Erőtan II. - 4.3

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2014. január 9., 15:30-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Erőtan II.
Feladatok listája:
  1. Erőtan II. - 2.1.21
  2. Erőtan II. - 2.1.23
  3. Erőtan II. - 4.2
  4. Erőtan II. - 4.3
  5. Erőtan II. - 4.4
  6. Erőtan II. - 4.8
  7. Erőtan II. - 4.13
  8. Erőtan II. - 4.24
  9. Erőtan II. - 4.37
  10. Erőtan II. - 6.7
  11. Erőtan II. - 6.8
  12. Erőtan II. - 6.10
  13. Erőtan II. - Forgó rotor még egyszer
  14. Erőtan II. - Coriolis
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*4.3) Egy vasúti kocsiban \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú fonálra pontszerű \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömeget felfüggesztve ingát készítenek. A vasúti kocsi \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban vízszintes pályán \setbox0\hbox{$a_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% gyorsulással kezd mozogni. \setbox0\hbox{$l=1\,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$m=1\,\mathrm{kg}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$a_{0}=0,5 \,\mathrm{\frac{m}{s^2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    a) Milyennek észleli az \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű test mozgását a vasúti kocsiban levő megfigyelő?
    b) Külön ábrán jelölje be az \setbox0\hbox{$m$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tömegű testre - a gyorsuló kocsi koordinátarendszerében - ható erőket, és írja fel a test mozgásegyenletét!
    c) Határozza meg a test mozgását leíró \setbox0\hbox{$\varphi(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt! (A \setbox0\hbox{$\varphi(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvény jellemző mennyiségeit számszerűen adja meg!)

Megoldás

  1. a) A gyorsítás hatására a kocsihoz rögzített vonatkoztatási rendszerben egy vízszintes irányú, \setbox0\hbox{$F_{t}=ma_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% nagyságú tehetetlenségi erő is hat az ingára. Így a kezdeti időpillanatban az eredő erő nem zérus, az inga nincs egyensúlyban, tehát elkezd lengeni.
    b) A test pozícióját egyértelműen meghatározza a \setbox0\hbox{$\varphi(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szög, melyet a függőlegestől mérünk. A gravitációs erőt és a tehetlenségi erőt felbontottuk egy kötéllel párhuzamos és egy arra merőleges komponensre. Az erők a kötél irányában kiegyenlítik egymást. Arra merőleges irányban
    \[ma_{t}(t)=-mg\sin\varphi+ma_{0}\cos\varphi\,.\]
    ahol a tangenciális gyorsulás \setbox0\hbox{$a_{t}=l\ddot{\varphi}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szerint függ össze a szöggyorsulásal. A mozgásegyenlet jobboldalán \setbox0\hbox{$\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-t kiemelve
    \[l\ddot{\varphi}=-\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}\left(\frac{g}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}\sin\varphi-\frac{a_{0}}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}\cos\varphi\right)\,.\]
    Vezessük be a \setbox0\hbox{$\varphi_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyensúlyi kitérést úgy, hogy
    \[\sin\varphi_{0}=\frac{a_{0}}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}\qquad\qquad \cos\varphi_{0}=\frac{g}{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}\,.\]
    Ekkor a mozgásegyenlet
    \[\ddot{\varphi}+\omega^{2}\sin(\varphi-\varphi_{0})=0\qquad\qquad \omega^{2}=\frac{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}{l}\]
    alakban írható. Ezt a differenciál egyenletet kellene megoldani a \setbox0\hbox{$\varphi(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\dot{\varphi}(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kezdeti feltételekkel.
    c) A \setbox0\hbox{$\varphi(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% mennyiséget a
    \[\ddot{\varphi}+\omega^{2}\sin(\varphi-\varphi_{0})=0\]
    differenciálegyenlet határozza meg, ahol
    \[\varphi_{0}=2,86^{\circ}\qquad\qquad\omega=\sqrt{\frac{\sqrt{g^{2}+a_{0}^{2}}}{l}}=3,16\frac{1}{\,\mathrm{s}}\,.\]
    A differenciálegyenletet nem lehet általánosan megoldani csak kis kitérésekre. A lengés során \setbox0\hbox{$0<\varphi(t)<2\varphi_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezért kis kitérésű lengésekről akkor beszélhetünk, ha \setbox0\hbox{$\varphi_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% is kicsi. Ez akkor, teljesül, ha \setbox0\hbox{$a_{0}\ll g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ebben a határesetben \setbox0\hbox{$\sin(\varphi-\varphi_{0})\approx \varphi-\varphi_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, vagyis a differenciálegyenlet
    \[\ddot{\varphi}+\omega^{2}(\varphi-\varphi_{0})=0\]
    szerint írható. A \setbox0\hbox{$\Delta\varphi(t)=\varphi(t)-\varphi_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ra vonatkozó
    \[\Delta\ddot{\varphi}+\omega^{2}\Delta\varphi=0\]
    differenciálegyenlet két független megoldása \setbox0\hbox{$\sin(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\cos(\omega t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így
    \[\varphi(t)=\varphi_{0}+A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)\,,\]
    melyben az \setbox0\hbox{$A$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% paramétereket a kezdeti feltételek segítségével illeszthetjük.
    \[0=\varphi(0)=\varphi_{0}+B\qquad\Rightarrow\qquad B=-\varphi_{0}\]
    \[0=\dot{\varphi}(0)=A\omega \qquad\Rightarrow\qquad A=0\]
    Tehát
    \[\varphi(t)=\varphi_{0}\left(1-\cos(\omega t)\right)\,.\]
    Kfgy1 05 4 3m.svg