Kaotikus kettős inga vizsgálata V-scope-pal

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Vanko (vitalap | szerkesztései) 2012. február 3., 15:32-kor történt szerkesztése után volt.


A mérés célja:

  • megismerkedni egy kaotikus rendszerrel,
  • tanulmányozni a mozgás kaotikussá válását.

Ennek érdekében:

  • röviden bemutatjuk a kaotikus kettős ingát,
  • mérjük a kaotikus kettős inga mozgását V-scope segítségével,
  • kiértékeljük a mérési eredményeket.


Tartalomjegyzék


Elméleti összefoglaló

A kaotikus kettős inga

1. ábra

Kettős ingát úgy készíthetünk, hogy egy inga végéhez csuklóval egy másik ingát erősítünk (1. ábra). Ez a rendszer, egyszerűsége ellenére, kaotikusan viselkedik.

A káosz fogalma

2. ábra

A kaotikus rendszer viselkedése hosszútávon megjósolhatatlan. Ennek oka a kezdőfeltételekre való rendkívüli érzékenység: ha a rendszert a legcsekélyebb mértékben különböző kezdeti feltételekkel hagyjuk magára, akkor véges időn belül teljesen eltérően fog viselkedni. Ugyanakkor pontosan ugyanazt a kezdőállapotot – ha másért nem, a Heisenberg-féle határozatlansági reláció miatt – soha nem tudjuk megvalósítani.

Mikor lehet egy rendszer kaotikus? Ha a rendszernek legalább három szabad paramétere van és a rendszert leíró differenciál-egyenletek nemlineáris tagot is tartalmaznak. A három szabad paraméter azért szükséges, mert ekkor a fázistérben kialakulhat olyan trajektória, amely nem konvergál sem egy véges ponthoz, sem a végtelenbe, és ugyanakkor soha nem záródik. Két dimenzióban ez nem lehetséges (2. ábra).

A kettős inga, mint kaotikus rendszer

A kettős inga egy állapotát legegyszerűbben a két kar szöghelyzetével és szögsebességével adhatjuk meg. Ez összesen négy paraméter, de – konzervatív rendszer esetében – az energia-megmaradás miatt a négyből csak három paraméter változhat függetlenül. A rendszer differenciál-egyenletei könnyen felírhatóak és adott kezdeti feltételek mellett numerikus módszerekkel megoldhatóak. (Lásd az őszi szorgalmi feladatot!) Numerikus modellezésnél, a valódi kísérletektől eltérően, természetesen megtehető, hogy pontosan ugyanabból az állapotból indítjuk el a rendszert - és ekkor a megoldás is ugyanaz lesz.

A mérési gyakorlaton azt vizsgáljuk, hogy különböző indítási helyzetek (azaz különböző kezdeti energiák) esetében mennyire érzékeny a rendszer a kezdőfeltételekre. Ehhez a kettős ingát a lehető legpontosabban ugyanabból a helyzetből többször egymásután el kell indítani, és az egyes mozgásokat össze kell hasonlítani. Az összehasonlítás sokféle paraméter szerint lehetséges, de a különbségek akkor a leglátványosabbak, ha az egyes karok forgásszögét ábrázoljuk az idő függvényében.

A V-scope mérőberendezés

A V-scope mérőberendezés és a Vscope for Windows szoftver részletes leírása a Csatolt ingák mérése V-scope-pal című fejezetben található.

A mérési elrendezés

A gyakorlaton vizsgált kettős inga golyós csapágyakkal egymáshoz, illetve egy stabil állványhoz erősített fa lapokból áll (tehát az 1. ábrán látható rajztól eltérően kettős fizikai inga). A golyóscsapágyaknak köszönhetően a rendszer csillapítása kicsi (de természetesen nem nulla). Az energiaveszteség csökkentése érdekében fontos az állvány minél stabilabb rögzítése (ólom és beton nehezékekkel).

A mozgás vizsgálatakor a rögzített tengelyű, hosszú ingakar (továbbiakban nagy kar) rögzített végét választjuk a koordinátarendszer origójának. A két kart összekapcsoló tengelyhez rögzíthetjük a V-scope sárga, míg a rövidebb ingakar (továbbiakban kis kar) végéhez a kék gombocskát. A V-scope tornyait a kettős ingától kb. 3 m távolságra, az ingák lengéssíkjával párhuzamosan állítjuk fel. A méréshez használható "sablon"-ban a vízszintes tengelyt \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nek, a függőleges tengelyt \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nak definiáltuk.

