Elektrosztatika példák - Hengeres vezetékből és végtelen vezető síkból álló rendszer kapacitása forrásának megtekintése

<noinclude>
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 2.]]
[[Kategória:Szerkesztő:Beleznai]]
[[Kategória:Elektrosztatika]]
{{Kísérleti fizika gyakorlat
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 2.
| témakör     = Elektrosztatika - Kapacitás, kondenzátorok. Elrendezések energiája 
}}
== Feladat ==
</noinclude><wlatex>#$l$ hosszúságú egyenes hengeres vezeték párhuzamosan helyezkedik el egy végtelen vezető síkkal. A vezeték keresztmetszetének sugara $a$, a távolság a vezeték síkhoz legközelebbi pontja és a sík között $d$. Mekkora a rendszer kapacitása? ($a<<d<<l$) </wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=$$C=2C^*=\dfrac{2 \pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d-a}{a} \right)}$$}}
</wlatex></includeonly><noinclude>

== Megoldás ==
<wlatex>
Induljunk ki az előző, [[Elektrosztatika példák - Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása|Párhuzamos hengeres vezetékek kapacitása]] megoldásából. Ott kiszámítottuk, hogy két egymástól $b$ távolságra levő párhuzamos, $a$ sugarú, $l$ hosszúságú fémhenger kapacitása:

$$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{b}{a} \right)}$$ 

Válasszuk a hengerek távolságát $b=2d+a$-nak (a $b$ paraméter jelentését, lsd. 4. feladat ábráján). Ebben az esetben a kapacitás:\

$$C^*=\dfrac{\pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d}{a} \right)}$$
 
Vegyük észre, hogy a párhuzamos hengerek 1. ábrán jelölt szimmetriasíkja egy ekvipotenciális felület. Ez könnyen belátható, hiszen ezt a síkot az elektromos tér erővonalai mindenütt merőlegesen döfik. Emiatt a síkban egy próbatöltést tetszőlegesen mozgathatunk munkavégzés nélkül, tehát a sík pontjai azonos potenciálon vannak.

[[Kép:KFGY2-4-5.png|none|400px]]

S ha így van, egy vékony fémlapot is elhelyezhetünk ebben a síkban anélkül, hogy az elektromos tér változást szenvedne. Az így kapott elrendezés ekvivalens két sorba kapcsolt síklap-henger kondenzátorral, mely a jelen feladat kitűzésében szerepel. Gondolatkísérletünkkel tehát beláttuk, hogy a $C$ kapacitású síklap-henger kondenzátor, és a fent hivatkozott $C^*$ kapacitású henger-henger kondenzátor kapacitásaira igaz az alábbi összefüggés:

$$\dfrac{1}{C^*}=\dfrac{1}{C}+\dfrac{1}{C}$$  

Ebből kifejezve $C$-t:

$$C=2C^*=\dfrac{2 \pi l \varepsilon_0}{ln \left( \dfrac{2d}{a} \right)}$$
</wlatex>
</noinclude>