„Kaotikus kettős inga vizsgálata V-scope-pal” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
56. sor: 56. sor:
 
===A kettős inga, mint kaotikus rendszer===
 
===A kettős inga, mint kaotikus rendszer===
  
A kettős inga egy állapotát legegyszerűbben a két kar szöghelyzetével és szögsebességével adhatjuk meg. Ez összesen négy paraméter, de – konzervatív rendszer esetében – az energia-megmaradás miatt a négyből csak három paraméter változhat függetlenül. A rendszer differenciál-egyenletei könnyen felírhatóak és adott kezdeti feltételek mellett numerikus módszerekkel megoldhatóak. (Lásd az őszi [http://goliat.eik.bme.hu/~vanko/labor/Szorgalmi.pdf szorgalmi feladatot]!) Numerikus modellezésnél, a valódi kísérletektől eltérően, természetesen megtehető, hogy pontosan ugyanabból az állapotból indítjuk el a rendszert - és ekkor a megoldás is ugyanaz lesz.
+
A kettős inga egy állapotát legegyszerűbben a két kar szöghelyzetével és szögsebességével adhatjuk meg. Ez összesen négy paraméter, de – konzervatív rendszer esetében – az energia-megmaradás miatt a négyből csak három paraméter változhat függetlenül. A rendszer differenciál-egyenletei könnyen felírhatóak és adott kezdeti feltételek mellett numerikus módszerekkel megoldhatóak. Numerikus modellezésnél, a valódi kísérletektől eltérően, természetesen megtehető, hogy pontosan ugyanabból az állapotból indítjuk el a rendszert - és ekkor a megoldás is ugyanaz lesz.
  
 
A mérési gyakorlaton azt vizsgáljuk, hogy különböző indítási helyzetek (azaz különböző kezdeti energiák) esetében mennyire érzékeny a rendszer a kezdőfeltételekre. Ehhez a kettős ingát a lehető legpontosabban ugyanabból a helyzetből többször egymásután el kell indítani, és az egyes mozgásokat össze kell hasonlítani. Az összehasonlítás sokféle paraméter szerint lehetséges, de a különbségek akkor a leglátványosabbak, ha az egyes karok forgásszögét ábrázoljuk az idő függvényében.
 
A mérési gyakorlaton azt vizsgáljuk, hogy különböző indítási helyzetek (azaz különböző kezdeti energiák) esetében mennyire érzékeny a rendszer a kezdőfeltételekre. Ehhez a kettős ingát a lehető legpontosabban ugyanabból a helyzetből többször egymásután el kell indítani, és az egyes mozgásokat össze kell hasonlítani. Az összehasonlítás sokféle paraméter szerint lehetséges, de a különbségek akkor a leglátványosabbak, ha az egyes karok forgásszögét ábrázoljuk az idő függvényében.
72. sor: 72. sor:
 
==Mérési feladatok==
 
==Mérési feladatok==
  
===Mérőberendezés felállítása===
+
'''1.''' Ellenőrizze, hogy a V-scope tornyai megfelelően vannak-e csatlakoztatva a mikroszámítógéphez, illetve a mikroszámítógép a PC-hez! Kapcsolja be a mikroszámítógépet és a PC-t, majd indítsa el a V-scope for Windows szoftvert! A "Sablonok" mappában nyissa meg a méréshez előkészített, de adatokat nem tartalmazó kaotikus.vsw fájlt ("sablon"-t)! A [[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.5 részében]] leírtak szerint állítsa be az origót a nagy ingakar tengelyéhez. (A mérőpár egyik tagja tartsa ott valamelyik gombocskát a beállítás alatt!) Rögzítse a sárga gombocskát a nagy, a kék gombocskát a kis ingakar végén lévő tartóba, majd ellenőrizze a [[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.4 részében]] leírt beállításokat!
Ellenőrizze, hogy a V-scope tornyai megfelelően vannak-e csatlakoztatva a mikroszámítógéphez, illetve a mikroszámítógép a PC-hez! Kapcsolja be a mikroszámítógépet és a PC-t, majd indítsa el a V-scope for Windows szoftvert! A "Sablonok" mappában nyissa meg a méréshez előkészített, de adatokat nem tartalmazó kaotikus.vsw fájlt ("sablon"-t)! A [[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.5 részében]] leírtak szerint állítsa be az origót a nagy ingakar tengelyéhez. (A mérőpár egyik tagja tartsa ott valamelyik gombocskát a beállítás alatt!) Rögzítse a sárga gombocskát a nagy, a kék gombocskát a kis ingakar végén lévő tartóba, majd ellenőrizze a [[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.4 részében]] leírt beállításokat!
+
  
