A zaj mint jel

SZERKESZTÉS ALATT!

A mérés célja

Különböző mennyiségek mérésénél általában a vizsgált mennyiség várható értékére vagyunk kíváncsiak, és a várható érték körüli fluktuációt zavaró tényezőnek tekintjük. Sok esetben viszont egy fizikai mennyiség "zaja" több információt hordoz a rendszerről mint maga a várható érték. A mérési gyakorlaton különböző zajjelenségeket vizsgálunk egy spektrumanalizátor segítségével. Először ellenállások termikus zajának mérése alapján meghatározzuk a Boltzmann állandó értékét. Ezután egy félvezető dióda zajának méréséből az elektrontöltés értékét határozzuk meg. Végül a Barkhausen zaj jelenségét tanulmányozzuk.

Elméleti összefoglalás

A zaj definíciója

1. ábra

Egy időben változó mennyiség (pl. $\setbox0\hbox{$I(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áram, lásd 1. ábra) mérésekor definiálhatjuk a mért mennyiség időbeli átlagát, $\setbox0\hbox{$\left<I(t)\right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, illetve az átlagtól vett eltérést, $\setbox0\hbox{$\Delta I=I(t)-\left<I(t)\right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A zajt jellemezhetnénk egyszerűen az áram szórásnégyzetével, $\setbox0\hbox{$\left<(\Delta I(t))^2\right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azonban ekkor nem vennénk figyelembe hogy mérőrendszerünk csak véges sávszélességgel tud mérni, azaz egy bizonyos határfrekvencia fölött már nem tudjuk felbontani a jel időbeli fluktuációit. Ezért célszerű a zaj értékét a 2. ábrán szemléltetett módon egy bizonyos frekvenciasávra vonatkoztatni: az $\setbox0\hbox{$I(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ jelet egy $\setbox0\hbox{$f_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ középfrekvencia körüli $\setbox0\hbox{$\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű sáváteresztő szűrőn keresztül mérjük, azaz csak az adott frekvenciasávra jellemző $\setbox0\hbox{$\left<(\Delta I(t|f_0,\Delta f))^2\right>$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szórásnégyzetet mérünk.

2. ábra

Az így kapott szórásnégyzet kis $\setbox0\hbox{$\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ esetén arányos a $\setbox0\hbox{$\Delta f$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sávszélességgel, az arányossági tényezőt pedig a zaj spektrális sűrűségének nevezzük:

$\[\left<(\Delta I(t|f_0,\Delta f))^2\right>=S_I(f_0)\Delta f.\]$

Áramzaj esetén az $\setbox0\hbox{$S_I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ spektrális sűrűség mértékegysége $\setbox0\hbox{$\mathrm{A}^2/\mathrm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A mérnöki gyakorlatban gyakran a spektrális sűrűség négyzetgyökével jellemzik egy eszköz zaját $\setbox0\hbox{$\mathrm{A}/\sqrt{\mathrm{Hz})}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ mértékegységgel.

Az áramzajhoz hasonlóan definiálhatjuk a feszültségzajt is:

$\[\left<(\Delta V(t|f_0,\Delta f))^2\right>=S_V(f_0)\Delta f.\]$

Egy egyszerű ellenállás esetén $\setbox0\hbox{$\Delta V=R \Delta I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, azaz $\setbox0\hbox{$S_V=R^2 S_I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Egy nemlineáris eszköznél, pl. egy diódánál $\setbox0\hbox{$S_V=R_d^2 S_I$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, ahol $\setbox0\hbox{$R_d=dV/dI$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ az eszköz differenciális ellenállása a mérésnél alkalmazott munkapontban.

A fenti definíciók megismerése után érdemes megnézni a mérésnél használt Stanford research Systems 770 típusú spektrumanalizátor specificációit, melyek szerint a műszer bemeneti zaja a legkisebb méréshatárban $\setbox0\hbox{$5\mathrm{nV}/\sqrt{\mathrm{Hz}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. Ez azt jelenti, hogy a műszer bemenetét rövidre zárva a várt zérus feszültség helyett a bemeneti erősítő feszültségzaját látjuk, melynek a szórása $\setbox0\hbox{$5\mathrm{nV}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ $\setbox0\hbox{$1\mathrm{Hz}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$-es sávszélességű mérés esetén.

