Integrálás

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Integrálás
Feladatok listája:
  1. Alapvető integrálok
  2. Területszámítás
  3. Parciális integrálás
  4. Vegyes integrálok
  5. Tömegközéppont számítás
  6. Időfüggvények
  7. Forgástest
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladatok

  1. Határozzuk meg az alábbi integrálokat!
    a)
    \[\int \left(3+4x+5x^{2}\right)dx\]
    b)
    \[\int_{-1}^{2}\left(x^{2}-\sin(5x)\right)dx\]
    c)
    \[\int_{0}^{\pi}\sin^{2}x\,dx\]
    d)
    \[\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx\]
    e)
    \[\int\sqrt{3x+2}dx\]
    f)
    \[\int\frac{1}{2x}dx\]

  2. Határozzuk meg az \setbox0\hbox{$ f_1 (x) = \cos x $}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és az \setbox0\hbox{$ f_2 (x) = \sqrt{ 1 - x^2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvények által közrefogott területet a [-1,1] intervallumon!
  3. * Határozzuk meg az alábbi integrálokat parciális integrálással!
    a)
    \[\int x\cos x \,dx\]
    b)
    \[I=\int x^{2}e^{2x}dx\]
    c)
    \[I=\int e^{x}\sin x\,dx\]

  4. * Határozzuk meg az alábbi integrálokat lehetőség szerint többféle módszerrel!
    a)
    \[\int e^{x}\mbox{sh} x\,dx\]
    b)
    \[\int\frac{1}{x^{2}+3}dx\]
    c)
    \[\int_{0}^{\pi}\sin^{3}x\,dx\]
    d)
    \[\int\frac{\ln (2x)}{x}dx\]

  5. Egy \setbox0\hbox{$d$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú rúd az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengelyen fekszik, lineáris sűrűsége \setbox0\hbox{$\lambda(x)=\lambda_{0}+\lambda_{1}x^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, és az origóban van a kisebb sűrűségű vége. (\setbox0\hbox{$\lambda_1>0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) Hol van a rúd tömegközéppontja?
  6. *
    a) Az alábbi határozott integrál a változó felső \setbox0\hbox{$v$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% határ miatt annak függvénye:
    \[I(v)=\int_{0}^{v}\frac{1}{1-\alpha v'}dv'=t\]
    és egyenlő a \setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időváltozóval. Határozzuk meg a \setbox0\hbox{$v(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt!
    b) Az alábbi határozott integrál a változó felső \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% határ miatt annak függvénye:
    \[\alpha t= \int \limits _{\omega _0} ^\omega \frac{1}{\omega '^2} d\omega ' = I(\omega)\]
    Határozzuk meg az \setbox0\hbox{$\omega(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt!
    c) Az alábbi határozott integrál a változó \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% határ miatt annak függvénye:
    \[I (h) = \int \limits _{h_0} ^h \frac {1}{\sqrt{h '}} dh' = -c t \]
    Határozzuk meg a \setbox0\hbox{$h(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényt!
  7. Egy parabola-antenna a nagy viharban leesett a háztetőről, és úgy ért a földre, hogy szimmetriatengelye éppen függőleges. A nagy esőben a tányér megtelt vízzel. Tudjuk, hogy a tányér mélysége középen \setbox0\hbox{$h = 0.1 \, m \, ,$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a tányér sugara pedig \setbox0\hbox{$R = 0.5 \, m \, .$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%
    a) Határozzuk meg, hogy mekkora térfogatú víz gyűlt össze a tányérban?
    b) Mekkora a tányér (belső) felülete?