„A kényszerrezgés vizsgálata” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „Szerkesztés alatt!”)
 
1. sor: 1. sor:
−
Szerkesztés alatt!
+
<wlatex>
 +
 
 +
[[Kategória:Fizika BSC alapképzés]]
 +
<!--[[Kategória:Fizika BSC alkalmazott fizika szakirány]]-->
 +
<!--[[Kategória:Fizika BSC fizikus szakirány]]-->
 +
<!--[[Kategória:Fizikus MSC alapképzés]]-->
 +
<!--[[Kategória:Fizikus MSC alkalmazott fizika szakirány]]-->
 +
<!--[[Kategória:Fizikus MSC kutatófizikus szakirány]]-->
 +
<!--[[Kategória:Fizikus MSC nukleáris technika szakirány]]-->
 +
<!--[[Kategória:Fizikus MSC orvosi fizika szakirány]]-->
 +
<!--[[Kategória:Mechanika]]-->
 +
[[Kategória:Elektromosságtan]]
 +
<!--[[Kategória:Hőtan]]-->
 +
<!--[[Kategória:Kvantummechanika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Statisztikus fizika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Nanofizika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Optika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Szilárdtestfizika]]-->
 +
<!--[[Kategória:Mag és részecskefizika]]-->     
 +
<!--[[Kategória:Informatika]]-->
 +
[[Kategória:Laborgyakorlat]]
 +
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 1.]]-->
 +
[[Kategória:Fizika laboratórium 2.]]
 +
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 3.]]-->
 +
<!--[[Kategória:Fizika laboratórium 4.]]-->
 +
[[Kategória:Fizika Tanszék]]
 +
<!--[[Kategória:Elméleti Fizika Tanszék]]-->
 +
<!--[[Kategória:Atomfizika Tanszék]]-->
 +
<!--[[Kategória:Nukleáris Technikai Intézet]]-->
 +
<!--[[Kategória:Matematika Intézet]]-->   
 +
[[Kategória:Szerkesztő:Vankó]]
 +
 
 +
A harmonikus rezgés alapvető fizikai jelenség. Vibrációk, oszcillációk harmonikus rezgéssel modellezhetők, ha az amplitúdók elég kicsinyek. A harmonikus mozgás differenciálegyenlete nem csupán a klasszikus fizikában (mechanika, villamosságtan), de a kvantumfizikában, a szilárdtestfizikában és az optikában is gyakran előfordul.
 +
 
 +
 
 +
__TOC__
 +
 
 +
==Elméleti összefoglaló==
 +
 
 +
===Csillapítatlan rezgések===
 +
 
 +
Ha egy $m$ tömegű anyagi pontra rugalmas erő hat, akkor a mozgásegyenlet $ma=-sx$ alakú, ahol $s$ a rugóállandó, $x$ a tömegpont kitérése az egyensúlyi helyzetből, $m$ a tömeg, és a a gyorsulás.
 +
A mozgásegyenlet megoldása
 +
{{eq|x{{=}}A\sin(\omega_0 t+\alpha),|eq:1|(1)}}
 +
ahol $A$ a kitérési amplitúdó, $\alpha$ a fázisállandó,
 +
{{eq|\omega_0{{=}}\sqrt{\frac{s}{m} }|eq:2|(2)}}
 +
a csillapítatlan rezgő rendszer körfrekvenciája ($\omega_0=2\pi f_0$, ahol $f_0$ a megfelelő frekvencia). A harmonikus rezgőmozgás sebessége
 +
$$v=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}=A\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha),$$
 +
ahol $A\omega_0$ a maximális sebesség, a sebesség-amplitúdó.
 +
 
 +
===Csillapodó rezgések===
 +
 
 +
A csillapodást okozó erők gyakran a sebességgel arányosak. Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete: $ma=-sx-k\nu$, ami a $\delta=\frac{k}{2m}$ csillapodási tényező ($k$ a súrlódásra jellemző mennyiség) és [[#eq:2|(2)]] felhasználásával az alábbi alakra hozható:
 +
$$\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\delta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega^2 x=0.$$
 +
A differenciálegyenlet megoldása $\omega_0^2\geq\delta^2$ esetén időben csökkenő amplitúdójú lengéseket eredményez:
 +
$$x=A\exp(-\delta t)\sin(\omega' t+\alpha).$$
 +
A rezgés körfrekvenciája
 +
$$\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}.$$
 +
Az amplitúdó változás jellemzésére különböző mennyiségeket használnak. A csillapodási hányados két, azonos irányban egymás után kővetkező amplitúdó hányadosa $K=\frac{x_n}{x_{n+1} }=\exp(\delta T)$ , ahol $T=\frac{2\pi}{\omega}$. Használatos még a K csillapodási hányados logaritmusa, az ún. logaritmikus dekrementum:
 +
{{eq|\Lambda{{=}}\ln K{{=}}\delta T.|eq:3|(3)}}
 +
 
