljuk meg, hogy ez az eredmény érvényes-e véges hőmérsékleten is. A és áramkomponensek kizárólag az 1-es illetve a 2-es elektródából származnak, így a korábbiak alapján egy energiatartományban az áramjárulékuk:
Ha az áramot a szórócentrum és az 1-es elektróda közötti vezetékdarabon akarjuk kiértékelni, akkor szükségünk van a áramjárulékra is, mely valószínűséggel a 2-es elektródából bejövő módus transzmissziójából, valószínűséggel pedig pedig a az 1-es elektródából bejövő módus reflexiójából származik:
így a negatív és pozitív irányba haladó áramkomponensek együttes járuléka:
A teljes áramot integrálással kapjuk meg:
A két Fermi-függvény különbsége a és kémiai potenciálok közötti energiatartományban, illetve a két kémiai potenciál körüli energiatartományban különbözik zérustól. Feltételezve hogy ebben a tartományban a transzmisszós valószínűség energiafüggetlen, és kihasználva a azonosságot a vezetőképességre véges hőmérsékleten is a
eredményt kapjuk. Ha nem tekinthető energiafüggetlennek, akkor -t a releváns energiatartományra vett átlagos transzmissziós valószínűségnek kell tekinteni.
Egy atomi méretű kontaktust modellezhetünk úgy, mint két ideális kvantumvezetéket, melyeket egy szórási tartomány köt össze. A bal oldali -edik vezetési csatornából a jobb oldali -edik csatornába való átjutáshoz hozzárendelhetünk egy transzmissziós valószínűséget. A rendszer vezetőképességét ezen valószínűségekből a Landauer formula segítségével számolhatjuk: \begin{equation} G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n,m=1}^{M}T_{nm}. \end{equation} Megfelelő bázisba való áttéréssel elérhetjük, hogy a bal oldali -edik módus csak a jobb oldali -edik módusba tudjon szóródni. Ebben a \emph{sajátbázisban} a rendszer darab egymástól független egycsatornás vezetéknek tekinthető. Minden csatornához hozzárendelhetünk egy \emph{transzmissziós sajátértéket}, melyekkel a vezetőképesség \begin{equation} G=\frac{2e^2}{h}\sum_{n=1}^{M}\tau_{n} \end{equation} alakban írható. Ezen transzmissziós sajátértékek halmaza jól jellemzi a kontaktus vezetési tulajdonságait, így a értékek halmazát gyakran ``mezoszkópikus PIN-kódnak is nevezik \cite{agrait03}.
Két ideális kvantumvezeték kvantált keresztmódusokkal, köztük egy transzmissziós mátrix-szal leírható keskeny csatorna:
A vezetőképességet a Landauer formula adja meg:
- Megfelelő sajátbázisban a vezetőképesség transzmissziós sajátértékek összege, ún. „mezoszkópikus PIN kód”.
Vezetőképesség kvantálás kvantum pont-kontaktusban
Kvantum pont-kontaktus: két elektródát egy keskeny, hullámhosszal összemérhető szélességű csatorna köt össze, melynek a szélességét középen egy kapuelektródára tett feszültséggel változtathatjuk.
- A kontaktus közepe felé haladva ez elektron keresztirányú energiája nő, hosszirányú kinetikus energiája pedig csökken.
- Adiabatikusan változó csatornaszélességnél a csatornák nem tudnak egymásba szóródni, függetlennek tekinthetők.
- A kontaktus közepénél a legtöbb csatorna keresztirányú energiája nagyobb mint a Fermi energia, ezek a módusok visszaverődnek a kontaktusról.
- A kontaktus közepén is nyitott csatornák T=1 valószínűséggel átjutnak, hiszen a visszaverődés jelentős impulzusváltozással járna.
Nyitott csatornák száma a kontaktus közepén:
Vezetőképesség kvantálás!
2DEG:
2. ábra - 2DEG pontkontaktus. |