Optikai heterodin detektálás

Elméleti összefoglaló

A hullám fogalma – a fény mint hullám

A fény, mint ismeretes, az elektromágneses tér hullámjelensége. Jellemző rezgési frekvenciája a 10¹⁴ Hz körüli tartományba esik. Az a fizikai mennyiség, amelynek terjedését egyszerűen fénynek nevezzük, az elektromos és mágneses térerősség. Tehát a fényben az elektromos és a mágneses tér változásai terjednek. Tekintsünk egy, a tárgyalás szempontjából egyszerű, lineárisan polarizált harmonikus síkhullámot. A síkhullám elnevezés onnan ered, hogy az azonos térerősségű pontok egy adott pillanatban egy síkon helyezkednek el. A síkhullám kifejezése:

 

$\[{{E\left( \mathbf{r},t \right) = {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{kr} \right)}}\]$

(1)

ahol E₀ az elektromos hullám amplitúdója, k a hullámszám vektor, $\setbox0\hbox{$\omega {{=}} 2\pi \cdot f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az elektro-mágneses hullám körfrekvenciája, „f” pedig a frekvenciája. Egyszerű megfontolásokból a hullám terjedési sebessége k-val és $\setbox0\hbox{$\omega $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-val kifejezhető:

 

$\[{{c = \frac{\omega }{\left| \mathbf{k} \right|}}}\]$

(2)

A „k” helyett a gyakorlatban $\setbox0\hbox{$\lambda {{=}} \frac{2\pi}{k}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-t szokás használni, amelyet hullámhossznak nevezünk. Így az egyenlet ismertebb alakjában $\setbox0\hbox{$c {{=}} \lambda \cdot f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Az (1) egyenletből látszik $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szemléletes jelentése is: azt a k vektor irányában mért legkisebb távolságot jelenti, amely szerint a térerősség periodikusan változik.

Doppler-effektus

Tegyük fel, hogy az (1) szerinti monokromatikus síkhullámot egy „K” koordináta-rendszerben írtuk fel. Ha ezt a síkhullámot a K-hoz képest v(t) pillanatnyi sebességgel mozgó K' rendszerből figyeljük, akkor a hullám K-beli frekvenciájától különböző frekvenciájú hullámot fogunk észlelni. Válasszuk úgy a K és K' rendszert, hogy t=0-ban az origók egybe essenek. Ekkor a K-beli koordinátát K'-beli koordinátákkal kifejezhetjük:

 

$\[\mathbf{r} = \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau) d\tau + \mathbf{r'}\]$

(3)

Ezt beírva az (1) egyenletbe, a hullám K'-beli alakját nyerjük:

 

$\[E\left( \mathbf{r'},t \right) = {E_0}\cos \left( \phi (\mathbf{r'},t) \right)= {E_0}\cos \left( \omega t - \mathbf{k} \cdot \int\limits_0^t \mathbf{v}(\tau)d\tau - \mathbf{k} \cdot \mathbf{r'} \right)\]$

(4)

Definíció szerint a körfrekvencia a fázis ($\setbox0\hbox{$\phi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) idő szerinti parciális deriváltja:

 

$\[\omega '(t) \equiv \frac{\partial \phi }{\partial t} = \omega - \mathbf{k} \cdot \mathbf{v}(t)\]$

(5)

tehát a két rendszer relatív sebességétől függően a körfrekvencia megváltozik, mégpedig a két vonatkoztatási rendszer relatív sebességének pillanatnyi értéke szerint. (Az egyszerűség kedvéért v és ω időfüggését a továbbiakban nem jelöljük.) Ezt a jelenséget felfedezőjéről Doppler-effektusnak nevezik. A jelenség az akusztikában már XIX században ismert és igazolt volt. (A fenti eredmény csak közelítő jellegű, mivel a Galilei-féle relativitás elvének megfelelő transzformáció, amellyel az egyik koordináta rendszerből áttérünk a másikba, csak a fénysebességhez képest kis v sebességek esetében igaz. A pontos tárgyalásnál a Galilei-féle relativitást fel kell cserélni az Einstein-féle relativitás elvével és ennek megfelelően a két rendszer transzformációját Lorentz-transzformációval kell leírni, ld. a függeléket. A gyakorlatban szinte mindig teljesül az a feltétel, hogy v << c, ahol „c” a fénysebesség, ezért a kapott eredmények nagyon nagy pontossággal érvényben maradnak.) Felhasználva a

