Zajjelenségek nanoszerkezetekben
Tartalomjegyzék |
Az áram időbeli fluktuációja
A korábbiakban láttuk, hogy egy egycsatornás kvantumvezeték vezetőképessége 
, ahol 
a vezeték közepén elhelyezett szórócentrum transzmissziós valószínűsége. Ez a vezetőképesség abból adódik, hogy a bejövő elektronhullám parciálisan transzmittálódik illetve reflektálódik. A fotonokkal végzett kétrés kísérlethez hasonlóan ha megmérjük, hogy egy elektron áthaladt vagy visszaverődött a szórócentrumon, akkor csak azt kaphatjuk, hogy vagy az egész elektron áthaladt vagy az egész elektron visszaverődött, parciális töltés transzmisszióját nem mérhetjük. Így a mért áram (ill. vezetőképesség) abból adódik, hogy az elektronok -ed része teljesen transzmittálódik, 
-ed része pedig reflektálódik. Innen már rögtön látszik, hogy a véletlenszerűen transzmittálódó töltéscsomagok árama a várható érték körül fluktuálni fog.
 |
| 1. ábra |
Egy elektronra vonatkoztatva az áthaladt töltés valószínűséggel 
, 
valószínűséggel pedig 
, így várhatóértékben
![\[\left< Q\right>=\mathcal{T}\cdot e+(1-\mathcal{T})\cdot 0=\mathcal{T}\cdot e,\]](/images/math/d/d/4/dd442e43a245b8e19963e3c46129f8b4.png)
azaz a Landauer formulának megfelelően az áram -vel arányos. Hasonlóan kiszámolhatjuk az áthaladt töltés szórásnégyzetét:
![\[\left< (\Delta Q)^2\right>=\left< Q^2\right> -\left< Q\right> ^2=\mathcal{T}\cdot e^2 - (\mathcal{T}\cdot e)^2=\mathcal{T}(1-\mathcal{T})e^2,\]](/images/math/b/1/6/b16ed18609b2fdb6102c05fc7b53d338.png)
azaz az áram szórásnégyzete 
-vel arányos, ami 
és 
kivételével mindig véges, azaz egy részlegesen transzmittáló nanovezeték mindig véges áramfluktuációt, véges zajt mutat.
A zaj, azaz egy mennyiség várható érték körüli fluktuációja sok esetben lényeges többlet információt hordozhat a várható értékhez (pl. vezetőképességhez) képest, amire a későbbiekben pár egyszerű példát mutatunk. Mindenek előtt azonban definiáljuk pontosabban a zaj fogalmát.
A zaj definíciója
 |
| 2. ábra |
Egy időben változó mennyiség (pl. 
áram, lásd 1. ábra) mérésekor definiálhatjuk a mért mennyiség időbeli átlagát, 
, illetve az átlagtól vett eltérést, 
. A zajt jellemezhetnénk egyszerűen az áram szórásnégyzetével, 
, azonban ekkor nem vennénk figyelembe hogy mérőrendszerünk csak véges sávszélességgel tud mérni, azaz egy bizonyos határfrekvencia fölött már nem tudjuk felbontani a jel időbeli fluktuációit. Ezért célszerű a zaj értékét a 2. ábrán szemléltetett módon egy bizonyos frekvenciasávra vonatkoztatni: az jelet egy 
középfrekvencia körüli 
szélességű sáváteresztő szűrőn keresztül mérjük, azaz csak az adott frekvenciasávra jellemző 
szórásnégyzetet mérünk.
 |
| 3. ábra |
Az így kapott szórásnégyzet kis esetén arányos a sávszélességgel, az arányossági tényezőt pedig a zaj spektrális sűrűségének nevezzük:
![\[\left<(\Delta I(t|f_0,\Delta f))^2\right>=S_I(f_0)\Delta f.\]](/images/math/3/3/f/33ff88a562de7a830d972009efd5d850.png)
Áramzaj esetén az 
spektrális sűrűség mértékegysége 
. A mérnöki gyakorlatban gyakran a spektrális sűrűség négyzetgyökével jellemzik egy eszköz zaját 
mértékegységgel.
