„Erőtan I. - 2.1.48” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Egy $m=2\,\mathrm{kg}$ tömegű anyagi pontra $F=-Dx$ alakú rugalmas erő hat. $x_{1}=1\,\mathrm{m}$ távolságban az erő nagysága $F_{1}=8\,\mathrm{N}$. A kezdő időpontban $x_{0}=1\,\mathrm{m}$ és $v_{0}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}$. Határozzuk meg a pont mozgását az idő függvényében!
+
</noinclude><wlatex># (2.1.38) Egy $m=2\,\mathrm{kg}$ tömegű anyagi pontra $F=-Dx$ alakú rugalmas erő hat. $x_{1}=1\,\mathrm{m}$ távolságban az erő nagysága $F_{1}=8\,\mathrm{N}$. A kezdő időpontban $x_{0}=1\,\mathrm{m}$ és $v_{0}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}$. Határozzuk meg a pont mozgását az idő függvényében!
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a tömegpontra vonatkozó mozgásegyenletet! Oldjuk meg az így kapott differenciálegyenletet!}}{{Végeredmény|content= $$x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}\cos(\omega t-\varphi_{0})$$ }}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=Írjuk fel a tömegpontra vonatkozó mozgásegyenletet! Oldjuk meg az így kapott differenciálegyenletet!}}{{Végeredmény|content= $$x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}\cos(\omega t-\varphi_{0})$$ }}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==

A lap 2013. augusztus 27., 21:16-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Erőtan I.
Feladatok listája:
  1. Erőtan I. - 2.1.2
  2. Erőtan I. - 2.1.4
  3. Erőtan I. - 2.1.7
  4. Erőtan I. - 2.1.9
  5. Erőtan I. - 2.1.14
  6. Erőtan I. - 2.1.16
  7. Erőtan I. - 2.1.26
  8. Erőtan I. - 2.1.30
  9. Erőtan I. - 2.1.35
  10. Erőtan I. - 2.1.38
  11. Erőtan I. - 2.1.48
  12. Erőtan I. - 2.3.1
  13. Erőtan I. - 2.4.1
  14. Erőtan I. - 2.4.4
  15. Erőtan I. - 2.4.7
  16. Erőtan I. - Harmonikus rezgés gravitációs térben
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (2.1.38) Egy \setbox0\hbox{$m=2\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű anyagi pontra \setbox0\hbox{$F=-Dx$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% alakú rugalmas erő hat. \setbox0\hbox{$x_{1}=1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban az erő nagysága \setbox0\hbox{$F_{1}=8\,\mathrm{N}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A kezdő időpontban \setbox0\hbox{$x_{0}=1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$v_{0}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Határozzuk meg a pont mozgását az idő függvényében!

Megoldás

  1. A rugóállandó \setbox0\hbox{$D=F_{1}/x_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerint számolható ki. A tömegpont mozgásegyenlete
    \[ma=-Dx\,.\]
    A gyorsulás éppen az elmozdulás második időszerinti deriváltja, melyet \setbox0\hbox{$\ddot{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerint jelölünk. Így a mozgásegyenlet a
    \[\ddot{x}+\omega^{2}x=0\]
    differenciálegyenletre vezet, ahol bevezettük az \setbox0\hbox{$\omega=\sqrt{D/m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% körfrekvenciát. A differenciál egyenlet két független megoldása \setbox0\hbox{$\cos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\sin(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, melyek mindketten egy harmonikus rezgőmozgást írnak le. A differenciálegyenlet lineáris, ezért az általános megoldás ezek tetszőleges lineáris kombinációjaként, azaz
    \[x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\,,\]
    a sebesség pedig
    \[v(t)=\dot{x}(t)=-A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t)\,.\]
    Az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% együtthatókat a kezdeti feltételek segítségével határozhatjuk meg.
    \[x(0)=x_{0}\qquad\Rightarrow\qquad A=x_{0}\]
    \[v(0)=v_{0}\qquad\Rightarrow\qquad B\omega=v_{0}\]
    Ezek alapján megadható a pont mozgása.
    \[x(t)=x_{0}\cos(\omega t)+\frac{v_{0}}{\omega}\sin(\omega t)\]
    \[x_{0}=1\,\mathrm{m}\qquad  v_{0}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad \omega=\sqrt{\frac{F_{1}}{x_{1}m}}=2\frac{1}{s}\]
Bizonyos esetekben hasznos lehet az eredményünket tovább alakítani.
\[x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}\left[\frac{x_{0}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}}\cos(\omega t)+ \frac{\frac{v_{0}}{\omega}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}}\sin(\omega t)\right]\]
Vezessük be azt a \setbox0\hbox{$\varphi_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fázist, melyre
\[\mbox{tg}\,\varphi_{0}=\frac{v_{0}}{\omega x_{0}}\,.\]
Ekkor
\[x(t)=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}\left[\cos\varphi_{0}\cos(\omega t)+\sin\varphi_{0}\sin(\omega t)\right]=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\frac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}}\cos(\omega t-\varphi_{0})\]
alakban írható a megoldás, amelyről könnyedén le tudjuk olvasni a rezgés amplitúdóját és a kezdeti fázist.