 

$\[k = \frac{2\pi }{\lambda } \qquad \acute{e}s \qquad \omega = 2\pi f\]$

(6)

egyenleteket, a körfrekvenciáról áttérve frekvenciára kapjuk:

 

$\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }\cos \vartheta}}\]$

(7)

ahol $\setbox0\hbox{$\cos \vartheta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a k és v vektor által bezárt szög koszinusza. Speciálisan, ha k és v azonos irányú, akkor $\setbox0\hbox{$\cos \vartheta {{=}} 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , így:

 

$\[{{f' = f - \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]$

(8)

és ha ellentétes irányúak, akkor $\setbox0\hbox{$\cos \vartheta {{=}} -1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ , melyből:

 

$\[{{f' = f + \frac{\left| \mathbf{v} \right|}{\lambda }}}\]$

(9)

Optikai keverés

Tekintsünk két különböző frekvenciájú ($\setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$), és azonos terjedési irányú (x) elektromágneses síkhullámot, ahol az egyik körfrekvencia időfüggő: $\setbox0\hbox{$\omega_2(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ebben az esetben az elektromos térerősségek a következőképp írhatók fel:

 

$\[{{{E_1} = {E_{10}}\cos \left( {{\omega _1}t - {k_1}x} \right)}}\]$

(10)

 

$\[{E_2} = E_{20}\cos \left( \int\limits_0^t \omega _2(\tau )d\tau - \int\limits_t^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi \right)=E_{20}\cos \left( \int\limits_0^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]$

(11)

ahol „c” a fénysebesség, $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig egy konstans fázistolás. Az eredő elektromágneses tér a kettő összege:

 

$\[E = E_1 + E_2 = E_{10}\cos \left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos\left(\int\limits_0^{t - x/c} \omega _2(\tau )d\tau + \varphi\right)\]$

(12)

Helyezzünk az eredő tér egy adott pontjába (x) fényérzékelőt. Az érzékelő által szolgáltatott áram $\setbox0\hbox{${i_D}\sim P$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol „P” a detektorra eső fényteljesítmény. A fényteljesítmény viszont az elektromos térerősség négyzetével arányos:

 

$\[P\sim E^2 = E_{10}^2 \cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right) + E_{20}\cos^2\left(\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi \right)+2E_{10}E_{20}\cos\left(\omega_1t - k_1x\right)\cos\left(\int\limits_{0}^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau + \varphi\right)\]$

(13)

Ha ω₂-t ω₁-ből Doppler-eltolással állítjuk elő, és az alkalmazott sebességek nem relativisztikusak akkor ω₂ csak nagyon kicsit tér el a konstans ω₁-től. A továbbiakban egyszerűbb, ha az ω₂ időfüggését egy külön $\setbox0\hbox{$\Delta \omega (t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ taggal kezeljük, amely jóval kisebb ω₁-nél.

 

$\[\omega_2(t) = \omega_1 + \Delta\omega(t)\]$

(14)

Δω függését a koordinátarendszerek sebességétől lásd a következő fejezetben. Ekkor

 

$\[\int\limits_0^{t-x/c}\omega_2(\tau)d\tau = \omega_1(t-x/c) + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau\]$

(15)

Behelyettesítve (13)-ba a fenti összefüggést, és felhasználva, hogy

 

$\[{{\cos \alpha \cdot \cos \beta = \frac{1}{2}\left( {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right)}}\]$

(16)

i_D alakja a következő:

 

$\[i_D \sim E_{10}^2\cos^2\left(\omega_1t - k_1x\right)+ E_{20}^2cos^2\left(\omega_1t - k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right) + E_{10}E_{20}\cos\left[2\omega_1t - 2k_1x + \int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right] + \]$

(17)

$\[E_{10}E_{20}\cos\left[-\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau - \varphi\right]\]$