 +
===Kényszerrezgések===
 +
 
 +
Egy m tömegre motor és excenter segítségével időben periodikusan változó erőt alkalmazva egy átmeneti időszak után időben állandósult rezgés alakul ki, melynek frekvenciája megegyezik a kényszerítő erő frekvenciájával, míg amplitúdója függ az erőtől, a rugóállandótól, a tömegtől, a csillapítástól valamint a gerjesztő frekvenciától. Az anyagi pont mozgásegyenlete ekkor: . Az [[#eq:1|(1)]] egyenletnél bevezetett jelöléseket alkalmazva másodrendű lineáris, inhomogén differenciálegyenletet kapunk:
 +
$$\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\delta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega^2 x=\frac{F_0}{m}\sim(\omega t),$$
 +
ahol $F_0$ a kényszererő maximális értéke. Az egyenlet megoldása:
 +
{{eq|x{{=}}A\exp(-\delta t)\sin(\omega' t+\alpha)+\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2} }\sin(\omega t+\varphi)|eq:4|(4)}}
 +
melynek második tagja írja le az állandósult állapotot. A $\varphi$ fázisállandó nem az időmérés kezdetétől függ, hanem a kényszerítő erő fázisától való eltérés. Az állandósult állapot amplitúdójának maximuma van az
 +
{{eq|\omega_{\text{max} }{{=}}\sqrt{\omega_0^2-2\delta^2}|eq:5|(5)}}
 +
frekvenciánál, míg a fázisállandó
 +
$$\text{tg}\varphi=\frac{2\delta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}.$$
 +
A kényszerrezgés energiaviszonyainak jellemezésére az egy periódus alatt disszipált energia $\langle W\rangle$ és a rendszerben tárolt átlagos energia $\langle P\rangle$ hányadosával arányos ''jósági tényező''t használjuk
 +
$$Q=2\pi\frac{\langle W\rangle}{T\langle P\rangle}=\frac{\omega_0}{2\delta}.$$
 +
 
 +
==A kísérleti berendezés leírása==
 +
{{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_1.png|fig:1|1. ábra}}
 +
 
 +
A kísérleti berendezés az [[#fig:1|1. ábrán]] látható. Az alul elhelyezkedő elektronikai egység hátsó lapján található a kényszererőt létrehozó excenter. A kényszererő amplitúdója az amplitúdó-rúd helyzetének változtatásával szabályozható, ami a kényszert kifejtő zsinór rögzítési pontja és az excenter középpontja közötti távolságot befolyásolja [[#fig:2|(2. ábra)]]. A kényszert továbbító zsinór a tartóoszlop tetején található két csiga vájatain áthaladva egy hurokkal kapcsolódik a vizsgálandó rugó egyik végéhez. A másik véghez a skálával ellátott mérőrúd és a hozzá erősített ún. csillapító rúd csatlakozik. E két rúd alkotja a rezgőmozgást végző "alaptömeget", melynek értéke 50 g.
 +
 
 +
{{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_2.png|fig:2|2. ábra}}
 +
 
 +
A mérőkészlethez tartozik két 50 g tömegű rézkorong is. A korongokat a mérőrudat és csillapitórudat összekötő csavarmenetre lehet felerősíteni. A tartóoszlop középmagasságánál látható a rúdvezető, melyben optikai érzékelő van. A mérőrudat a rúdvezető téglalap alakú nyílásán kell átvezetni.
 +
 
 +
Helyes beállítás után a rezgés csillapodása - melyet a légellenállás ill. a berendezés egyes elemei között fellépő súrlódás okoz - igen kicsi. Ezért a csillapítás változtatása (növelése) céljából a kővetkezőképpen járhatunk el.
 +
 
 +
A tartórúdra egy olyan mágnes-párt szerelünk fel, melynek pofái között a távolság változtatható. Ezen mágnespofák között mozog az alumíniumból készült csillapítórúd. A mágneses tér hatására a mozgó fémrúdban örvényáramok keletkeznek, melyek Joule-hőjének disszipációja okozza a rendszer csillapodását. A mágnespofák közötti távolság csökkentésével a mágneses térerősség növelhető, azaz a disszipáció, vagyis a csillapítás fokozható.
 +
 
 +
===Beállítás===
 +
{{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_3.png|fig:3|3. ábra}}
 +
 
