Tehetetlenségi nyomaték vizsgálata
A mérés célja:
- elmélyíteni a tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos ismereteket,
- megismertetni a hallgatókat egy a tehetetlenségi nyomaték mérésére alkalmas módszerrel.
Ennek érdekében:
- összefoglaljuk a tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos ismereteket, majd megvizsgáljuk egy olyan rendszer viselkedését, amelynek segítségével tehetetlenségi nyomatékot tudunk mérni,
- a mérések során meghatározzuk a méréséhez használandó rendszer paramétereit, majd a megismert rendszer segítségével tehetetlenségi nyomatékot mérünk, és kísérletileg igazoljuk a Steiner-tételt.
Elméleti ismeretek
A tehetetlenségi nyomaték
A tömegpontokból álló rendszer z-tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát az alábbi kifejezés adja meg:
![\[\theta=\sum_{i=1}^n m_i\cdot l_i^2=\sum_{i=1}^n m_i\cdot (x_i^2+y_i^2),\]](/images/math/9/f/2/9f23e35952dd7e86ca6770f89af2ee91.png)
ahol 
az 
sorszámú, 
tömegű pont 
-tengelytől való távolsága, 
és 
ugyanennek a pontnak az 
, illetve 
koordinátája.
Folytonos tömegeloszlású testek esetén a tehetetlenségi nyomaték:
![\[\theta=\int_V \rho\cdot l^2 \,\mathrm{d}V=\int_V \rho\cdot (x^2+y^2)\,\mathrm{d}V,\]](/images/math/f/3/7/f375903662754b68d34de03b9ed28dfb.png)
ahol 
a test sűrűsége. A tehetetlenségi nyomaték értéke egyszerűbb esetekben számítással határozható meg, egyébként mérésekkel állapítható meg.
Ha ismerjük egy test tehetetlenségi nyomatékát a súlypontján átmenő tengelyre vonatkozóan (
), akkor egy ezzel a tengellyel párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka (
) a Steiner-tétel segítségével adható meg:
![\[\theta=\theta_\mathrm{s}+m\cdot r^2.\]](/images/math/b/5/9/b590a7e3a69045b18bf5e4d45130d81b.png)
Itt 
a test tömege, 
a két tengely egymástól mért távolsága.
Forgási rezgések
A tehetetlenségi nyomatékkal kapcsolatos vizsgálatainkat egy forgási rezgéseket végző torziós asztal (2. ábra) segítségével hajtjuk végre, ezért az alábbiakban egy ilyen rendszer viselkedését vizsgáljuk.
A rendszer egyensúlyi helyzetét egyik végén a tengelyhez, a másik végén a kerethez rögzített spirálrugó biztosítja. A rendszer egyensúlyi helyzetéhez képest, a tengely körül 
(rad) szöggel való elforgatásához szükséges forgatónyomaték, nem nagy szögek esetén:
![\[M=-D^*\cdot\varphi,\]](/images/math/d/0/0/d0084dcdef36a4cc88ba91a7ab3bdf85.png)
ahol 
(Nm/rad) a rugó direkciós nyomatéka.