A detektor a ráeső teljesítmény időátlagát méri. Mivel fény esetén $\setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ~10¹⁵ nagyságrendű, és ezt a frekvenciát a fényérzékelő nem képes követni, az első három tag i_D kifejezésében kiátlagolódik. Felhasználva, hogy:

$\[\left<\cos(x)\right> {{=}} 0\]$

 

$\[\left<\cos^2(x)\right> = \frac{1}{2}\]$

(18)

$\[\cos(-x) {{=}} \cos(x)\]$

ahol < > az időátlagot jelenti. A detektor jelére azt kapjuk, hogy:

 

$\[\left<i_D\right> \sim \frac{E_{10}^2}{2} + \frac{E_{20}^2}{2} + E_{10}E_{20}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]$

(19)

Az időátlagolást a fenti kifejezésben a fényhullám periódusidejének néhányszorosára végeztük el (ahogy a detektor is teszi), ezért ha $\setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ elég közel esik egymáshoz, a (17) kifejezés negyedik tagja átlagolás után is megmarad, ugyanis az $\setbox0\hbox{$\omega_1 - \omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jóval nagyobb magánál $\setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-nél. Amennyiben a különbségi körfrekvencia olyan kicsi, hogy az ebből eredő változást már a fényérzékelő is képes követni, a detektor kimenő jelében megjelenik egy, a két fény körfrekvencia-különbségével változó jel, melynek amplitúdója a két térerősség amplitúdójának szorzata. Bevezetve az intenzitásokra az $\setbox0\hbox{$E_{10}^2 = {I_1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$E_{20}^2 = {I_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelölést:

 

$\[\left<i_D\right> \sim \frac{I_1}{2} + \frac{I_2}{2} + \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]$

(20)

Az így kapott jel egyenáramú komponense a két fényhullám intenzitásának összegével arányos, ami e mérésben nem informatív, ezért elektronikus úton leszűrjük. A mért jel váltóáramú komponensét (i_H) heterodin jelnek, az eljárást pedig heterodin keverésnek nevezzük:

 

$\[i_H \equiv \sqrt{I_1 I_2}\cdot\cos\left(\int\limits_0^{t-x/c}\Delta\omega(\tau)d\tau + \varphi\right)\]$

(21)

Az optikai keverésnél az intenzitások közül az egyiket elektromos analógia alapján lokáloszcillátornak nevezik (I₁), a másikat pedig jelintenzitásnak (I₂). Fénydetektálás szempontjából az optikai keverésnek azért van nagy jelentősége, mert a keletkező heterodin jel frekvenciája jól meghatározott értékű, valamint megfelelő nagyságú lokáloszcillátor-intenzitás segítségével a $\setbox0\hbox{$\sqrt {{I_1}{I_2}} $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szorzat még kis I₂ mellett is megnövelhető. Így az optikai keverés kis fényintenzitások mérésének egyik alkalmas módszereként kínálkozik. Ha például egy detektor érzékenysége 1 mW, és ennél kisebb jelet, mondjuk 10 μW-ot akarunk vele mérni, akkor a 10 μW-os jelet összekeverve egy 1 W-os lokál-oszcillátor jelével, akkor kb. 3 mW-os kevert jel keletkezik, amely már mérhető az adott detektorral. A dolog szépséghibája, hogy a detektoron megjelenik egy nagy, jelen esetben 1 W-os egyenáramú jel is, ami az érzékelőt, vagy az elekronikus erősítőt telítésbe viheti.

Optikai keverés megvalósítása Doppler-effektus felhasználásával

Az optikai keverés megvalósításához egy interferométerre van szükség. Az 1. ábrán látható Michelson-interferométerben a két nyaláb a karokból a féligáteresztő lemezen egyesül úgy, hogy a detektort azonos ponton találja el, és irányuk is pontosan megegyezik (azaz k₁ és k₂ párhuzamos).