 +
# Ha a készülék jól van beállítva, a mérőrúd úgy függ, hogy egyik oldala sem ér hozzá a rúdvezető nyílásának falához ([[#fig:3|3. ábra]]). A nem jó a beállítás a 3. ábrán látható "b" vagy "c" esetben fordul elő. A "b" esetet az elektronika doboz változtatható magasságú lábainak megfelelő állításával korrigálhatjuk (vízszintezés). A "c" eset a mérőrúd felfüggesztésével javítható.
 +
# A fázis és amplitúdó pontos méréséhez úgy kell felfüggeszteni a mérőrudat, hogy egyensúlyi helyzetben  középvonala egybeessen a rúdvezető optikai érzékelőjével. Hogy ezt beállíthassa:
 +
## Kapcsolja be az elektronika doboz hátoldalán levő kapcsolót. Figyelje a rúdvezető LED-et. Ha a mérőrúd középvonala (8,5 cm) feljebb van, mint a rúdvezető felső éle, akkor a LED kialszik. Ha a középvonal lejjebb került, akkor a LED kigyullad.
 +
## Mozgassa úgy a mérőrudat, fel és le, hogy a középvonala áthaladjon a rúdvezetőn. Közben figyelje a FÁZIS kijelzést. Amikor a mérőrúd középvonala lefelé halad keresztül a rúdvezetőn, egy LED villog a fázisskálán. Annyira fordítsa el a kényszerkereket, hogy a fázist jelző LED éppen 0° fázishelyzetet mutasson.
 +
## Most pontosítsa a zsinór hosszát. Ez a zsinóron található plasztikcsattal állítható. Finom állítások a tartóoszlop tetején levő csavarral végezhetők. A zsinórhossz akkor megfelelő, ha egészen kicsi oszcillációknál a fázis LED ki-be kapcsol.
 +
 
 +
{{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_4.png|fig:4|4. ábra}}
 +
 
 +
Az elektronika doboz a [[#fig:4|4. ábrán]] látható. Az elülső lapon található a ''DRIVE'' kapcsoló. Ezzel indítható a motor, mely a kényszer kereket forgatja.
 +
A ''FREKVENCIA'' gombbal változtatható a kényszer frekvenciája. Óramutató járásával megegyezően forgatva növeli a frekvenciát.
 +
A ''FUNKCIÓ'' kapcsoló határozza meg azt, hogy az alábbi három változóból melyiket írja ki a digitális kijelző. A kijelző jobb oldalán egy ''LED'' mutatja, hogy melyik változó értéket olvashatjuk le.
 +
* ''FREQ.'' - A kényszerkerék frekvenciája (Hz)
 +
* ''AMPL.'' - A mérőrúd csúcstól-csúcsig amplitúdója (ez az amplitúdó kétszerese) (mm)
 +
* ''PERIOD'' - A mérőrúd egy teljes rezgésének periódusideje (s).
 +
 
 +
==Mérési feladatok==
 +
 
 +
===A rugóállandó mérése===
 +
Állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd 17 cm-es jele a rúdvezető alsó szélével egy vonalba essék! Erősítse az egyik 50 g-os rézsúlyt a mérőrúd és a csillapítórúd közé! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezze fel a második rézsúlyt is, és mérje meg az újabb megnyúlást! Számítsa ki a rugó rugóállandóját!
 +
 
 +
===Csillapítatlan rendszer lengésideje===
 +
Szabályozza be a készüléket! (Beállítás A és B pontok alapján) Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnes-pofákat! ''FUNKCIÓ'' kapcsolót állítsa ''PERIÓDUS-MÉRÉSRE''. Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, aztán engedje el! A digitális kijelző ekkor a rezgés ''PERIÓDUSIDEJÉT'' (s) mutatja. A mérést üres mérőrúddal, majd 50 és 100 g-os terhelésekkel is végezze el! Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!
 +
 
 +
===Kényszerrezgés amplitúdójának és sebesség-amplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében===
 +
A méréseket két különböző csillapítás esetén, mindkét esetben kétféle tömeggel (mérőrúd + 50 g, mérőrúd + 100 g) végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól a lehető legtávolabb állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a csillapítórúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!
 +
 
 +
Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét úgy, hogy már egészen kis kitéréseknél villogjon a digitális kijelző (beállítás 2/2 pont)! A FUNKCIÓ kapcsolót állítsa FREKVENCIA mérésre és a ''DRIVE'' kapcsolóval indítsa el a kényszerrezgést! A ''FREKVENCIA'' szabályozó gombbal lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát, és időről-időre váltson át az ''AMPLITÚDÓ'' funkcióra! (Itt a kijelző mm-ben megadja a csúcstól-csúcsig amplitúdót – ez az amplitúdó kétszerese.) Figyelje eközben a fázisállandót jelző ''LED'' értékét! Amikor a kényszerítő frekvencia megegyezik az $f_0$ sajátfrekvenciával, a fázisszög 90°. Keresse meg az $f_{\text{max} }$ rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális! [A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától [[#eq:5|(5)]].] Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját, majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!
 +
 
 +
Amennyiben mindent rendben talál, vegye fel táblázatosan a rezonanciafrekvenciánál 1 Hz-el kisebb és 1 Hz-el nagyobb frekvenciák közötti intervallumban 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is) a kitérési amplitúdókat! Ábrázolja az azonos tömeggel, de különböző csillapítással felvett görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben $f_{\text{max}}$ értékét!
 +
 
 +
A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeség-amplitúdó $(A\cdot 2\pi f=A\omega)$ értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebesség-amplitúdó - frekvencia görbéket!
 +
 