![\[\left<(\Delta V(t|f_0,\Delta f))^2\right>=S_V(f_0)\Delta f.\]](/images/math/8/9/a/89add176c6c234d68ca1a7b6097619e0.png)
Egy egyszerű ellenállás esetén 
, azaz 
.
Megmutatható, hogy az így definiált spektrális sűrűség egy kettes faktor erejéig megegyezik a 
áram-áram korrelációs függvény Fourier transzformáltjával,
![\[S(\omega )=2\cdot C(\omega).\]](/images/math/b/6/7/b67d3a1881468cf6a374fb646cdf1d3b.png)
Puskalövések zaja
A zaj fogalma egy klasszikus példával is jól szemléltethető, nézzük meg hogy mi történik ha egy puskából véletlenszerűen lövöldözünk, úgy hogy a lövések időpontja egymástól teljesen független. Ha a szomszédos lövések között eltelt átlagos idő 
akkor 
idő alatt a lövések átlagos száma értelemszerűen 
. A tényleges lövésszám azonban nyilvánvalóan fluktuálni fog az átlagérték körül. A szórásnégyzet meghatározásához érdemes kiszámolni a 
valószínűséget, azaz annak a valószínűségét, hogy idő alatt 
lövés dördül. Ha értékét ismerjük, akkor 
értéke a
![\[P_N(\Delta t+dt)=P_{N-1}(\Delta t)\frac{dt}{\tau}+P_N(\Delta t)\left(1-\frac{dt}{\tau}\right)\]](/images/math/3/f/4/3f4062d58cc637d85054d98f2b6b3f49.png)
egyenlettel írható fel, azaz a kezdeti és az utána következő 
idő alatt vagy 
ill. 
vagy ill. lövés dördül. A megfelelő valószínűségeket a lövések függetlensége miatt szorozhatjuk össze.
A fenti egyenlet átrendezésével a
![\[\frac{dP_N(\Delta t)}{dt}=\frac{P_{N-1}(\Delta t)-P_N(\Delta t)}{\tau}\]](/images/math/b/6/4/b64ef404ea69d3816419cfebef01952b.png)
differenciálegyenletet kapjuk. Megmutatható, hogy ezen feltételt a
![\[P_N(\Delta t)=\frac{(\Delta t)^N}{\tau^N N!}e^{-\Delta t/\tau}\]](/images/math/f/b/b/fbb852541ecee469bb9e8e91c30241fe.png)
Poisson eloszlás elégíti ki. A Poisson eloszlás speciális tulajdonsága, hogy a szórásnégyzet megegyezik a várható értékkel, azaz
![\[\left< (\Delta N)^2 \right>=\left< N \right>=\frac{\Delta t}{\tau}.\]](/images/math/c/9/2/c925d13d542008c08786e26fc2259b03.png)
Elektronok sörétzaja
A fenti gondolatmenetet vonatkoztathatjuk elektronokra is ha teljesül az, hogy az elektronok véletlenszerűen, egymástól függetlenül jutnak át az egyik elektródából a másikba. Tegyük fel, hogy mérőrendszerünkkel az elektromos áramot időbeli felbontással tudjuk mérni. Egy szélességű mintavételezési intervallum alatt 
áramot detektálunk ahol a idő alatt áthaladó elektronok számának eloszlását a fenti Poisson eloszlás adja meg. Így a mért áram várható értéke 
, míg az áram szórásnégyzete 
.