1. ábra. Optikai keverés megvalósítása Michelson-interferométerrel

Ha ugyanis k₁−k₂-nek van a terjedési irányra merőleges komponense (α ≠ 0, ld. 2. ábra), a detektor síkjában egy interferencia csíkrendszer alakul ki, ami miatt a heterodin jel kiátlagolódhat. Azért, hogy ezt elkerüljük, a detektor méretének (d) kisebbnek kell lennie a kialakuló interferencia kép fél periódusánál:

 

$\[d < \frac{2\pi}{4\cdot k_1\cdot \sin\left (\alpha/2\right )}\qquad \to \qquad \alpha < \frac{\lambda}{2d}\left [ rad \right ]\]$

(22)

ahol felhasználtuk, hogy $\setbox0\hbox{$k_1\approx k_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Mivel a detektor mérete általában adott, az előző kifejezés a nyalábok egymáshoz viszonyított irányának beállítására ad egy erős kényszert: ha a detektor mérete d = 1 mm, λ = 633 nm, akkor α < 0,0003°, ami 3 m-en 1 mm távolságnak felel meg!

2. ábra. Az optikai keverésnél fellépő interferencia kép és a detektor méretének (d) viszonya, abban az esetben, ha a két nyaláb (k1 és k2) nem párhuzamos (α ≠ 0).

Az optikai keveréshez szükséges kismértékű frekvencia eltérést a Doppler-effektus révén érhetjük el: az interferométer egyik karjában lévő tükör#2, ld. (1. ábra) önmagával párhuzamos, nyalábra merőleges, „v” sebességgel történő mozgatása esetén a tükörre eső fény frekvenciája a Doppler-effektus miatt megváltozik. A mozgó tükör az álló forrásból érkező „f” frekvenciájú lézernyalábot f'-nek érzékeli:

 

$\[f' = f - \frac{v}{\lambda}\]$

(23)

ahol a sebesség előjeles mennyiség (v > 0, ha a tükör a forrástól távolodik). A tükör ilyen frekvenciájú fényt ver vissza, azonban a detektor egy másik frekvenciát (f") érzékel, ugyanis a tükör hozzá képest egy mozgó forrás. A mozgó tükör karjából érkező fény frekvenciája a detektornál tehát:

 

$\[f" = f' - \frac{v}{\lambda} = f - \frac{2v}{\lambda} \qquad \Leftrightarrow \qquad \omega_2 = \omega_1 - k_1 \cdot 2v\]$

(24)

A frekvenciák közötti különbség tehát:

 

$\[\Delta \omega = -2\cdot k_1\cdot v\]$

(25)

ahol $\setbox0\hbox{$\omega_1 {{=}} 2\cdot \pi f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega_2 {{=}} 2\cdot \pi \cdot f"$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ebből a heterodin frekvencia:

 

$\[f_H \equiv f' - f" = \frac{2\cdot v(t)}{\lambda}\]$

(26)

A másik nyalábnak a frekvenciája változatlan, így a keletkező heterodin jel (21) szerint:

 

$\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos\left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ]\]$

(27)

A sebesség időfüggése szempontjából két speciális esetet érdemes megvizsgálni. Az egyik az egyenes vonalú egyenletes sebességű mozgás. Ekkor v(t) = v = const., azaz (27) egyenletből az integrálás elvégzése után a következő marad:

 

$\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [k_1\cdot 2v\cdot \left (t-\frac{x}{c}\right ) - \varphi \right ] = \sqrt{I_1I_2}\cdot \cos \left [(\omega_1 -\omega_2)\cdot t -(k_1 - k_2)\cdot x - \varphi\right ]\]$

(28)

ahol felhasználtuk (24)-et. Egy lebegésszerű jelenséget tapasztalunk: a heterodin jel a körfek-venciák különbségének megfelelő frekvenciával harmonikusan változik. A másik jellemző sebességfüggést, a szinuszos rezgőmozgást végző tükröt, a következő alfejezetben tárgyaljuk.

Amplitúdó mérés heterodin méréstechnikával

Az előző fejezetben tárgyaltuk, hogy az interferométer egyik tükrének állandó, a tükörre merőleges sebességgel történő mozgatásának hatására milyen heterodin jel keletkezik és ez hogyan használható a sebesség nagyságának meghatározására. Ebben a fejezetben azt vizsgáljuk milyen a heterodin jel alakja, ha mozgás ugyan merőleges a tükörre, de a sebesség nagysága időben változó: a példa kedvéért harmonikus rezgőmozgás. A rezgés kitérése:

 