 +
===Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása===
 +
A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a [[#eq:3|(3)]] egyenleten alapul. Ekkor egymás utáni lengések amplitúdó csökkenéseit mérjük. Ennek észlelése akkor pontos, ha a lengő rendszer periódusideje eléggé nagy (kb. 3<sup>&minus;10</sup>s). Az alkalmazott rugónál a lengésidő rövidebb, emiatt egy másik módszer alkalmazása előnyösebb. A csillapítási- és jósági tényezők a sebesség-amplitúdó frekvenciafüggéséből  meghatározhatók. A sebesség-amplitúdó kifejezése:
 +
{{eq|A\omega{{=}}\frac{F\omega}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2} },|eq:6|(6)}}
 +
melynek maximuma $\omega_0$-nál van, ahol
 +
$$A\omega_0=\frac{F_0}{m2\delta}.$$.
 +
A maximum felének megfelelő frekvenciáknál ($f_1<f_2$, illetve $\omega_1<\omega_2$) $\omega_1$-nél
 +
$$\frac{F_0}{4m\delta}=\frac{F_0\omega_1}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega_1^2)^2+4\delta^2\omega_1^2} },$$
 +
$\omega_2$-nél
 +
$$\frac{F_0}{4m\delta}=\frac{F_0\omega_2}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega_2^2)^2+4\delta^2\omega_2^2} }.$$
 +
Négyzetre emelés és átrendezés után $(\omega_0^2-\omega_1^2)=\delta\omega_1\sqrt{12}$ ill. $(\omega_0^2+\omega_2^2)=\delta\omega_2\sqrt{12}$ adódik, míg $\delta$-t behelyettesítve $\omega_0=\sqrt{\omega_1\omega_2}$ $[f_0=\sqrt{f_1f_2}]$. Ezek alapján a $\delta$ csillapítási tényező
 +
{{eq|\delta{{=}}\frac{\omega_2-\omega_1}{\sqrt{12} }{{=}}\frac{2\pi(f_2-f_1)}{\sqrt{12} },|eq:7|(7)}}
 +
míg a $Q$ jósági tényező
 +
{{eq|Q{{=}}\frac{\omega_0}{2\delta}{{=}}\frac{\sqrt{3f_1f_2} }{f_2-f_1}.|eq:8|(8)}}
 +
Illesszen a [[#Kényszerrezgés amplitúdójának és sebesség-amplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében|3. pontban]] mért sebességamplitúdó adatokra a [[#eq:6|(6)]] egyenletnek megfelelő görbét és határozza meg a maximális sebesség-amplitúdó értékét, majd állapítsa meg azt a két frekvenciát melyeknél sebesség-amplitúdó a maximális érték fele! Számítsa ki a [[#eq:7|(7)]] és [[#eq:8|(8)]] képletek segítségével a csillapítási és jósági tényezőket!
 +
 
 +
===Lebegés vizsgálata===
 +
 
 +
{{fig|A_kényszerrezgés_vizsgálata_5.png|fig:5|5. ábra}}
 +
 
 +
Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinusz-hullám szuperpozíciójakor "lebegés" alakul ki [[#fig:5|(5. ábra)]]. Ha $t_A$ időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi $t_B$ időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája $f_L=\frac{f_1-f_2}{2}$, ahol $f_1$ és $f_2$ a két összetevő rezgés frekvenciája. A differenciálegyenlet megoldása [[#eq:4|(4)]] képlet tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló két fajta frekvenciát. Az egyik szinusz-hullám körfrekvenciája $\omega’$, a másiké $\omega$. Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő $\omega$ körfrekvenciája $\omega’$ közelében van, valamint, ha a csillapodás kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik.
 +
 
 +
Szerelje le újra a csillapító mágnespofákat és állítsa be pontosan a mérőrúd helyzetét. Határozza meg a rendszer sajátfrekvenciáját! (A [[#Csillapítatlan rendszer lengésideje|2. méréshez]] hasonlóan használja a készülék kijelzőjén a ''PERIÓDUS'' állást! $f_0=\frac{1}{T}$) Állítsa a kényszerkeréken az amplitúdót 2 mm-re! Kapcsolja be a kényszermozgást és szabályozza annak frekvenciáját úgy, hogy 0,1 Hz-el legyen alacsonyabb, mint $f_0$! Jegyezze fel mindét frekvencia értékét és kapcsolja ki a kényszert! Várjon, amíg a mérőrúd megáll! Állítsa a funkciókapcsolót ''AMPLITÚDÓ'' mérésre.
 +
 
 +
Helyezze a mérőrúd alá az ultrahangos érzékelőt! Indítsa el a számítógépen a Logger Lite programot. A program felismeri a rákapcsolt szenzort. Végezze el a következő beállításokat: ''Experiment - Data Collection - Length'': 120 s; ''Options - Graph Options - Axes Options - Scaling: Autoscale'' (mindkét tengelyen).
 +
 
