Erőtan II. - 4.13

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2014. január 9., 15:31-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Erőtan II.
Feladatok listája:
  1. Erőtan II. - 2.1.21
  2. Erőtan II. - 2.1.23
  3. Erőtan II. - 4.2
  4. Erőtan II. - 4.3
  5. Erőtan II. - 4.4
  6. Erőtan II. - 4.8
  7. Erőtan II. - 4.13
  8. Erőtan II. - 4.24
  9. Erőtan II. - 4.37
  10. Erőtan II. - 6.7
  11. Erőtan II. - 6.8
  12. Erőtan II. - 6.10
  13. Erőtan II. - Forgó rotor még egyszer
  14. Erőtan II. - Coriolis
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*4.13) Egy liftben \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% direkciós erejű rugóra erősítve egy \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testet függesztünk fel. A test a \setbox0\hbox{$t<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontokban nyugalomban van. A lift a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban \setbox0\hbox{$a_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gyorsulással emelkedni kezd. (4.13. ábra) \setbox0\hbox{$D=5 \,\mathrm{\frac{N}{m}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$m=0,2 \,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$a_{0}=2 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    a) Milyennek észleli a test mozgását a liftbeli megfigyelő?
    b) Külön ábrán jelölje be az m tömegű testre - a gyorsuló lift koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét az ábrán bejelölt (lifthez rögzített) koordinátarendszerben!
    c) Határozza meg a test mozgását jellemző \setbox0\hbox{$y(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt, ha a test az ábra szerinti \setbox0\hbox{$y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátájú pontban történő elhelyezkedése a \setbox0\hbox{$t<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontokban fennálló egyensúlyi állapotra érvényes! (Az \setbox0\hbox{$y(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény jellemző mennyiségeit számszerűen adja meg!)
    Kfgy1 05 4 13.svg

Megoldás

  1. a) A gyorsulás hatására a lifthez rögzített vonatkoztatási rendszerben a testre hat egy függőleges irányú és \setbox0\hbox{$F_{t}=ma_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságú tehetetlenségi erő. Ennek hatására a test a rugón rezegni kezd.
    b) A mozgásegyenlet a lift koordináta-rendszerében
    \[m\ddot{y}=D\Delta l-mg-F_{t}\,,\]
    ahol a rugó megnyúlása \setbox0\hbox{$\Delta l=\Delta l_{0}-y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerint függ össze a test helyzetével. Az egyensúlyi helyzetben (\setbox0\hbox{$t<0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) a megnyúlás \setbox0\hbox{$\Delta l_{0}=\frac{mg}{D}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% volt. Így a mozgásegyenlet
    \[m\ddot{y}=-Dy-ma_{0}\,.\]
    c) A mozgásegyenlet egy differenciál egyenlet, melyet az \setbox0\hbox{$y(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\dot{y}(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kezdeti feltételek mellett kell megoldani.
    \[\ddot{y}+\omega^{2}(y-y_{0})=0\qquad \omega=\sqrt{\frac{D}{m}}=5\frac{1}{\,\mathrm{s}}\qquad y_{0}=-\frac{ma_{0}}{D}=-0,08\,\mathrm{m}\]
    A \setbox0\hbox{$\Delta y=y-y_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra vonatkozó \setbox0\hbox{$\Delta\ddot{y}+\omega^{2}\Delta y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% differenciálegyenlet két független megoldása \setbox0\hbox{$\sin(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\cos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így
    \[y(t)=y_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,\]
    ahol az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paramétereket a kezdeti feltételek segítségével kell maghatározni.
    \[0=y(0)=y_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-y_{0}\]
    \[0=\dot{y}(0)=A\omega\qquad\Rightarrow \qquad A=0\]
    Így
    \[y(t)=y_{0}(1-\cos(\omega t))\,.\]