Erőtan I. - 2.1.14

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Erőtan I.
Feladatok listája:
  1. Erőtan I. - 2.1.2
  2. Erőtan I. - 2.1.4
  3. Erőtan I. - 2.1.7
  4. Erőtan I. - 2.1.9
  5. Erőtan I. - 2.1.14
  6. Erőtan I. - 2.1.16
  7. Erőtan I. - 2.1.26
  8. Erőtan I. - 2.1.30
  9. Erőtan I. - 2.1.35
  10. Erőtan I. - 2.1.38
  11. Erőtan I. - 2.1.48
  12. Erőtan I. - 2.3.1
  13. Erőtan I. - 2.4.1
  14. Erőtan I. - 2.4.4
  15. Erőtan I. - 2.4.7
  16. Erőtan I. - Harmonikus rezgés gravitációs térben
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (2.1.14) Egy \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hajlásszögű lejtő tetejéről a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban elengedünk egy \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzamosan \setbox0\hbox{$F(t)=kt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságú erővel felfelé. A mozgást addig vizsgáljuk, míg a test újra meg nem áll. Numerikus adatok : \setbox0\hbox{$\alpha=45^\circ$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$m=4\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$k=\sqrt{2} \,\mathrm{\frac{N}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$\mu=0,5$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    a) Mekkora a test gyorsulása a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban?
    b) Add meg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, míg a testre ható erők kiegyenlítik egymást?
    c) Mikor áll meg a test?
    d) Mekkora és milyen irányú a test gyorsulása a megállás pillanatában?
    e) Ha a lejtőt \setbox0\hbox{$a_{0}=g/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gyorsulással megtolnánk, mekkora lenne a test gyorsulása a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban?

Megoldás

  1. a-b) Egy általános időpillanatban a testre ható erőket az ábrán ábrázoltuk. A gravitációs erőt érdemes felbontani egy lejtőre merőleges \setbox0\hbox{$F_{g1}=F_{g}\cos\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és egy a lejtővel párhuzamos \setbox0\hbox{$F_{g2}=F_{g}\sin\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% komponensre.
    2.1.14.svg
    A lejtőre merőleges irányban nem történik mozgás, ezért
    \[N=F_{g1}\,.\]
    A lejtővel párhuzamos irányban a gyorsulást az eredő erő határozza meg. A gyorsulást a lejtő irányában lefelé tekintjük pozitívnak.
    \[ma(t)=F_{g2}-F(t)-S\,,\]
    ahol a súrlódási erőt a nyomóerő segítségével adhatjuk meg: \setbox0\hbox{$S=\mu N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    \[ma(t)=mg\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-kt\]
    A kezdeti \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpillanatban \setbox0\hbox{$a(0)=g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

    Amikor a testre ható erők kiegyenlítik egymást, akkor a gyorsulás zérus. Ez abban a \setbox0\hbox{$t_{e}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban történik meg, amikor \setbox0\hbox{$a(t_{e})=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ebből
    \[t_{e}=\frac{mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=9,81\,\mathrm{s}\,.\]
    c) A sebesség az idő függvényében az alábbiak szerint számolható ki.
    \[v(t)=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'\]
    A kezdeti sebesség 0, így
    \[v(t)=gt\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)-\frac{k}{2m}t^{2}\,.\]
    A test abban a \setbox0\hbox{$t_{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpillanatban áll meg, amikor \setbox0\hbox{$v(t_{s})=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ebből az egyenletből a \setbox0\hbox{$t_{s}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% is adódik természetesen, hiszen a kezdeti időpillanatban is \setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% volt a sebesség, de fizikailag most az egyenlet másik megoldása érdekes.
    \[t_{s}=\frac{2mg}{k}\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=19,62\,\mathrm{s}\,.\]
    d) A megállás pillanatában a gyorsulás
    \[a(t_{s}-0)=-g\left(\sin\alpha - \mu\cos\alpha\right)=-3,47\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\]
    éppen \setbox0\hbox{$-1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-szerese a kezdeti gyorsulásnak. \setbox0\hbox{$a(t_s+0)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ban viszont a gyorsulás nulla, mivel a tapadás egy ideig állva tartja a testet, amíg a külső húzóerő elég nagyra nem nő. A gyorsulás-idő függvénynek tehát a megállás pillanatában szakadása van!
    e) Ha megtoljuk a lejtőt az ábra szerint balra, akkor a lejtőhöz rögzített rendszerben egy tehetetlenségi erőt kell figyelembe vennünk. A gravitációs erő mellett a tehetetlenségi erőt is érdemes felbontani lejtővel párhuzamos és arra merőleges komponensre. A mozgásegyenlet a lejtőre merőleges irányban az erők kiegyenlítik egymást.
    \[N=F_{g}\cos\alpha-F_{t}\sin\alpha=mg\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)\,.\]
    A lejtővel párhuzamos irányban
    \[ma'(0)=F_{g}\sin\alpha-\mu N+F_{t}\cos\alpha=mg\left(\sin\alpha-\mu\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)+\frac{\cos\alpha}{2} \right)\]
    \[a'(0)=g\left(\sin\alpha-\mu\left(\cos\alpha-\frac{\sin\alpha}{2}\right)+\frac{\cos\alpha}{2} \right)=8,67\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\]
    a test gyorsulása a lejtőhöz viszonyítva. Megjegyezzük, hogy az álló rendszerhez képest ehhez a gyorsuláshoz vektoriálisan hozzá kell adni az \setbox0\hbox{$a_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gyorsulást. Továbbá ha a lejtőt az ábrán jobbra toljuk meg ugyanekkora gyorsulással, akkor a súrlódási erő épp a tapadási határon lesz, azaz a test nem is indul el a lejtőn.