$\[x_r = x_0\cos (\omega_rt + \varphi_r)\]$

(29)

ahol $\setbox0\hbox{$x_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az amplitúdó $\setbox0\hbox{$\omega_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a rezgés körfrekvenciája $\setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a kezdőfázis. Ez alapján a pillanatnyi sebesség:

 

$\[v(t) = \dot{x} = -x_0\omega_r \sin (\omega_rt + \varphi_r)\]$

(30)

A heterodin frekvencia pedig:

 

$\[f_H = \frac{2v}{\lambda} = -\frac{2x_0\omega_r\sin(\omega_rt+\varphi_r)}{\lambda}\]$

(31)

Itt „v” a tükör #2 sebessége az interferométerben, $\setbox0\hbox{$\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az alkalmazott fény hullámhossza. A heterodin jel alakja a harmonikusan rezgő tükör esetén (27) és (30) alapján:

 

$\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [\int\limits_0^{t-x/c}k_1\cdot 2v(\tau)d\tau - \varphi \right ] = \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos \left (\omega_r \cdot (t-x/c)+ \varphi_r\right ) - \varphi \right ]\]$

(32)

ahol $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-be a t = 0 miatt újonnan keletkezett konstans fázistolást is belevettük. Ha $\setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-be szintén beleértjük az x/c-ből eredő konstans fázistolást, akkor a heterodin jel alakja a következő:

 

$\[i_H \equiv \sqrt{I_1I_2}\cos \left [k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r) -\varphi \right ]\]$

(33)

3. ábra. A heterodin jel (vékony kék vonal) és a tükör sebessége (vastag fekete vonal) az idő függvényében. A heterodin jel egy frekvenciamodulált jel: amikor nagy a sebesség akkor sűrűbb, 0 körüli sebességnél a frekvencia is 0 körüli. $\setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ határozza meg a görbék együttes mozgását az időskálán, $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig a heterodin jel (kék görbe) kezdőfázisát adja meg a tükör sebességét leíró (fekete) görbéhez képest.

A 3. ábrán jól láthatóak a heterodin jel nullhelyei. Célunk az, hogy összefüggést találjunk az adott idő alatt mérhető nullátmenetek és a rezgés amplitúdója között. Vizsgáljuk meg mi a feltétele annak, hogy a heterodin jel értéke 0 legyen. Ha bevezetjük a heterodin jel fázisára a:

 

$\[\Phi \equiv k_1\cdot 2x_0\cdot \cos(\omega_rt + \varphi_r) - \varphi\]$

(34)

jelölést, akkor a zérus helyek feltétele:

 

$\[\cos(\Phi) = 0 \quad \to \quad \Phi = (2n+1)\frac{\pi}{2} \quad n \in Z\]$

(35)

Ebből a következő adódik:

 

$\[\Phi = \frac{4\pi x_0}{\lambda}\cos (\omega_rt + \varphi_r) - \varphi = (2n+1)\frac{\pi }{2}\]$

(36)

Vegyük a $\setbox0\hbox{$\varphi_r {{=}} 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\varphi {{=}} 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetet, és vizsgáljuk meg hány nullahelye van a heterodin jelnek a rezgés egy félperiódusa alatt, azaz $\setbox0\hbox{$\omega_rt \in [0;\pi]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ intervallumon? A 4. ábra mutatja a $\setbox0\hbox{$\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel normált fázist az idő függvényében; azt keressük, ez a görbe hol veszi fel a (36)-ban meghatározott értékeket (ld. vízszintes rácsozat).

4. ábra. A fenti görbe a $\setbox0\hbox{$\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-vel normált fázist mutatja az idő függvényében. A vízszintes rácsozat a 0,5 1,5; 2,5; 3,5 stb. értékeket mutatják, azt ahol a heterodin jel értéke zérus lesz.