A Nyquist - Shannon mintavételezési törvény szerint időfelbontás esetén a mért jelet 
maximális frekvenciáig tudjuk rekonstruálni. Ez alapján a mért áram szórásnégyzete:
![\[\left< I \right>e/\Delta t=\left< (\Delta I)^2 \right>=\int\limits_0^{1/2\Delta t}S_I(f)df.\]](/images/math/c/7/8/c783670784468ca88e30d1f8bc064798.png)
Ez akkor teljesülhet tetszőleges esetén ha az áramzaj frekvenciafüggetlen (fehér zaj)
![\[S_I=2e\left< I \right>\]](/images/math/5/5/7/5571d03b81fb462278f1c210edecbb6d.png)
zajsűrűséggel.
A puskagolyós analógia alapján az elektronok diszkrét töltéséből adódó áramzajt sörétzajnak szokták nevezni. Az előbbiekben levezetett zajformula a sörétzajnak is egyik speciális esetét írja le, az ún. Poisson zajt, mely egymástól független elektronok detektálására vonatkozik. A kvantummechanikából ismert Pauli elv szerint két elektron nem lehet ugyan abban az állapotban, azaz egy adott időpontban nem tudunk két teljesen egyforma állapotú elektront detektálni. Egy makroszkopikus vezetőben az elektronok nem egymástól függetlenül, hanem inkább sorban egymást követve érkeznek az árammérőhöz, így a fenti zajformula nem érvényes. Azonban a Poisson zaj feltételét megvalósíthatjuk akkor, ha az elektronok kis valószínűséggel emittálódnak egy forrásból.
Az első sörétzaj-mérést Walter Schottky végezte 1918-ban [2]: híres kísérletében egy vákuumdióda anódáramának zaját vizsgálta. A vákuumdióda felépítését a 3. ábra szemlélteti. Egy fűtött katódból véletlenszerűen kilépő elektronok a katód és anód közé kapcsolt feszültség hatására eljutnak az anódba, ahol áramot detektálunk. A vákuumdióda ideális eszköz a sörétzaj tanulmányozásához, hiszen az elektronok valóban véletlenül, és egymástól függetlenül emittálódnak, így a mért zajsűrűség és az áram hányadosából az elektrontöltés a Poisson zaj formulája alapján meghatározható.
 |
| 3. ábra |
Poisson zajt modern elektronikai eszközökben is tapasztalhatunk, például egy diódát alkotó félvezető p-n átmenet is biztosítja az elektronok véletlen és független emisszióját megfelelően kicsi áram esetén. Ennek megfelelően az elektrontöltés értéke egy félvezető dióda zajának méréséből is meghatározható, amit a BME fizikus hallgatói a zaj mint jel című laborgyakorlat során ki is próbálhatnak.
Poisson-zajt az 1. ábrán szemléltetett nanovezetékben is megvalósíthatunk ha a két kvantumvezetéket összekötő szórócentrum 
transzmissziós valószínűséggel rendelkezik. Ekkor az egycsatornás vezetékre vonatkozó Landauer formula alapján 
, azaz a zajsűrűség:
![\[S_I=\frac{4e^2}{h}\cdot T \cdot V.\]](/images/math/1/5/b/15b9bee0079c57e2c6442762fd8c09f6.png)
Láttuk, hogy tetszőleges T esetén a zaj 
-vel skálázódik. Az ennek megfelelő azjsűrűség
![\[S_I=\frac{4e^2}{h}\cdot T(1-T) \cdot V,\]](/images/math/d/9/1/d914a4c7eab3f49b777bda2f3a343b40.png)
mely esetben visszaadja a Poisson zaj formuláját.
Több vezetési csatornával rendelkező nanovezeték esetén a zajformula általánosan
![\[S_I=\frac{4e^2}{h}\cdot V \sum_n T_n(1-T_n)\]](/images/math/a/6/a/a6a403b8091d3f6575c2cb2d0b5efac0.png)
képlettel adható meg.
Termikus zaj
Az előbbi képlet egy nanovezeték sörétzaját adta meg véges feszültség esetén. A formula alapján zérus zajsűrűséget kapunk 
feszültségnél, illetve akkor is ha minden nyitott vezetési csatornára 
, azaz ha a nanovezeték tökéletes (szórásmentes).
