Erőtan I. - Futószalag

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Werner (vitalap | szerkesztései) 2014. november 10., 19:01-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Erőtan I.
Feladatok listája:
  1. Erőtan I. - 2.1.2
  2. Erőtan I. - 2.1.4
  3. Erőtan I. - 2.1.7
  4. Erőtan I. - 2.1.9
  5. Erőtan I. - 2.1.14
  6. Erőtan I. - 2.1.16
  7. Erőtan I. - 2.1.26
  8. Erőtan I. - 2.1.30
  9. Erőtan I. - 2.1.35
  10. Erőtan I. - 2.1.38
  11. Erőtan I. - 2.1.48
  12. Erőtan I. - 2.3.1
  13. Erőtan I. - 2.4.1
  14. Erőtan I. - 2.4.4
  15. Erőtan I. - 2.4.7
  16. Erőtan I. - Harmonikus rezgés gravitációs térben
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy gyárban egy érdekes futószalagot látunk. A futószalag egy vízszintes lap, amit \setbox0\hbox{$R$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sugarú kerekek együttes forgatása mozgat. A lap mindig vízszintes. Rajta nyugszik egy kicsiny test, a lap és a test között a súrlódási együttható \setbox0\hbox{$\mu$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    a.) Legfeljebb mekkora legyen a szögsebesség, ha nem szeretnénk, hogy a test elváljon a laptól?
    b.) Legalább mekkora legyen a kerekek szögsebessége, ha szeretnénk, hogy a test megcsússzon a lapon?
    c.) Kvalitative milyen mozgást végez a test?

Futoszalag.svg

Megoldás

  1. a.) Ha a test nem válik el a laptól, akkor a függőleges koordinátájának időfüggése:
    \[y(t) = R \sin (\omega t + \varphi) \, ,\]
    ahol \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valamilyen (számunkra most lényegtelen) kezdőfázis. Deriváljuk ezt kétszer idő szerint!
    \[a_y(t) = - R \omega^2 \sin(\omega t + \varphi) \, . \]
    Akkor nem válik el a laptól, ha a függőleges gyorsulás maximuma kisebb mint \setbox0\hbox{$g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ebből \setbox0\hbox{$R \omega^2 < g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, vagyis
    \[\omega < \sqrt{\frac{g}{R}} \; .\]
    b.) A feladat megválaszolásához először tegyük fel, hogy a test nem csúszik meg. Ekkor a koordinátáinak időfüggése (\setbox0\hbox{$\varphi = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% az egyszerűség kedvéért.):
    \[y(t) = R \sin (\omega t) \, ,\]
    \[x(t) = R \cos(\omega t) \, .\]
    A gyorsulás függőleges komponense:
    \[a_y(t) = - R \omega^2 \sin(\omega t) \, , \]
    ebből a nyomóerő időfüggése
    \[N = m a_y + m g = - m R \omega^2 \sin(\omega t) + m g \, .\]
    Feltéve, hogy az a.) feladatban kapottnál kisebb az \setbox0\hbox{$omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ez biztosan pozitív.
    A gyorsulás vízszintes komponense
    \[a_x(t) = - R \omega^2 \cos(\omega t) \, .\]
    Ezt a tapadási súrlódási erő hozza létre, azaz
    \[ T = - m R \omega^2 \cos(\omega t)\]
    . A test akkor csúszik meg, ha ez nagyobb, mint \setbox0\hbox{$\mu N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, azaz
    \[ |T| > \mu N\]
    \[ m R \omega^2 |\cos(\omega t)| > \mu m g - \mu m R \omega^2 \sin(\omega t) \, .\]
    Arról hamar meggyőződhetünk, hogy megcsúszástól akkor kell

tartanunk először, amikor a test épp...