Az 4. ábra vízszintes rácsozata és a görbe metszéspontjai határozzák meg a heterodin jel nullátmeneteinek időpontjait. Egy fél periódus alatt a (36) függvény $\setbox0\hbox{$\pm 4\pi x_0/\lambda$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ közötti értékeket vehet föl, a nullahelyek száma tehát:

 

$\[N = 2\cdot Round\left ( \frac{4x_0}{\lambda}\right )\]$

(37)

ahol Round(E) az „E” értékének matematikai szabályok szerinti kerekítése. Hogyha a $\setbox0\hbox{$\varphi_r \neq 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy $\setbox0\hbox{$\varphi \neq 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor ezek és x₀ pontos értékétől függően a nullhelyek értéke eltérhet a képlettől ± 2-vel. Általános esetben tehát, ha a kezdőfázisok ismeretlenek:

 

$\[N = 2\cdot Round\left ( \frac{4x_0}{\lambda}\right )\pm 2\]$

(38)

A fázisok hatásának megértéséhez a nullhelyeket meghatározó (36) képletet átrendezzük:

 

$\[\frac{4\pi x_0}{\lambda}\cos (\omega_rt + \varphi_r) = (2n+1)\frac{\pi}{2} - \varphi\]$

(39)

Ez alapján úgy lehet képzelni, mintha $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a 4. ábrán szereplő rácsozatot függőlegesen, $\setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pedig az egész görbét vízszintesen tologatná. A kísérlet során a harmonikus rezgést egy hangfrekvenciás elektromos generátorral hozzuk létre és a nullahelyeket ezen gerjesztő jel félperiódusa alatt számoljuk meg, azonban a valódi rezgés ehhez képest $\setbox0\hbox{$\varphi_r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ fázissal el van tolódva, ami az elektromos (kábelhossz, eszközök frekvencia átvitele) és a mechanikai fáziseltolódás összege. A mechanikai fázistolás a teljes heterodin jel időfüggő eltolódását okozza, az elektronikai rendszer fázistolása pedig a gerjesztő feszültséghez képest tolja el a rezgő tükör sebesség-idő függvényét. A $\setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az optikai elemek fázistolásának, és mechanikai pozíciójának eredménye (hatására a heterodin jel kezdőfázisa változik meg a sebesség-időfüggvényhez képest), így az optikai elemek nagyon kicsi elmozdulásaira is igen nagyot változik: a rendszer a mechanikai rezgésekre igen érzékeny lesz.

A mérést az 1. ábra szerinti interferométerrel végezzük el, amelyben természetesen csak akkor kapunk eredményt, ha x₀ elég nagy. Amennyiben $\setbox0\hbox{$x_0 < \lambda/8$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, akkor nullahelyek nem lépnek fel, így ez az eljárás nem alkalmazható. (Ekkor csak a heterodin jel spektrális vizsgálata adhat információt az amplitudóról.) Ezért a heterodin jel nullátmeneteinek számlálásával az alkalmazott lézerfény hullámhosszánál ($\setbox0\hbox{$\lambda_{He-Ne} {{=}} 633 nm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$) nagyobb amplitúdójú rezgéseket lehet csupán vizsgálni. Ha a nullátmenetek között eltelt idők reciprokát képezzük, akkor ezek úgy tekinthetők, mint a t_i és t_i+1 időpontok közötti pillanatnyi frekvencia, így ezen időközök $\setbox0\hbox{$\Delta \tau_{i} {{=}} t_{i+1}-t_i$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mérésével a pillanatnyi sebesség abszolút értéke is meghatározható az alábbi összefüggés alapján (de az előjele nem):

 

$\[\frac{1}{2\Delta \tau_i} = \mid f_i \mid \sim \frac{2\mid v\mid}{\lambda }\]$

(40)

Mérési feladatok

1. feladat

Egy kis hangszóró membránjára erősített sík üveglap mozgását vizsgáljuk. Szinuszos jellel meghajtva a hangszórót határozzuk meg a lapka sebességét az idő függvényében. Az 1. ábra szerinti interferométer elrendezést használjuk, ahol a tükör #2 szerepét a sík üveglap játssza. A hangszórót úgy kell beállítani, hogy a ráragasztott sík üveglap merőleges legyen a megvilágító lézernyaláb irányára. A hangszórót meghajtó generátor jele amplitúdóban és frekvenciában változtatható, így különböző meghajtási körülmények mellett vizsgálható a mozgás. A membránon levő üveglap sebességét a detektor kimenetén levő frekvencia modulált jel pillanatnyi frekvenciájából határozzuk meg. Ezt egy adott időpillanat utáni, a jel két egymást követő nullátmenete közötti idő mérésére vezetjük vissza. A mérés oszcilloszkóppal hajtjuk végre. A jelet a hangfrekvenciás generátorról triggereljük, kimerevítjük és a markerek segítségével megmérjük egy periódus alatt a nullhelyek időbeli távolságát. A (40) egyenlőségből f(t), és $\setbox0\hbox{$\lambda {{=}} 632,8\ nm$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ismeretében a pillanatnyi sebesség v(t) is kiszámítható.