 +
Indítsa el az adatgyűjtést, majd kapcsolja be a kényszerrezgést! A lebegés megszűntéig mérjen! Utána a mérési adatok a ''File- Export'' as paranccsal menthetők.
 +
 
 +
Ábrázolja az amplitúdót az idő függvényében! Határozza meg a burkoló szinusz-görbe periódusidejét és frekvenciáját! Vesse össze az elmélet alapján várható értékekkel!
 +
 
 +
</wlatex>

A lap 2012. február 13., 16:54-kori változata


A harmonikus rezgés alapvető fizikai jelenség. Vibrációk, oszcillációk harmonikus rezgéssel modellezhetők, ha az amplitúdók elég kicsinyek. A harmonikus mozgás differenciálegyenlete nem csupán a klasszikus fizikában (mechanika, villamosságtan), de a kvantumfizikában, a szilárdtestfizikában és az optikában is gyakran előfordul.


Tartalomjegyzék


Elméleti összefoglaló

Csillapítatlan rezgések

Ha egy \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű anyagi pontra rugalmas erő hat, akkor a mozgásegyenlet \setbox0\hbox{$ma=-sx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakú, ahol \setbox0\hbox{$s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a rugóállandó, \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a tömegpont kitérése az egyensúlyi helyzetből, \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a tömeg, és a a gyorsulás. A mozgásegyenlet megoldása

 
\[x=A\sin(\omega_0 t+\alpha),\]
(1)

ahol \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a kitérési amplitúdó, \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a fázisállandó,

 
\[\omega_0=\sqrt{\frac{s}{m} }\]
(2)

a csillapítatlan rezgő rendszer körfrekvenciája (\setbox0\hbox{$\omega_0=2\pi f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a megfelelő frekvencia). A harmonikus rezgőmozgás sebessége

\[v=\frac{\text{d} x}{\text{d} t}=A\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha),\]

ahol \setbox0\hbox{$A\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a maximális sebesség, a sebesség-amplitúdó.

Csillapodó rezgések

A csillapodást okozó erők gyakran a sebességgel arányosak. Ekkor a tömegpont mozgásegyenlete: \setbox0\hbox{$ma=-sx-k\nu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ami a \setbox0\hbox{$\delta=\frac{k}{2m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% csillapodási tényező (\setbox0\hbox{$k$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a súrlódásra jellemző mennyiség) és (2) felhasználásával az alábbi alakra hozható:

\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\delta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega^2 x=0.\]

A differenciálegyenlet megoldása \setbox0\hbox{$\omega_0^2\geq\delta^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% esetén időben csökkenő amplitúdójú lengéseket eredményez:

\[x=A\exp(-\delta t)\sin(\omega' t+\alpha).\]

A rezgés körfrekvenciája

\[\omega'=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}.\]

Az amplitúdó változás jellemzésére különböző mennyiségeket használnak. A csillapodási hányados két, azonos irányban egymás után kővetkező amplitúdó hányadosa \setbox0\hbox{$K=\frac{x_n}{x_{n+1} }=\exp(\delta T)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% , ahol \setbox0\hbox{$T=\frac{2\pi}{\omega}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Használatos még a K csillapodási hányados logaritmusa, az ún. logaritmikus dekrementum:

 
\[\Lambda=\ln K=\delta T.\]
(3)

Kényszerrezgések

Egy m tömegre motor és excenter segítségével időben periodikusan változó erőt alkalmazva egy átmeneti időszak után időben állandósult rezgés alakul ki, melynek frekvenciája megegyezik a kényszerítő erő frekvenciájával, míg amplitúdója függ az erőtől, a rugóállandótól, a tömegtől, a csillapítástól valamint a gerjesztő frekvenciától. Az anyagi pont mozgásegyenlete ekkor: . Az (1) egyenletnél bevezetett jelöléseket alkalmazva másodrendű lineáris, inhomogén differenciálegyenletet kapunk:

\[\frac{\text{d}^2x}{\text{d}t^2}+2\delta\frac{\text{d}x}{\text{d}t}+\omega^2 x=\frac{F_0}{m}\sim(\omega t),\]

ahol \setbox0\hbox{$F_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a kényszererő maximális értéke. Az egyenlet megoldása:

 
\[x=A\exp(-\delta t)\sin(\omega' t+\alpha)+\frac{F_0}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2} }\sin(\omega t+\varphi)\]
(4)

melynek második tagja írja le az állandósult állapotot. A \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázisállandó nem az időmérés kezdetétől függ, hanem a kényszerítő erő fázisától való eltérés. Az állandósult állapot amplitúdójának maximuma van az

 
\[\omega_{\text{max} }=\sqrt{\omega_0^2-2\delta^2}\]
(5)

frekvenciánál, míg a fázisállandó

\[\text{tg}\varphi=\frac{2\delta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}.\]