Mérési feladatok

Mérőberendezés felállítása

Ellenőrizze, hogy a V-scope tornyai megfelelően vannak-e csatlakoztatva a mikroszámítógéphez, illetve a mikroszámítógép a PC-hez! Kapcsolja be a mikroszámítógépet és a PC-t, majd indítsa el a V-scope for Windows szoftvert! A "Sablonok" mappában nyissa meg a méréshez előkészített, de adatokat nem tartalmazó kaotikus.vsw fájlt ("sablon"-t)! A Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.5 részében leírtak szerint állítsa be az origót a nagy ingakar tengelyéhez. (A mérőpár egyik tagja tartsa ott valamelyik gombocskát a beállítás alatt!) Rögzítse a sárga gombocskát a nagy, a kék gombocskát a kis ingakar végén lévő tartóba, majd ellenőrizze a Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.4 részében leírt beállításokat!

Mérés 5°-s kitérítésnél

A nagy kar végén lévő cérna segítségével térítse ki a nagy kart körülbelül 5°-kal a függőlegeshez képest! A kis kart hagyja szabadon, függőleges helyzetben lógni! A piros "Record New Data" gombra való kattintással indítsa el a V-scope-ot és a "műszerek"-en olvassa le és jegyezze fel a sárga gombocska x és y koordinátáját! Ha az értékek már nem változnak, engedje el a cérnát! (Vigyázzon arra, hogy az indításkor ne rántsa meg a cérnát, az inga ne kapjon kezdősebességet!) A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven a "D/Vscope/Meresek" mappába!

Ezután a piros "Record New Data" gombra való kattintással indítsa el újra a V-scope-ot, és a "műszerek" segítségével állítsa be a lehető legnagyobb pontossággal az előző indítási helyzetet! Győződjön meg róla, hogy mindkét inga nyugalomban van és engedje el a cérnát! A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven!

Ismételje meg még kétszer a mérést! (Tehát ugyanabból az indítási helyzetből összesen 4 mérést végezzen!)

Mérés további kezdőállapotokból

Ismételje meg a 2. pontban leírtakat a nagy ingakar 30, 60, 90, 120, 150 és 175°-os kitérítésével! Mindegyik esetben négy-négy mérést végezzen!

A mérési adatok feldolgozása

Nyissa meg a Vscope for Windows szoftver segítségével egyenként a fájlokat! A visszajátszó gombok (Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.5 része, 1. táblázat) segítségével keresse meg azt a pillanatot, amikor a mozgás elindul! Az "óráról" (az időt mutató "műszerről") olvassa le az ehhez a pillanathoz tartozó \setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időt! Az Edit/Trim Data parancs hatására megjelenő "Trim Data" ablakban (Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.7 része) vágja le a \setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpont előtti adatokat! Ezáltal a mozgás kezdőpillanata \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lesz. Ehhez hasonlóan vágja le a \setbox0\hbox{$t=30\,\text{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% utáni adatokat! Így a továbbiakban egyforma hosszúságú adatsorokkal lehet dolgozni. Ezután mentse el a módosított fájlt! A Save Table paranccsal kapcsolatos problémák miatt (Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.6 része) az adatok text­fájlba való kiolvasásához használja a kiolvaso.exe programot!

Az adatok további kiértékelése szabadon választható programmal (pl. Excel táblázatkezelő, Pascal, Basic, gnuplot, stb.) végezhető.

Koordináták számolása

A V-scope a gombocskákat nem egy időben, hanem felváltva méri (először a sárga, majd a kék gombocskát). Így a kék gombocska relatív helyzetének pontosabb kiszámításához a sárga gombocska koordinátáihoz tartozó időadatokat a mintavételezési periódussal csökkenteni kell, és a kék gombocska koordinátáihoz tartozó időpontokhoz interpolációval kell meghatározni a sárga gombocska koordinátáit. Ezután a sárga és a kék gombocska \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátáiból határozza meg a kék gombocska sárga gombocskához viszonyított \setbox0\hbox{$x_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relatív koordinátáit!

Forgásszög meghatározása

A sárga gombocska \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, illetve a kék gombocska \setbox0\hbox{$x_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátáiból határozza meg a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Figyeljen arra, hogy a kis kar többször is körbefordulhat, ezért a szög \setbox0\hbox{$2\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nél nagyobb, illetve negatív is lehet! (Egy lehetséges módszer a gombocskák sebességének, majd a karok előjeles szögsebességének meghatározása, majd ennek a függvénynek idő szerinti numerikus integrálása. Természetesen más módszert is választhat.)

Adatok ábrázolása, kiértékelése

Ábrázolja (külön-külön) a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Az ugyanonnan elindított mérések eredményeit ugyanabban a grafikonban ábrázolja! Vizsgálja meg, hogy különböző indítási helyzetek esetében mennyi ideig "reprodukálódik" a mozgás és mikor válik kaotikussá! Eredményeit foglalja táblázatba és értékelje!