===Mérés 5°-s kitérítésnél===
+
'''2.''' A nagy kar végén lévő cérna segítségével térítse ki a nagy kart körülbelül 5°-kal a függőlegeshez képest! A kis kart hagyja szabadon, függőleges helyzetben lógni! A piros "Record New Data" gombra való kattintással indítsa el a V-scope-ot és a "műszerek"-en olvassa le és jegyezze fel a sárga gombocska x és y koordinátáját! Ha az értékek már nem változnak, engedje el a cérnát! (Vigyázzon arra, hogy az indításkor ne rántsa meg a cérnát, az inga ne kapjon kezdősebességet!) A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven a "D/Vscope/Meresek" mappába!
A nagy kar végén lévő cérna segítségével térítse ki a nagy kart körülbelül 5°-kal a függőlegeshez képest! A kis kart hagyja szabadon, függőleges helyzetben lógni! A piros "Record New Data" gombra való kattintással indítsa el a V-scope-ot és a "műszerek"-en olvassa le és jegyezze fel a sárga gombocska x és y koordinátáját! Ha az értékek már nem változnak, engedje el a cérnát! (Vigyázzon arra, hogy az indításkor ne rántsa meg a cérnát, az inga ne kapjon kezdősebességet!) A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven a "D/Vscope/Meresek" mappába!
+
  
 
Ezután a piros "Record New Data" gombra való kattintással indítsa el újra a V-scope-ot, és a "műszerek" segítségével állítsa be a lehető legnagyobb pontossággal az előző indítási helyzetet! Győződjön meg róla, hogy mindkét inga nyugalomban van és engedje el a cérnát! A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven!
 
Ezután a piros "Record New Data" gombra való kattintással indítsa el újra a V-scope-ot, és a "műszerek" segítségével állítsa be a lehető legnagyobb pontossággal az előző indítási helyzetet! Győződjön meg róla, hogy mindkét inga nyugalomban van és engedje el a cérnát! A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven!
82. sor: 80. sor:
 
Ismételje meg még kétszer a mérést! (Tehát ugyanabból az indítási helyzetből összesen 4 mérést végezzen!)
 
Ismételje meg még kétszer a mérést! (Tehát ugyanabból az indítási helyzetből összesen 4 mérést végezzen!)
  
===Mérés további kezdőállapotokból===
+
'''3.''' Ismételje meg a [[#Mérés 5°-s kitérítésnél|2. pontban]] leírtakat a nagy ingakar 30, 60, 90, 120, 150 és 175°-os kitérítésével! Mindegyik esetben négy-négy mérést végezzen!
Ismételje meg a [[#Mérés 5°-s kitérítésnél|2. pontban]] leírtakat a nagy ingakar 30, 60, 90, 120, 150 és 175°-os kitérítésével! Mindegyik esetben négy-négy mérést végezzen!
+
  
===A mérési adatok feldolgozása===
+
'''4.''' Nyissa meg a Vscope for Windows szoftver segítségével egyenként a fájlokat! A visszajátszó gombok ([[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.5 része, 1. táblázat]]) segítségével keresse meg azt a pillanatot, amikor a mozgás elindul! Az "óráról" (az időt mutató "műszerről") olvassa le az ehhez a pillanathoz tartozó $t_0$ időt!
Nyissa meg a Vscope for Windows szoftver segítségével egyenként a fájlokat! A visszajátszó gombok ([[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.5 része, 1. táblázat]]) segítségével keresse meg azt a pillanatot, amikor a mozgás elindul! Az "óráról" (az időt mutató "műszerről") olvassa le az ehhez a pillanathoz tartozó $t_0$ időt!
+
 
Az ''Edit/Trim'' Data parancs hatására megjelenő "Trim Data" ablakban ([[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.7 része]]) vágja le a $t_0$ időpont előtti adatokat! Ezáltal a mozgás kezdőpillanata $t=0$ lesz. Ehhez hasonlóan vágja le a $t=30\,\text{s}$ utáni adatokat! Így a továbbiakban egyforma hosszúságú adatsorokkal lehet dolgozni. Ezután mentse el a módosított fájlt! A Save Table paranccsal kapcsolatos problémák miatt ([[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.6 része]]) az adatok text­fájlba való kiolvasásához használja a kiolvaso.exe programot!
 