A mérés menete:

• Kapcsoljuk be a lézer tápegységet, az oszcilloszkópot, a jelgenerátort, és a detektort!
• A jelgenerátort állítsuk harmonikus jelalakra, frekvenciáját állítsuk be 100 Hz-re a FREQUENCY gombbal. A triggereléshez a jelet osszuk meg egy T dugóval és ezt csatla-koztassuk az oszcilloszkóp 1-es bemenetére. A másik BNC kábelt kössük a hangszóró bemenetére. Amplitúdóját az AMPLITUDE. gombbal állítsuk 30 mV peak to peak értékre.
• A hangszórót és tükör #1-et úgy állítsuk be, hogy a visszavert fénynyalábok a távoltérben (azaz a falon), és a detektoron is fedjék egymást (1. ábra). Így biztosítjuk az irányok párhuzamosságát és az azonos térbeli pozíciót. Ügyeljünk rá, hogy a lézerbe ne lőjünk vissza, mert a rezonátor veszteségeinek elhangolásával a kimenő teljesítmény zajos lesz.
• A detektor kimeneti jelét bevezetjük az oszcilloszkóp 2 csatornájára. Az oszcilloszkópon megjelenő jelet figyelve a tükör #1, a detektor és a hangszórótartó finombeállító csavarjaival maximalizáljuk a detektorjelet. Ez legalább 1 V csúcsérték legyen.
• Merevítsük ki a jelet a run/stop gombbal és határozzuk meg a szomszédos nullahelyek távolságát a rezgés egy periódusa alatt (cursors funkció), és ezeket használjuk a pillanatnyi frekvencia és a sebesség időfüggésénbek meghatározására.
• A nulla sebességű időkhöz rendeljünk extrapolációval a nulla sebességet! A mérésből a sebesség előjele nem határozható meg, csak annak abszolút értéke.

2. mérés

Mérjük meg a hangszóró membránjának amplitúdóját a frekvencia függvényében 100 Hz és 2000 Hz között, az előző feladatban beállított amplitúdót használva:

• 100 és 200 Hz között 20 Hz-ként,
• 200 és 500 Hz között 50 Hz-ként,
• 500 és 2000 Hz között 100 Hz-ként.

A detektor jelében a nullátmenetek száma alapján meghatározható egy rezgő rendszer amplitúdója. Ábrázoljuk a membrán amplitúdóját a frekvencia függvényében! Használjuk ismét az oszcilloszkóp run/stop és cursors funkcióját, ha szükséges! Milyen jellegzetességet mutat a kapott görbe?

3. mérés

Határozzuk meg egy lassú, egyenletesen mozgó tükör sebességét. A mozgási sebesség itt már olyan kicsi, hogy a heterodin frekvencia a hangfrekvenciás tartományba esik. Erről meg is lehet győződni, ha a detektor kimenetét a hangszóróra csatlakoztatjuk, így az úgynevezett Doppler-fütty hallhatóvá tehető. A tükör lassú, egyenletes mozgását egy motorral meghajtott lineáris mozgatóval hozzuk létre. A motor táplálásával különböző sebességeket lehet beállítani, és ennek megfelelően más-más heterodin frekvencia áll elő. Mivel a mozgás „egyenletes”, ezért a heterodin jel frekvenciája állandó, a mozgás folyamán nem változik. Ezért itt nem pillanatnyi frekvenciát kell meghatározni, hanem egy meghatározott frekvenciát, melynek mérését oszcilloszkóppal végezzük amiből kiszámolható a sebesség.

