Elektrosztatika példák - Az elektromos térerősség helyfüggő lineáris töltéssűrűségű szigetelő gyűrű tengelye mentén forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Erőhatások elektromos erőtérben, elektromos térerősség
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#Egy vékony szigetelő drótot $R$ sugarú kör alakúra hajlítunk, és $\lambda=\lambda_0 sin^2\varphi$ lineáris töltéssűrűséggel látunk el, ahol $\varphi$ a drót kezdőpontja és az aktuális hely közötti középponti szög. Határozzuk meg, és ábrázoljuk a térerősséget a kör tengelyén a kör síkjától mért $z$ távolság függvényében!
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=a kört $d\varphi$ szög alatt látszó ívelemekre bontjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait.}} {{Végeredmény|content=$$E=\dfrac{\lambda_0 R}{4\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>
== Megoldás ==
<wlatex>
[[Kép:KFGY2-1-13uj.png|360px]]

A gyűrűt elemi részekre osztjuk, és a kérdéses pontban összegezzük a gyűrűelemek térerősség járulékait. A gyűrűt az ábrán látható $\varphi$ szög szerint parametrizáljuk, a kört $d\varphi$ szög alatt látszó ívelemekre bontjuk. Ebben az esetben egy ívelem $dQ$ töltése a következő:

$$dQ=R\lambda d\varphi=R\lambda_0sin^2\varphi d\varphi$$

Az elemi ívelem és a kérdéses pont $s$ távolsága:

$$s=\sqrt{R^2+z^2}$$

A kérdéses pontban Coulomb törvényével meghatározhatjuk az elemi ívdarab $dE$ térerősség járulékát:

$$dE=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{dQ}{s^2}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{R\lambda_0sin^2\varphi}{s^2}d\varphi  $$

A rendszer hengerszimmetriája miatt a $dE$ térerősség járulékok tengelyre merőleges komponensei kioltják egymást, míg a $z$ irányú komponensek összegződnek. A $dE$ térerősség $z$ irányú komponense:

$$dE_{z}=dEcos(\theta)$$

Ahol $\theta$ a $z$ tengely és $s$ által bezárt szög:

$$cos(\theta)=\dfrac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}$$

$$dE_{z}=\dfrac{\lambda_0 R}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}}sin^2\varphi d\varphi$$

Összegezzük az elemi ívdarabok $z$ irányú térerősség járulékát, és megkapjuk a térerősség értékét a kérdéses pontban:

$$ E=\int_0^{2\pi}dE_z=\dfrac{\lambda_0 R}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}} \int_0^{2\pi}  sin^2\varphi d\varphi$$ 

Az integrált kiértékelve megkapjuk a térerősséget:

$$E=\dfrac{\lambda_0 R}{4\varepsilon_{0}}\dfrac{z}{(R^2+z^2)^{3/2}}$$
</wlatex>
</noinclude>