Csillapítatlan forgási rezgések
Ha a torziós asztal tárcsájának a tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka és emellett a rendszer többi elemének tehetetlenségi nyomatéka, valamint a súrlódási veszteségek figyelmen kívül hagyhatók, akkor a rendszer mozgásegyenlete:
![\[\theta\cdot\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=-D^*\cdot\varphi.\]](/images/math/a/1/8/a182805b713fd6c53807f43201d0833a.png)
Ezen mozgásegyenlet megoldása a
![\[\varphi=\phi\cdot\sin(\omega\cdot t+\alpha)\]](/images/math/d/4/5/d450777e0ed950a751ef18d2111689ca.png)
egyenlettel leírható harmonikus forgási rezgés, ahol 
és 
értékét a kezdeti feltételek határozzák meg és a megoldás során adódik, hogy a körfrekvencia:
![\[\omega=\sqrt{\frac{D^*}{\theta} }\]](/images/math/6/0/7/6078f796895fc8aff0856337e9dd93ab.png)
amiből a rezgés periódusideje:
![\[T=2\pi\sqrt{\frac{\theta}{D^*} }.\]](/images/math/d/1/d/d1d768736d1a0f81cfa567a12f3d25e1.png)
Csillapodó forgási rezgések
A fentiekben szereplő csillapítatlan forgási rezgés amplitúdója állandó. A gyakorlatban megvalósítható rezgéseknél a mindig jelen lévő súrlódás miatt az amplitúdó folyamatosan csökken. Az ilyen mozgásoknál a rugó által létrehozott nyomatékon kívül megjelenő súrlódási erő hatását a szögsebességgel arányosnak feltételezve, (az arányosságot a 
állandóval véve figyelembe) a rezgés mozgásegyenlete:
![\[\theta\cdot\frac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}t^2}=-D^*\cdot\varphi-k\cdot\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}.\]](/images/math/6/4/a/64ac5f14be2b463b806aa82ce3932a9f.png)
A (4) egyenlet megoldása az 
és 
jelölésekkel
![\[\varphi=\phi_0\cdot e^{-\beta\cdot t}\cdot\sin(\omega\cdot t+\alpha),\]](/images/math/8/6/c/86cbae218e901097c3188001531dc78a.png)
ahol 
a csillapítási tényező, 
és a kezdeti feltételektől függő állandók. A 
esetben:
![\[\omega^2=\omega_0^2-\beta^2.\]](/images/math/5/2/f/52f9ea27b8cb2c87c70891bd8cf65de3.png)
A (5) egyenlettel leírt mozgás 
függvénye a 1. ábrán látható. A rezgés amplitúdója exponenciálisan csökken: 
. A rendszer az egyensúlyi helyzeten a 
időpontokban halad át, a szélső 
helyzeteket azonban nem a 
időpontokban éri el, de a szélső helyzetek között eltelt idő 
.
A torziós asztal és jellemzőinek meghatározása
Ahhoz, hogy egy rezgőmozgást végző rendszert felhasználhassunk ismeretlen minta tehetetlenségi nyomatékának meghatározásához, vagy a Steiner-tétel igazolásához, ismernünk kell rendszerünket és annak fizikai jellemzőit. Az alábbiakban a további vizsgálatokhoz felhasználandó eszközt, a torziós asztalt mutatjuk be, és ismertetünk néhány módszert, amely alkalmas a rendszer jellemzőinek meghatározására.
A torziós asztal
A további vizsgálatokhoz használt eszköz, a forgási rezgéseket végző torziós asztal fényképe a 2. ábrán látható.
 |
A torziós asztalban alkalmazott spirálrúgó direkciós nyomatékának () meghatározása
A direkciós nyomaték meghatározásánál a (2) egyenletből indulhatunk ki. Megmérve a rugóra ható nyomatékot és a nyomaték által létrehozott szögelfordulást, a direkciós nyomaték:
![\[D^*=\frac{M}{\varphi}.\]](/images/math/1/1/c/11c438805c5d8651c493105d89ff5135.png)
A mérés pontosságának növelése érdekében célszerű meghatározni a 
függvényt. A mérési pontokra egyenest illesztve az meredekségéből megkapható a rugó jellemzője.