A fenti formula azonban nem vette figyelembe a hőmérsékleti fluktuációk hatását, hiszen véges hőmérsékleten zérus feszültség és tökéletes nanovezeték esetén is véges zajt várunk.
Egyelőre a részletek ismerete nélkül vizsgáljunk egyetlen elektronállapotot. Az állapot tényleges betöltöttségét jelöljük 
-vel, mely betöltött állapot esetén 1 betöltetlen állapot esetén 0 értéket vesz fel. Az állapot átlagos betöltöttségét termikus egyensúly esetén a Fermi függvény írja le, azaz:
![\[\left< n_i \right>=f(\epsilon_i)=\frac{1}{e^\frac{\epsilon_i-\mu}{kT}+1}.\]](/images/math/6/9/5/695f08e91ebd6a9d93405a562b375d13.png)
Figyelembe véve hogy 
és 
esetén is 
, így könnyen megadhatjuk a betöltési szám szórásnégyzetét is:
![\[\left< (n_i-\left< n_i \right> )^2 \right>=\left< n_i \right> - \left< n_i \right>^2 =f(\epsilon_i)\left( 1-f(\epsilon_i)\right) .\]](/images/math/4/c/6/4c6f05399b3e8c5fd9aa68dbed8e0a4c.png)
Könnyen ellenőrizhető, hogy:
![\[f(\epsilon_i)\left( 1-f(\epsilon_i)\right)=-kT\frac{\mathrm{d}f(\epsilon_i)}{\mathrm{d}\epsilon},\]](/images/math/4/5/2/452650c494cdf84ad82509e4ab3d433e.png)
melyet energia szerint integrálva 
-t kapunk, azaz várakozásaink szerint a termikus fluktuációkból származó zaj a hőmérséklettel arányos.
Most vizsgáljuk meg egy konkrét rendszer, egy egycsatornás tökéletes nanovezeték termikus zaját!
A nanovezetékben az elektronállapotokat egydimenziós parabolikus diszperziós relációk írják le, a 
állapotok mind a bal oldali a 
állapotok pedig mind a jobb oldali elektródából származnak. Zérus feszültség esetén tetszóleges k-val rendelkező állapot betöltöttségét a Fermi függvény írja le 
kémiai potenciállal.
Egy adott hullámszámhoz tartozó elektronok árama:
![\[I_k=\frac{2e}{L}\cdot v_k \cdot n_k,\]](/images/math/1/6/5/165a6c2709d21b7a08b529645ead422a.png)
ahol 
ha az állapot betöltött és 
ha az állapot betöltetlen.
A betöltési szám fent kiszámolt szórásnégyzete alapján az áram szórásnégyzete:
![\[\left< (\Delta I_k)^2 \right> =-kT\cdot \frac{4e^2}{L^2}\cdot v^2_k \cdot \frac{\mathrm{d}f(\epsilon_k)}{\mathrm{d}\epsilon_k}.\]](/images/math/1/d/b/1dbecdd09e93ce8dfb87e2d9ccc78810.png)
Mivel a különböző 
-hoz tartozó áramkomponensek egymástól függetlenek (nincs átszóródás) így szórásnégyzetük összeadódik, azaz a teljes áram szórásnégyzete:
![\[\left< (\Delta I)^2 \right>=-kT\cdot \frac{4e^2}{L^2} \sum_k v^2_k \frac{\mathrm{d}f(\epsilon_k)}{\mathrm{d}\epsilon_k}=-kT\cdot \frac{4e^2}{L^2}\frac{L}{2\pi } \int\limits_{-k_F}^{+k_F} v^2_k \frac{\mathrm{d}f(\epsilon_k)}{\mathrm{d}\epsilon_k}\mathrm{d}k=-2kT \cdot \frac{4e^2}{L^2}\frac{L}{2\pi } \int\limits_{0}^{+k_F} v^2_k \frac{\mathrm{d}f(\epsilon_k)}{\mathrm{d}\epsilon_k} \mathrm{d}k.\]](/images/math/4/e/0/4e053320dd9a8abe6eb90dbedf5ec4cf.png)
Kihasználva, hogy 
áttérhetünk energia szerinti integrálásra:
![\[\left< (\Delta I)^2 \right>=-\frac{8e^2kT}{hL}\frac{L}{2\pi }\cdot \int\limits_{\epsilon(k=0)}^{\epsilon_F} v_k \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}\epsilon}\mathrm{d}\epsilon \approx 4kT\cdot G_0 \cdot \frac{v_F}{L},\]](/images/math/2/1/6/2164607e2c33b0d8b9463bdc637ad6d9.png)
ahol figyelembe vettük, fogy a Fermi függvény deriváltja csak a Fermi energia körül véges, ahol a 
sebesség 
-el közelíthető, illetve hogy az egycsatornás kvantumvezeték vezetőképessége 
.