Puskalövések zaja

A zaj fogalma egy klasszikus példával is jól szemléltethető, nézzük meg hogy mi történik ha egy puskából véletlenszerűen lövöldözünk, úgy hogy a lövések időpontja egymástól teljesen független. Ha a szomszédos lövések között eltelt átlagos idő $\setbox0\hbox{$\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ akkor $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt a lövések átlagos száma értelemszerűen $\setbox0\hbox{$\left< N \right> =\Delta t/\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A tényleges lövésszám azonban nyilvánvalóan fluktuálni fog az átlagérték körül. A szórásnégyzet meghatározásához érdemes kiszámolni a $\setbox0\hbox{$P_N(\Delta t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ valószínűséget, azaz annak a valószínűségét, hogy $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lövés dördül. Ha $\setbox0\hbox{$P_N(\Delta t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értékét ismerjük, akkor $\setbox0\hbox{$P_N(\Delta t+dt)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ értéke a

$\[P_N(\Delta t+dt)=P_{N-1}(\Delta t)\frac{dt}{\tau}+P_N(\Delta t)\left(1-\frac{dt}{\tau}\right)\]$

egyenlettel írható fel, azaz a kezdeti $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és az utána következő $\setbox0\hbox{$dt<<\tau$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt vagy $\setbox0\hbox{$N-1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ill. $\setbox0\hbox{$1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ vagy $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ ill. $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ lövés dördül. A megfelelő valószínűségeket a lövések függetlensége miatt szorozhatjuk össze. A fenti egyenlet átrendezésével a

$\[\frac{dP_N(\Delta t)}{dt}=\frac{P_{N-1}(\Delta t)-P_N(\Delta t)}{\tau}\]$

differenciálegyenletet kapjuk. Megmutatható, hogy ezen feltételt a

$\[P_N(\Delta t)=\frac{(\Delta t)^N}{\tau^N N!}e^{-\Delta t/\tau}\]$

Poisson eloszlás elégíti ki. A Poisson eloszlás speciális tulajdonsága, hogy a szórásnégyzet megegyezik a várható értékkel, azaz

$\[\left< (\Delta N)^2 \right>=\left< N \right>=\frac{\Delta t}{\tau}.\]$

Elektronok sörétzaja

A fenti gondolatmenetet vonatkoztathatjuk elektronokra is ha teljesül az, hogy az elektronok véletlenszerűen, egymástól függetlenül jutnak át az egyik elektródából a másikba. Tegyük fel, hogy mérőrendszerünkkel az elektromos áramot $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időbeli felbontással tudjuk mérni. Egy $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szélességű mintavételezési intervallum alatt $\setbox0\hbox{$I=Ne/\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ áramot detektálunk ahol a $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ idő alatt áthaladó eletronok $\setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ számának eloszlását a fenti Poisson eloszlás adja meg. Így a mért áram várható értéke $\setbox0\hbox{$\left< I \right>=\left< N \right>e/\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$, míg az áram szórásnégyzete $\setbox0\hbox{$\left< (\Delta I)^2 \right>=\left< (\Delta N)^2 \right>e^2/(\Delta t)^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A Nyquist - Shannon mintavételezési törvény szerint $\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időfelbontás esetén a mért jelet $\setbox0\hbox{$f_{\mathrm{max}}=1/2\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ maximális frekvenciáig tudjuk rekonstruálni. Ez alapján a mért áramzaj spektrális sűrűsége:

$\[S_I=\frac{\left< (\Delta I)^2 \right>}{f_{\mathrm{max}}}=2e\left< I \right>.\]$

A puskagolyós analógia alapján az elektronok diszkrét töltéséből adódó áramzajt sörétzajnak szokták nevezni. Fontos megemlíteni, hogy a sörétzaj fehérzaj, azaz a spektrális sűrűség frekvenciafüggetlen. Az előbbiekben levezetett zajformula a sörétzajnak is egyik speciális esetét írja le, az ún. Poisson zajt, mely egymástól független elektronok detektálására vonatkozik. A kvantummechanikából ismert Pauli elv szerint (lásd a laborgyakorlattel párhuzamosan futó Kvantummechanika tárgy anyagát) két elektron nem lehet ugyan abban az állapotban, azaz egy adott időpontban nem tudunk két teljesen egyforma állapotú elektront detektálni. Egy makroszkópikus vezetőben az elektronok nem egymástól függetlenül, hanem inkább sorban egymást követve érkeznek az árammérőhöz, így a fenti zajformula nem érvényes, a Poisson zajnál lényegesen kisebb sörétzajt tapasztalunk. Azonban a Poisson zaj feltételét megvalósíthatjuk akkor, ha az elektronok útjába egy olyan akadályt helyezünk, melyen véletlenszerűen az elektronoknak csak egy kis része tud keresztüljutni (3a ábra).