A kényszerrezgés energiaviszonyainak jellemezésére az egy periódus alatt disszipált energia \setbox0\hbox{$\langle W\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a rendszerben tárolt átlagos energia \setbox0\hbox{$\langle P\rangle$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hányadosával arányos jósági tényezőt használjuk

\[Q=2\pi\frac{\langle W\rangle}{T\langle P\rangle}=\frac{\omega_0}{2\delta}.\]

A kísérleti berendezés leírása

1. ábra

A kísérleti berendezés az 1. ábrán látható. Az alul elhelyezkedő elektronikai egység hátsó lapján található a kényszererőt létrehozó excenter. A kényszererő amplitúdója az amplitúdó-rúd helyzetének változtatásával szabályozható, ami a kényszert kifejtő zsinór rögzítési pontja és az excenter középpontja közötti távolságot befolyásolja (2. ábra). A kényszert továbbító zsinór a tartóoszlop tetején található két csiga vájatain áthaladva egy hurokkal kapcsolódik a vizsgálandó rugó egyik végéhez. A másik véghez a skálával ellátott mérőrúd és a hozzá erősített ún. csillapító rúd csatlakozik. E két rúd alkotja a rezgőmozgást végző "alaptömeget", melynek értéke 50 g.

2. ábra

A mérőkészlethez tartozik két 50 g tömegű rézkorong is. A korongokat a mérőrudat és csillapitórudat összekötő csavarmenetre lehet felerősíteni. A tartóoszlop középmagasságánál látható a rúdvezető, melyben optikai érzékelő van. A mérőrudat a rúdvezető téglalap alakú nyílásán kell átvezetni.

Helyes beállítás után a rezgés csillapodása - melyet a légellenállás ill. a berendezés egyes elemei között fellépő súrlódás okoz - igen kicsi. Ezért a csillapítás változtatása (növelése) céljából a kővetkezőképpen járhatunk el.

A tartórúdra egy olyan mágnes-párt szerelünk fel, melynek pofái között a távolság változtatható. Ezen mágnespofák között mozog az alumíniumból készült csillapítórúd. A mágneses tér hatására a mozgó fémrúdban örvényáramok keletkeznek, melyek Joule-hőjének disszipációja okozza a rendszer csillapodását. A mágnespofák közötti távolság csökkentésével a mágneses térerősség növelhető, azaz a disszipáció, vagyis a csillapítás fokozható.

Beállítás

3. ábra
  1. Ha a készülék jól van beállítva, a mérőrúd úgy függ, hogy egyik oldala sem ér hozzá a rúdvezető nyílásának falához (3. ábra). A nem jó a beállítás a 3. ábrán látható "b" vagy "c" esetben fordul elő. A "b" esetet az elektronika doboz változtatható magasságú lábainak megfelelő állításával korrigálhatjuk (vízszintezés). A "c" eset a mérőrúd felfüggesztésével javítható.
  2. A fázis és amplitúdó pontos méréséhez úgy kell felfüggeszteni a mérőrudat, hogy egyensúlyi helyzetben középvonala egybeessen a rúdvezető optikai érzékelőjével. Hogy ezt beállíthassa:
    1. Kapcsolja be az elektronika doboz hátoldalán levő kapcsolót. Figyelje a rúdvezető LED-et. Ha a mérőrúd középvonala (8,5 cm) feljebb van, mint a rúdvezető felső éle, akkor a LED kialszik. Ha a középvonal lejjebb került, akkor a LED kigyullad.
    2. Mozgassa úgy a mérőrudat, fel és le, hogy a középvonala áthaladjon a rúdvezetőn. Közben figyelje a FÁZIS kijelzést. Amikor a mérőrúd középvonala lefelé halad keresztül a rúdvezetőn, egy LED villog a fázisskálán. Annyira fordítsa el a kényszerkereket, hogy a fázist jelző LED éppen 0° fázishelyzetet mutasson.
    3. Most pontosítsa a zsinór hosszát. Ez a zsinóron található plasztikcsattal állítható. Finom állítások a tartóoszlop tetején levő csavarral végezhetők. A zsinórhossz akkor megfelelő, ha egészen kicsi oszcillációknál a fázis LED ki-be kapcsol.
4. ábra

Az elektronika doboz a 4. ábrán látható. Az elülső lapon található a DRIVE kapcsoló. Ezzel indítható a motor, mely a kényszer kereket forgatja. A FREKVENCIA gombbal változtatható a kényszer frekvenciája. Óramutató járásával megegyezően forgatva növeli a frekvenciát. A FUNKCIÓ kapcsoló határozza meg azt, hogy az alábbi három változóból melyiket írja ki a digitális kijelző. A kijelző jobb oldalán egy LED mutatja, hogy melyik változó értéket olvashatjuk le.

  • FREQ. - A kényszerkerék frekvenciája (Hz)
  • AMPL. - A mérőrúd csúcstól-csúcsig amplitúdója (ez az amplitúdó kétszerese) (mm)
  • PERIOD - A mérőrúd egy teljes rezgésének periódusideje (s).