A csillapítási tényező () meghatározása
A csillapítási tényező meghatározása a (5) egyenlet felhasználásával lehetséges. A lengő torziós asztal kitérése egy tetszőleges 
időpontban, illetve ez után 
egészszámú periódusidővel később a 
időpontban:
![\[\varphi_1=\phi_0\cdot e^{-\beta\cdot t_1}\cdot\sin(\omega\cdot t_1+\alpha),\]](/images/math/d/3/e/d3e42bf4ca38d6d9f572d074c6ba98e0.png)
![\[\varphi_{n+1}=\phi_0\cdot e^{-\beta(t_1+n\cdot T)}\cdot\sin[\omega(t_1+n\cdot T)+\alpha].\]](/images/math/6/7/8/67878ae241b5cd544299a9cf8e339a9b.png)
Mivel a két kifejezésben a szinuszos tagok értéke megegyezik, a szögkitérések hányadosának természetes alapú logaritmusa:
![\[\ln\frac{\varphi_1}{\varphi_{n+1}}=n\cdot T\cdot\beta,\]](/images/math/5/8/f/58fd5d8c195444d6614e9aa54db874d6.png)
ahonnan
![\[\beta=\frac{1}{n\cdot T}\cdot\ln\frac{\varphi_1}{\varphi_{n+1} }.\]](/images/math/e/7/4/e74a1f5577a8509614ae20c990a6a328.png)
A csillapítási tényező gyakorlati meghatározásánál célszerű a szélső helyzetek figyelembevétele, a 1. ábra jelöléseihez igazodva:
![\[\frac{\varphi_1}{\varphi_{n+1} }{{=}}\frac{\phi_i}{\phi_{n+i} },\]](/images/math/4/5/b/45bc6278858485d832191583bb784dc9.png)
ahol és pozitív egész szám.
A csillapítási tényező ismeretében dönthető el, hogy a rendszer csillapítatlan vagy csillapított mozgást végzőnek tekinthető-e. Ha 
, akkor a (6) összefüggés alapján a torziós asztal mozgása csillapítatlan mozgásnak tekinthető. (A 
periódusidő mérhető.)
A torziós asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása
Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása tömegének és sugarának ismeretében
Az (1) egyenletből levezethetően 
sugarú és tömegű homogén korong tehetetlenségi nyomatéka forgástengelyére vonatkozóan:
![\[\theta=\frac{1}{2}mR^2.\]](/images/math/5/e/2/5e274e9eb379047de030c1ed32e3da75.png)
Így az asztal tömegének és sugarának megmérése után tehetetlenségi nyomatéka számolható.
Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása a rugó direkciós nyomatékának, a lengésidőnek és a csillapítási tényezőnek az ismeretében
A (6) egyenletből kiindulva felírható, hogy:
![\[\omega^2=\left(\frac{2\pi}{T} \right )^2=\frac{D^*}{\theta}-\beta^2,\]](/images/math/b/2/5/b2573991a0065522b664544d1ebd5029.png)
ahonnan
![\[\theta=\frac{D^*}{\left(\frac{2\pi}{T} \right )^2+\beta^2}.\]](/images/math/d/0/9/d095f108606511fe1b4cef255470c517.png)
Ha a mozgás csillapítatlannak tekinthető
![\[\theta=\left(\frac{T}{2\pi} \right )^2\cdot D^*.\]](/images/math/c/3/a/c3ab08118eed9739810b4a12bd9be8e8.png)
Az asztal tehetetlenségi nyomatékának meghatározása ismert tehetetlenségi nyomatékú tárcsa felhasználásával
Ha a torziós asztal önmagában végez lengéseket (6) alapján
![\[\omega^2=\left(\frac{2\pi}{T} \right )^2=\frac{D^*}{\theta}-\beta^2.\]](/images/math/7/e/0/7e02d223b7e76662258a9011eaaca9a8.png)
Ha a torziós asztal közepére ismert (
) tehetetlenségi nyomatékú korongot szerelünk (a korong tengelye egybeesik az asztal tengelyével) a rendszer tehetetlenségi nyomatéka: 