Az első sörétzaj mérést Walter Schottky végezte 1918-ban [1]: híres kísérletében egy vákuumdióda anódáramának zaját vizsgálta. A vákuumdióda felépítését a 3b. ábra szemlélteti. Egy fűtött katódból véletlenszerűen kilépő elektronok a katód és anód közé kapcsolt feszültség hatására eljutnak az anódba, ahol áramot detektálunk. A vákuumdióda ideális eszköz a sörétzaj tanulmányozásához, hiszen az elektronok valóban véletlenül, és egymástól függetlenül emittálódnak, így a mért zajsűrűség és az áram hányadosából az elektrontöltés a Poisson zaj formulája meghatározható.

3a. ábra	3b. ábra

Termikus zaj

A termikus zaj véges hőmérsékleten jelentkezik a különböző állapotok betöltésének termikus fluktuációi miatt. Egy fermionikus rendszerben egy állapot betöltési száma n=0,1 lehet. A betöltési szám várható értéke a Fermi függvény,

.

A betöltési szám szórás négyzete:

,

ahol kihasználtuk, hogy fermionokra n2=n. A kifejezést energia szerint kiintegrálva ( ) rögtön látszik, hogy a termikus zaj arányos a hőmérséklettel.

A termikus zaj spektrális sűrűségét a fluktuáció-disszipáció tétel alapján adhatjuk meg, mely egy rendszer egyensúlyi fluktuációi és az egyensúlyból kitérített rendszer lineáris válaszfüggvénye között teremt összefüggést. Elektromos áram esetén az ez egyensúlyi fluktuáció nem más mint az áramzaj, a lineáris válaszfüggvény pedig a külső feszültségre adott válasz, vagyis a vezetőképesség. Így egy rendszer áramzaja:

.

Így alacsony frekvencián ( ) az áramfluktuációk termikus zaja:

.

Hasonlóképpen a feszültségzaj:

Látjuk, hogy a termikus zaj segítségével "csupán" feszültségmérés alapján meghatározhatjuk egy rendszer abszolút hőmérsékletét. Persze a precíz zajmérések komoly méréstechnikai kihívást jelentenek, hiszen nanovoltos vagy még kisebb feszültségek fluktuációját kell pontosan mérni. Ennek ellenére a termikus zaj mérésének komoly metrológiai jelentősége van, hiszen számos módszerrel mérhetünk precízen hőmérsékletváltozást, de az abszolút hőmérsékletet nem könnyű meghatározni. A jelenleg érvényes hőmérsékletstandardok mind ún. másodlagos hőmérők, melyek nem alapvető fizikai törvény hanem megfelelő kalibráció alapján mérik az abszolút hőmérékletet. (A szobahőmérséklet körüli széles tartományban pl. platina vékonyréteg ellenálláshőmérőt használnak standardként.) A termikus zaj mérése alapvető fizikai állandók (Boltzmann állandó + elektron töltés) alapján vezeti vissza a hőmérsékletmérést feszültségmérésre, így a hőmérsékletstandardok kalibrálásának egyik alapvető módszere.

==1/f zaj

A termikus zaj és a sörétzaj mellett még két fontos zajtípusról érdemes megemlékezni. A szennyezők és rácshibák véletlen mozgásából adódó ún. 1/f zaj, mely alacsony frekvenciákon dominál, és a nevét is a zajsűrűség tipikus frekvenciafüggéséről kapta.

Mérési elrendezés

2. ábra

Hivatkozások

[1] Schottky, W. Über spontane Stromschwankungen in verschiedenen Elektrizitätsleitern, Annalen der Physik 57 p541–567 (1918).