Mérési feladatok

A rugóállandó mérése

Állítsa be a zsinór hosszát úgy, hogy a mérőrúd 17 cm-es jele a rúdvezető alsó szélével egy vonalba essék! Erősítse az egyik 50 g-os rézsúlyt a mérőrúd és a csillapítórúd közé! Mérje le a rugó sztatikus megnyúlását! Ezután helyezze fel a második rézsúlyt is, és mérje meg az újabb megnyúlást! Számítsa ki a rugó rugóállandóját!

Csillapítatlan rendszer lengésideje

Szabályozza be a készüléket! (Beállítás A és B pontok alapján) Ehhez a méréshez szerelje le a csillapító mágnes-pofákat! FUNKCIÓ kapcsolót állítsa PERIÓDUS-MÉRÉSRE. Húzza a mérőrudat kb. 5 cm-rel az egyensúlyi helyzete alá, aztán engedje el! A digitális kijelző ekkor a rezgés PERIÓDUSIDEJÉT (s) mutatja. A mérést üres mérőrúddal, majd 50 és 100 g-os terhelésekkel is végezze el! Az eredményeket foglalja táblázatba és vesse össze az elmélet alapján kiszámolt értékekkel!

Kényszerrezgés amplitúdójának és sebesség-amplitúdójának vizsgálata a kényszerítő frekvencia függvényében

A méréseket két különböző csillapítás esetén, mindkét esetben kétféle tömeggel (mérőrúd + 50 g, mérőrúd + 100 g) végezze el! Szerelje vissza a csillapító mágnespofákat! A kis csillapításhoz a csillapító mágnespofákat egymástól a lehető legtávolabb állítsa be! A nagy csillapításhoz tekerje a mágnespofákat a lehető legközelebb, de csak annyira, hogy ne érjenek hozzá a csillapítórúdhoz! Ekkor mérje meg és jegyezze fel a mágnespofák távolságát!

Gondosan állítsa be a mérőrúd helyzetét úgy, hogy már egészen kis kitéréseknél villogjon a digitális kijelző (beállítás 2/2 pont)! A FUNKCIÓ kapcsolót állítsa FREKVENCIA mérésre és a DRIVE kapcsolóval indítsa el a kényszerrezgést! A FREKVENCIA szabályozó gombbal lassan (fokozatosan) növelje a frekvenciát, és időről-időre váltson át az AMPLITÚDÓ funkcióra! (Itt a kijelző mm-ben megadja a csúcstól-csúcsig amplitúdót – ez az amplitúdó kétszerese.) Figyelje eközben a fázisállandót jelző LED értékét! Amikor a kényszerítő frekvencia megegyezik az \setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sajátfrekvenciával, a fázisszög 90°. Keresse meg az \setbox0\hbox{$f_{\text{max} }$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% rezonanciafrekvenciát, ahol az amplitúdó maximális! [A rezonanciafrekvencia – különösen nagy csillapítás esetében – eltér a sajátfrekvenciától (5).] Amennyiben a rezgések amplitúdója túl nagy vagy túl kicsi lenne, úgy kapcsolja ki a készüléket és csökkentse, illetve növelje a kényszererő amplitúdóját, majd ellenőrizze a kitérést a rezonanciafrekvenciánál!

Amennyiben mindent rendben talál, vegye fel táblázatosan a rezonanciafrekvenciánál 1 Hz-el kisebb és 1 Hz-el nagyobb frekvenciák közötti intervallumban 0,1 Hz-enként (és a rezonancia frekvencia közelében ennél sűrűbben is) a kitérési amplitúdókat! Ábrázolja az azonos tömeggel, de különböző csillapítással felvett görbéket közös diagrammon! Adja meg minden esetben \setbox0\hbox{$f_{\text{max}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékét!

A korábban megmért görbék valamennyi pontjánál (a kitérési amplitúdó és frekvencia ismeretében) számítsa ki a sebeség-amplitúdó \setbox0\hbox{$(A\cdot 2\pi f=A\omega)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékeket! Foglalja táblázatba és ábrázolja diagrammon a sebesség-amplitúdó - frekvencia görbéket!

Csillapítási tényező és jósági tényező meghatározása

A csillapítási tényező kísérleti meghatározásának egyik lehetséges módszere a (3) egyenleten alapul. Ekkor egymás utáni lengések amplitúdó csökkenéseit mérjük. Ennek észlelése akkor pontos, ha a lengő rendszer periódusideje eléggé nagy (kb. 3−10s). Az alkalmazott rugónál a lengésidő rövidebb, emiatt egy másik módszer alkalmazása előnyösebb. A csillapítási- és jósági tényezők a sebesség-amplitúdó frekvenciafüggéséből meghatározhatók. A sebesség-amplitúdó kifejezése:

 
\[A\omega=\frac{F\omega}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+4\delta^2\omega^2} },\]
(6)

melynek maximuma \setbox0\hbox{$\omega_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nál van, ahol

\[A\omega_0=\frac{F_0}{m2\delta}.\]
.