A mérés menete:

• Helyezzük be a lineáris mozgatót a hangszórót tartó mechanika helyére úgy, hogy a beeső és a tükörről visszaverődő nyaláb párhuzamos legyen! Ezt a tükörtartón levő állító mechanikával lehet elérni. A tükörmozgató síneket tegyük minél közelebb az osztótükörhoz, hogy az úthosszkülönbséget minimalizájuk.
• Kapcsoljuk be a motor tápegységét, és addig növeljük a feszültséget, amíg a motor egyenletesen nem forog. A motor feszültsége ne legyen nagyobb 3V-nál! Véghelyzethez közeledve változtassuk meg a polaritást és ezzel a sebesség irányát.
• A detektor kimenetét az oszcilloszkóp 1 bemenetére csatlakoztatva a tükörállítókkal maximalizáljuk a jelet.
• Mérjük meg az oszcilloszkóppal a heterodin jel frekvenciáját! A mérési eredményt 10 frekvencia értékéből átlagolja (mivel a sebesség kissé ingadozik).
• Ismételjük meg a mérést három másik motor meghajtásnál, azaz másik feszültségnél is! Minden motor feszültség esetén határozza meg a sebességet a vonalzó és óra segítségével.
• A detektor kimenetét csatlakoztassa a hangszóróra és állítson elő Doppler-füttyöt!
• Számítsa ki a két sebességértéket a (26) egyenlet segítségével!

Függelék - a Doppler effektus relativisztikus tárgyalása

Az elektromágneses sugárzás esetén is tapasztalható a doppler effektus, ami azt jelenti, hogy ha a forrás és a megfigyelő egymáshoz képest mozog, akkor az érzékelt frekvencia eltér a kibocsátott sugárzás frekvenciájától. Tekintsük K és K’ koordináta rendszereket, amelyek „x” tengelyük irányában egymáshoz képest v sebességgel mozognak; y és z tengely iránya egyezzen meg, valamint $\setbox0\hbox{$t {{=}} t’{{=}} 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpillanatban origójuk essen egybe. Ezen feltételek érvényessége mellett a két rendszer közti koordináta-transzformáció a következő alakú:

$\[\begin{cases} x' &= \gamma (x - vt) \\ y' &= y \\ z' &= z \\ t' &= \gamma (t - \frac{vx}{c^2}) \end{cases}\]$

ahol

$\[\gamma {{=}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\]$

és „c” a fénysebesség, „v” a két koordináta rendszer közti sebesség. Haladjon az „x” tengely mentén egy fénynyaláb. Ennek körfrekvenciája és hullámszáma a K rendszerben $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a K’ rendszerben $\setbox0\hbox{$\omega'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$k'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ . A fázis egy invariáns skalár, mindkét rendszerből nézve állandó:

$\[\varphi {{=}} \omega t - kx {{=}} \omega 't' - k'x'\]$

Ez egy $\setbox0\hbox{$x^+$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ irányba haladó elektromágneses hullám fázisa. Az egyenlet jobb oldalába behelyettesítve a koordináta-transzformációt, a következőt kapjuk:

$\[\varphi {{=}} \omega '\gamma \cdot t + k'\gamma v\cdot t -k'\gamma \cdot x - \omega '\gamma \frac{v}{c^2}\cdot x\]$

A körfrekvencia definíció szerint a fázis idő szerinti parciális deriváltja így:

$\[\omega \equiv \frac{\partial \varphi }{\partial t} {{=}} \omega '\gamma + k' \gamma v\]$

Felhasználva, hogy $\setbox0\hbox{$k' {{=}} \frac{2\pi }{\lambda '}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\omega ' {{=}} 2\pi f'$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, a frekvenciákra a következő összefüggés teljesül:

$\[f {{=}} \gamma \cdot f' + \gamma \cdot \frac{v}{\lambda '}\]$

Mivel azonban a relatív sebesség igen kicsi $\setbox0\hbox{$\left ( \frac{v}{c} \ll 1\right )$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ezért $\setbox0\hbox{$\gamma \cong 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és így jó közelítéssel:

$\[f {{=}} f' + \frac{v}{\lambda}\]$

A képletből leolvasható, hogy távolodó forrás és megfigyelő esetén a frekvencia csökken közeledő forrás és megfigyelő esetén a frekvencia nő.

PDF formátum

• Optikai heterodin detektálás és alkalmazásai