Az 
hosszúságú kvantumvezetéken 
idő alatt érnek át az elektronok, így ennél rövidebb időskálán nem látunk fluktuációt az áramban. Ennek megfelelően a termikus zaj jelentkezését 
határfrekvenciáig várjuk. A határfrekvenciáig frekvenciafüggetlen zajsűrűséget feltételezve 
zajsűrűséget kapunk. Több vezetési csatornát feltételezve (melyek ideális kvantumvezetékben egymástól függetlenek) a zajsűrűség 
Részletesebb számolások alapján megmutatható, hogy nemcsak ideális kvantumvezeték esetén hanem tetszőleges vezetékre az áramzaj a vezetőképességgel illetve a hőmérséklettel arányosan skálázódik:
![\[S_I=4kT \cdot G,\]](/images/math/a/d/c/adc033a1aea77fa6beb5820de0781106.png)
és hasonlóképpen egy 
ellenállású áramköri elem feszültségzaja:
![\[S_V=4kT\cdot R\]](/images/math/8/f/d/8fdadcd0f3b245f6a43cd0bf9cc3f1cb.png)
attól függetlenül, hogy pontosan milyen fizikai rendszer adja az ellenállást.
A termikus zaj szintén fehér zaj, azaz a zajsűrűség nem függ a frekvenciától.
Ezen jelenség segítségével a 
hőmérséklet és az ellenállás ismeretében a feszültségzaj méréséből a Boltzmann-állandó meghatározható, melyre szintén lehetőség nyílik a zaj mint jel hallgatói mérés keretében.
Általános zajformula
![\[S_I=\frac{4e^2}{h}\left[ 2kT\sum_n T_n^2+eV\coth{\left(\frac{eV}{2kT}\right)}\sum_n T_n(1-T_n)\right]\]](/images/math/3/7/1/37137be9e5a9e93b28107c6dc8091f4d.png)
 | |
| 4a. ábra | 4b. ábra |
Egyéb zajforrások
A termikus zaj és a sörétzaj mellett érdemes megemlékezni az 1/f zajról, mely a zajsűrűség tipikus 1/f jellegű frekvenciafüggéséről kapta a nevét. Ezen zajtípus számos fizikai folyamatból származhat, például a szennyezők és rácshibák véletlen mozgásából adódó ellenállásfluktuációkból. Az 1/f zaj a sörétzajhoz hasonlóan nemegyensúlyi zaj, a spektrális sűrűség a feszültség növelésével nő. Az 1/f zaj tipikusan alacsonyfrekvenciás (
) méréseknél dominál, míg magasabb frekvenciákon a termikus zaj illetve bizonyos eszközökben a sörétzaj a legfontosabb zajforrás.