A maximum felének megfelelő frekvenciáknál (\setbox0\hbox{$f_1<f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, illetve \setbox0\hbox{$\omega_1<\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) \setbox0\hbox{$\omega_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nél

\[\frac{F_0}{4m\delta}=\frac{F_0\omega_1}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega_1^2)^2+4\delta^2\omega_1^2} },\]

\setbox0\hbox{$\omega_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nél

\[\frac{F_0}{4m\delta}=\frac{F_0\omega_2}{m\sqrt{(\omega_0^2-\omega_2^2)^2+4\delta^2\omega_2^2} }.\]

Négyzetre emelés és átrendezés után \setbox0\hbox{$(\omega_0^2-\omega_1^2)=\delta\omega_1\sqrt{12}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% ill. \setbox0\hbox{$(\omega_0^2+\omega_2^2)=\delta\omega_2\sqrt{12}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% adódik, míg \setbox0\hbox{$\delta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t behelyettesítve \setbox0\hbox{$\omega_0=\sqrt{\omega_1\omega_2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% \setbox0\hbox{$[f_0=\sqrt{f_1f_2}]$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezek alapján a \setbox0\hbox{$\delta$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% csillapítási tényező

 
\[\delta=\frac{\omega_2-\omega_1}{\sqrt{12} }=\frac{2\pi(f_2-f_1)}{\sqrt{12} },\]
(7)

míg a \setbox0\hbox{$Q$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% jósági tényező

 
\[Q=\frac{\omega_0}{2\delta}=\frac{\sqrt{3f_1f_2} }{f_2-f_1}.\]
(8)

Illesszen a 3. pontban mért sebességamplitúdó adatokra a (6) egyenletnek megfelelő görbét és határozza meg a maximális sebesség-amplitúdó értékét, majd állapítsa meg azt a két frekvenciát melyeknél sebesség-amplitúdó a maximális érték fele! Számítsa ki a (7) és (8) képletek segítségével a csillapítási és jósági tényezőket!

Lebegés vizsgálata

5. ábra

Két, kis mértékben különböző frekvenciájú, szinusz-hullám szuperpozíciójakor "lebegés" alakul ki (5. ábra). Ha \setbox0\hbox{$t_A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban a rezgések éppen fázisban vannak, akkor a hullámok összeadódnak és az eredő rezgés maximális amplitúdójú lesz. Egy későbbi \setbox0\hbox{$t_B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban azonban a frekvencia különbség miatt a rezgések ellentétes fázisba kerülnek, és egymás hatását csökkentve minimális amplitúdót eredményeznek. Az amplitúdó változások burkológörbéje szintén szinuszos. A burkológörbe frekvenciája \setbox0\hbox{$f_L=\frac{f_1-f_2}{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol \setbox0\hbox{$f_1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$f_2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a két összetevő rezgés frekvenciája. A differenciálegyenlet megoldása (4) képlet tartalmazza a bekapcsolás után kialakuló két fajta frekvenciát. Az egyik szinusz-hullám körfrekvenciája \setbox0\hbox{$\omega’$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a másiké \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Lebegés akkor figyelhető meg, ha a kényszererő \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciája \setbox0\hbox{$\omega’$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közelében van, valamint, ha a csillapodás kicsi. Amint a tranziens elhal, a lebegés is megszűnik.

Szerelje le újra a csillapító mágnespofákat és állítsa be pontosan a mérőrúd helyzetét. Határozza meg a rendszer sajátfrekvenciáját! (A 2. méréshez hasonlóan használja a készülék kijelzőjén a PERIÓDUS állást! \setbox0\hbox{$f_0=\frac{1}{T}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) Állítsa a kényszerkeréken az amplitúdót 2 mm-re! Kapcsolja be a kényszermozgást és szabályozza annak frekvenciáját úgy, hogy 0,1 Hz-el legyen alacsonyabb, mint \setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%! Jegyezze fel mindét frekvencia értékét és kapcsolja ki a kényszert! Várjon, amíg a mérőrúd megáll! Állítsa a funkciókapcsolót AMPLITÚDÓ mérésre.

Helyezze a mérőrúd alá az ultrahangos érzékelőt! Indítsa el a számítógépen a Logger Lite programot. A program felismeri a rákapcsolt szenzort. Végezze el a következő beállításokat: Experiment - Data Collection - Length: 120 s; Options - Graph Options - Axes Options - Scaling: Autoscale (mindkét tengelyen).

Indítsa el az adatgyűjtést, majd kapcsolja be a kényszerrezgést! A lebegés megszűntéig mérjen! Utána a mérési adatok a File- Export as paranccsal menthetők.

Ábrázolja az amplitúdót az idő függvényében! Határozza meg a burkoló szinusz-görbe periódusidejét és frekvenciáját! Vesse össze az elmélet alapján várható értékekkel!


A lap eredeti címe: „https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=A_kényszerrezgés_vizsgálata&oldid=3057”