-ra módosul és a lengés körfrekvenciája:
![\[\omega'^2=\left(\frac{2\pi}{T'} \right )^2=\frac{D^*}{\theta+\theta_0}-\beta^2.\]](/images/math/0/2/1/0217dc87939749b0f7d239dd162bb9c5.png)
Feltételeztük, hogy a csillapítás nem változott. (10) és (11) hányadosából az asztal tehetetlenségi nyomatéka kiszámítható:
![\[\left(\frac{4\pi^2}{T^2}+\beta^2\right )\left/\left(\frac{4\pi^2}{T'^2}+\beta^2\right )\right.=\frac{\theta+\theta_0}{\theta},\]](/images/math/a/2/d/a2d80a78e3ae548c1dc7fd760537299f.png)
ahonnan
![\[\theta=\theta_0\frac{T^2\cdot T'^2}{T'^2-T^2}\cdot\left(\frac{1}{T'^2}+\frac{\beta^2}{4\pi^2}\right).\]](/images/math/f/3/9/f3995674ec42cfc9e80ebb17ff3e9c25.png)
Ha a zárójelben lévő kifejezés második tagja nem éri el az első tag 0,01-ad részét, úgy az elhanyagolható és a lengés csillapítatlannak tekinthető. A értéke csillapítatlan lengés esetén
![\[\theta=\theta_0\frac{T^2}{T'^2-T^2}.\]](/images/math/9/3/6/936c4c76d944c8a46942a222907d0c6b.png)
Mintadarab súlypontján átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékának meghatározása
Ha a torziós asztal mozgása csillapítatlan rezgésnek tekinthető, a mozgás periódusidejét a (3) összefüggés adja meg. Helyezzünk a torziós asztalra a 3. ábra szerint egy mintát, mely az asztal egy pontja körül (P) körbe forgatható. Az ábrán látható jelölésekkel a Steiner-tétel és a koszinusz tétel alkalmazásával a minta tehetetlenségi nyomatéka az O ponton átmenő tengelyre vonatkozóan.
![\[\theta_x+mr^2=\theta_x+m(r_0^2+r_1^2+2r_0r_1\cos\gamma),\]](/images/math/3/6/f/36f09c35b60794e9ba88bfafe620f849.png)
ahol 
a minta súlypontján (S) átmenő, a rendszer forgástengelyével párhuzamos tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka, a tömege és 
a minta súlypontjának távolsága a P ponttól. Ha a torziós asztal tehetetlenségi nyomatéka , a rendszer periódusideje (8)-ból:
![\[T'^2=\frac{4\pi^2}{D^*}\left[\theta+\theta_x+m(r_0^2+r_1^2)\right]+\frac{4\pi^2}{D^*}2mr_0r_1\cos\gamma,\]](/images/math/d/9/a/d9ad9e1d918946fd54112e14fa012364.png)
vagyis a periódusidő négyzete 
függvény szerint változik.
Ha a mintát körbeforgatva mérjük a rezgésidőket (14) alakú függvényt kapunk. A mérési pontokra görbét illesztve 
és 
értéke meghatározható, melyek ismeretében a (14)-ben szereplő két ismeretlen ( és ) is kiértékelhető. Belátható, hogy a minta forgatása közben a legnagyobb lengésidőt akkor kapjuk, amikor a súlypont a legmesszebb van az O forgástengelytől és a lengésidő akkor a legkisebb mikor a minta súlypontja a legközelebb van O-hoz. Ebben a két esetben a lengésidőket a
![\[{T'}^2_\mathrm{max}=\frac{4\pi^2}{D^*}\left[\theta+\theta_x+m(r_0+r_1)^2) \right ],\]](/images/math/0/5/f/05f16bb107f138a36912f0c28d28bb99.png)
illetve
![\[{T'}^2_\mathrm{min}=\frac{4\pi^2}{D^*}\left[\theta+\theta_x+m(r_0-r_1)^2) \right ],\]](/images/math/c/7/7/c777042805d0b88630a60d0e64af3a08.png)
összefüggések adják meg, melyekből és szintén meghatározhatóak. (A 
egyenletből megkaphatjuk -et, majd ezen eredmény felhasználásával (15)-ből vagy (16)-ból számítható ).