Az eddigiekben csak a vizsgált rendszerünk belső zajáról beszéltünk, azonban zajmérésnél mindig fontos a külső forrásokból adódó elektromágneses zavarokra is gondolni. Egy áramkör kapacitív vagy induktív csatolással könnyen felvesz zajt a környezetből például az elektromos hálózat 50 Hz-es frekvenciájánál, monitorok képernyőjének frissítési frekvenciájánál, kapcsoló üzemű tápok működési frekvenciájánál, vagy akár rádióállomások, mobiltelefonok sugárzási frekvenciájánál. Ezen zavaró tényezők kiküszöbölésének alapvető módszere a vizsgált áramkör árnyékolása: alacsony jelszintű méréseknél mindig árnyékolt kábeleket, illetve fém dobozba zárt áramköröket érdemes használni.
Kitekintés
Kutató laboratóriumokban azonban a zajmérést gyakran olyan területen alkalmazzák, ahol más mérési módszer csak korlátozottan, vagy egyáltalán nem áll rendelkezésre [1]. A következőkben ilyen mérésekből adunk rövid ízelítőt.
- A pontos hőmérsékletmérés - különösen extrém körülmények között - sokszor nehézséget jelent, hiszen számos fizikai folyamat (pl. fémek ellenállásváltozása, higanyszál megnyúlása) alkalmas a hőmérsékletváltozás detektálásra, azonban ezek a hőmérők az abszolút hőmérséklet mérésére csak pontos kalibráció után alkalmasak. Ezzel szemben a zajmérés segítségével közvetlenül az abszolút hőmérsékletet lehet meghatározni [3], így zajmérés megfelelő (a laborgyakorlat mérésénél lényegesn nagyobb) pontosság esetén akár hőmérsékletstandardként is használható.
- Az elektron töltését jól ismerjük, azonban számos olyan rendszer ismert ahol a kvázirészecskék az elektrontöltés többszörösét vagy tört részét hordozzák (pl. szupravezetés, tört számú kvantált Hall jelenség). Ezen rendszereknél a zajmérés kiválóan alkalmas a kvázirészecske-töltés meghatározására [4,5].
- Az elemi részecskék speciális statisztikákat követnek. Az elektronok például fermionként viselkednek, és a Pauli elv miatt két elektron nem lehet azonos kvantummechanikai állapotban, ezzel szemben a fotonok bosonként viselkednek, és szeretnek olyan állapotba szóródni amiben már több foton is található (lásd indukált emisszió a lézerekben). Ezen különbségek zajméréssel kiválóan kimutathatók, hiszen megfelelően megválasztott rendszerekben a fermionok a Poisson zajnál kisebb, míg a bosonok a Poisson zajnál nagyobb zajt mutatnak [6-8].
- A klasszikus és kvantumos kaotikus rendszerek jelentősen különböznek egymástól. A klasszikus káosz esetén ugyan a rendszer viselkedése érzékenyen függ a kezdeti feltételektől azonban mégis teljesen determinisztikus mozgást kapunk. Ezzel szemben kvantumkáosz esetén a részecskék viselkedése alapvetően véletlenszerű. A klasszikus és a kvantumkáosz közötti átmenet jól megmutatható zajmérésekkel, hiszen az előbbi esetben zérus, míg az utóbbiban véges sörétzajt várunk [9].
Zajmérésekkel részletesebben az Új kísérletek a nanofizikában tárgy keretében ismerkedhetünk meg.
Hivatkozások
[1] C. W. J. Beenakker, C. Schönenberger: Quantum shot noise, Physics Today 56, p37 (2003)
[5] R. de-Picciotto et al.: Direct observation of a fractional charge, Nature 389, p162 (1997)
[7] W.D. Oliver et al.: Hanbury Brown and Twiss-Type Experiment with Electrons, Science 284, p299 (1999)
[8] M. Henny et al.: The Fermionic Hanbury Brown and Twiss Experiment, Science 284, p296 (1999)