A fenti eljárást a minta egy másik pontja körüli forgatásra megismételve, meghatározható a súlypont távolsága ettől a ponttól is. A súlypont két ismert ponttól való
távolsága egyértelműen megadja a súlypont helyét.
A Steiner-tétel igazolása
Ha az ismert tehetetlenségi nyomatékú tárcsát úgy helyezünk el torziós asztalon, hogy súlypontja az asztal forgástengelyétől ismert távolságra legyen, a rendszer tehetetlenségi nyomatéka a Steiner-tétel szerint
![\[\theta'=\theta+mr^2.\]](/images/math/0/d/a/0daaeff33b1b53622a39eb445825f596.png)
Csillapítatlan rezgéseket feltételezve (3) szerint a mozgás periódusidejének négyzete
![\[T^2=\frac{4\pi^2}{D^*}(\theta_0+\theta)+\frac{4\pi^2}{D^*}m\cdot r^2,\]](/images/math/9/3/d/93da80b26515a536117bcea4b6fd5638.png)
azaz a 
függvény egyenest ad.
Ha mérjük a rendszer lengésidejét () a tárcsa súlypontjának az asztal forgástengelyétől való távolságának () függvényében, és ábrázoljuk a periódusidő négyzetét az 
függvényében, a mérési pontokra egyenes illeszthető.
Megjegyezzük, hogy a most kapott egyenes meredekségének és tengelymetszetének meghatározása az adott tehetetlenségi nyomatékú tárcsa tömegének ismeretében újabb lehetőséget ad a rendszer direkciós nyomatékának és tehetetlenségi nyomatékának meghatározására.
Mérési feladatok
A méréshez rendelkezésre álló eszközök
- A mérés elvégzéséhez és a mérési napló elkészítéséhez a dőlt betűs részekben adunk segítséget.
- A mérések megkezdése előtt a torziós asztal talpán található csavarok és a mérőhelyen található libella segítségével az asztal síkját állítsa vízszintesre!
1. Határozza meg a spirálrugó D* direkciós nyomatékát!
A feladatot a (2) összefüggés felhasználásával oldja meg! Az elfordulást létrehozó forgatónyomatékot csigán átvetett fonál végén lévő edénykébe helyezett csapágygolyók segítségével hozza létre!
- A fonal befűzéséhez használjon tűbefűzőt!
- Adatok:
- golyók tömege: 4,07 g
- mérlegedény tömege: 4,6 g
- A tárcsa sugarát mérje meg!
A szögelfordulás az asztalon található fokbeosztás segítségével határozható meg. A mérés közben fellépő súrlódás hatásának csökkentése érdekében minden egyes nyomaték alkalmazásánál mérje meg a nyomatékhoz tartozó maximális és minimális szögkitérés értékét és a kettő számtani közepét vegye figyelembe.
- A minimális és maximális szögkitérést a tárcsa kocogtatásával keresheti meg.
10-12 mérési pontot vegyen fel, ábrázolja a függvényt, mérési pontjaira illesszen egyenest, majd a kapott egyenes meredekségéből határozza meg a direkciós nyomatékot!
2. Határozza meg a rendszer csillapítási tényezőjét!
Határozza meg a csillapítási tényező értékét a (7) összefüggés segítségével! A lengésidőt – itt, és a továbbiakban is – legalább 5-5 lengés idejét mérve maximum 180°-os amplitúdóval indulva legalább ötször mérje meg! Az így kapott lengésidők átlagát használja a továbbiakban! A lengési amplitúdó csökkenésének vizsgálatánál 90°-os kitérésből induljon és 20 lengés után mérje meg a lecsökkent amplitúdót! A kapott eredmények ismeretében hasonlítsa össze a körfrekvencia és a csillapítási állandó értékét!
- Csillapítatlan rezgésnek tekintheti-e a torziós asztal mozgását?
3. Határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!
a) A 
összefüggés alapján. Számítsa ki a tárcsa tehetetlenségi nyomatékát! A tárcsa anyaga alumínium ( = 2700 kgm−3). Méreteit méréssel határozza meg!
b) A rúgó direkciós nyomatékának, a rendszer lengésidejének és csillapítási tényezőjének ismeretében. A korábbi mérési eredményei felhasználásával a (8) vagy (9) összefüggés alapján számítsa ki a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!
- Végezzen gyors számítást, és ellenőrizze, hogy a két módszerrel kiszámított eredmények nagyságrendileg egyeznek-e!
c) Ismert tehetetlenségi nyomatékú minta felhasználásával. Az ismert tehetetlenségi nyomatékú minta egy középen kis furattal ellátott korong. A korong tömege ismert (rá van írva), sugarát mérje meg és számítsa ki tehetetlenségi nyomatékát! Az ismert tehetetlenségi nyomatékú mintát a közepén lévő furat és egy csavar segítségével rögzítse az asztal közepére! A torziós asztal lengésidejét és csillapítási tényezőjét korábbról ismeri. Most mérje meg a megnövelt tehetetlenségi nyomatékú rendszer lengésidejét (
) és a (12) vagy (13) összefüggés alkalmazásával határozza meg a torziós asztal tehetetlenségi nyomatékát!
- A számítás során két egymáshoz közeli mennyiséget fog egymásból kivonni, ami nagyon megnöveli a hibát. Ezért mérje a periódusidőt minél gondosabban és pontosabban!
4. Határozza meg egy inhomogén tömegeloszlású lemezből készült minta tehetetlenségi nyomatékát a súlypontján átmenő és a lemez síkjára merőleges tengelyre vonatkozóan!
A mérőhelyen található mintát - amelynek tömegét ismeri (rá van írva) - rögzítse a torziós asztalra a mintán található furat és egy csavar segítségével! Az asztalon található rögzítési pontok közül ismeretei alapján válassza ki az optimálisnak tűnő rögzítési pontot!
- Melyik rögzítési pontot választja? Indokolja választását!
Mérje meg a rendszer lengésidejét a mintának a rögzítési pont körüli elforgatása és 30°-onkénti rögzítése mellett. (Ilyen módon 12 különböző lengésidőt mérhet. Minden lehetséges rögzítési pont körül 30°-os szögbeosztás található.) Ábrázolja a mért lengési idők négyzetét az elforgatási szög függvényében! Illesszen a mért adatokra megfelelő függvényt, és az illesztett függvény adataiból határozza meg 
és 
vagy és értékét, majd határozza meg a minta tehetetlenségi nyomatékát és a minta súlypontjának távolságát a mintán található furattól! (-ot, -t és -et ismeri.)
Ismételje meg a feladat első részét a mintán található másik furat felhasználásával! Ennek a mérésnek az elvégzése után megadhatja a súlypont helyét a mintán található furatoktól mérhető távolsága segítségével. Rajzolja le a mintát, jelölje be a furatokat és a tömegközéppont helyét!
- Adatok:
- Sárgaréz csap tömege: 2,2 g
- Piros fejű csap tömege: 2,08 g
5. Igazolja a Steiner-tételt!
Fakultatív feladat! (Ennek a feladatnak a megoldása nem kötelező, csak akkor foglalkozzon vele, ha marad elég idő rá.)
Az ismert tehetetlenségi nyomatékú kis korongot rögzítse a torziós asztal tengelyétől különböző távolságban lévő rögzítési pontokhoz, és mérje meg a rögzítési pontokhoz tartozó lengési időket! Mérési eredményei alapján ábrázolja a függvényt! Mérési pontjaira illesszen egyenest! Az egyenes paramétereiből határozza meg a rendszer direkciós nyomatékát és tehetetlenségi nyomatékát! Hasonlítsa össze eredményeit a korábban kapott értékekkel!