Az ''Edit/Trim'' Data parancs hatására megjelenő "Trim Data" ablakban ([[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.7 része]]) vágja le a $t_0$ időpont előtti adatokat! Ezáltal a mozgás kezdőpillanata $t=0$ lesz. Ehhez hasonlóan vágja le a $t=30\,\text{s}$ utáni adatokat! Így a továbbiakban egyforma hosszúságú adatsorokkal lehet dolgozni. Ezután mentse el a módosított fájlt! A Save Table paranccsal kapcsolatos problémák miatt ([[Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.6 része]]) az adatok text­fájlba való kiolvasásához használja a kiolvaso.exe programot!
  
 
Az adatok további kiértékelése szabadon választható programmal (pl. Excel táblázatkezelő, Pascal, Basic, gnuplot, stb.) végezhető.
 
Az adatok további kiértékelése szabadon választható programmal (pl. Excel táblázatkezelő, Pascal, Basic, gnuplot, stb.) végezhető.
  
===Koordináták számolása===
+
'''5.''' A V-scope a gombocskákat nem egy időben, hanem felváltva méri (először a sárga, majd a kék gombocskát). Így a kék gombocska relatív helyzetének pontosabb kiszámításához a sárga gombocska koordinátáihoz tartozó időadatokat a mintavételezési periódussal csökkenteni kell, és a kék gombocska koordinátáihoz tartozó időpontokhoz interpolációval kell meghatározni a sárga gombocska koordinátáit. Ezután a sárga és a kék gombocska $x$ és $y$ koordinátáiból határozza meg a kék gombocska sárga gombocskához viszonyított $x_\text{rel}$ és $y_\text{rel}$ relatív koordinátáit!
A V-scope a gombocskákat nem egy időben, hanem felváltva méri (először a sárga, majd a kék gombocskát). Így a kék gombocska relatív helyzetének pontosabb kiszámításához a sárga gombocska koordinátáihoz tartozó időadatokat a mintavételezési periódussal csökkenteni kell, és a kék gombocska koordinátáihoz tartozó időpontokhoz interpolációval kell meghatározni a sárga gombocska koordinátáit. Ezután a sárga és a kék gombocska $x$ és $y$ koordinátáiból határozza meg a kék gombocska sárga gombocskához viszonyított $x_\text{rel}$ és $y_\text{rel}$ relatív koordinátáit!
+
  
===Forgásszög meghatározása===
+
'''6.''' A sárga gombocska $x$ és $y$, illetve a kék gombocska $x_\text{rel}$ és $y_\text{rel}$  koordinátáiból határozza meg a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Figyeljen arra, hogy a kis kar többször is körbefordulhat, ezért a szög $2\pi$-nél nagyobb, illetve negatív is lehet!
A sárga gombocska $x$ és $y$, illetve a kék gombocska $x_\text{rel}$ és $y_\text{rel}$  koordinátáiból határozza meg a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Figyeljen arra, hogy a kis kar többször is körbefordulhat, ezért a szög $2\pi$-nél nagyobb, illetve negatív is lehet!
+
 
(Egy lehetséges módszer a gombocskák sebességének, majd a karok előjeles szögsebességének meghatározása, majd ennek a függvénynek idő szerinti numerikus integrálása. Természetesen más módszert is választhat.)
 
(Egy lehetséges módszer a gombocskák sebességének, majd a karok előjeles szögsebességének meghatározása, majd ennek a függvénynek idő szerinti numerikus integrálása. Természetesen más módszert is választhat.)
  
===Adatok ábrázolása, kiértékelése===
+
'''7.''' Ábrázolja (külön-külön) a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Az ugyanonnan elindított mérések eredményeit ugyanabban a grafikonban ábrázolja!
Ábrázolja (külön-külön) a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Az ugyanonnan elindított mérések eredményeit ugyanabban a grafikonban ábrázolja!
+
 
Vizsgálja meg, hogy különböző indítási helyzetek esetében mennyi ideig "reprodukálódik" a mozgás és mikor válik kaotikussá! Eredményeit foglalja táblázatba és értékelje!
 
Vizsgálja meg, hogy különböző indítási helyzetek esetében mennyi ideig "reprodukálódik" a mozgás és mikor válik kaotikussá! Eredményeit foglalja táblázatba és értékelje!
  
 
</wlatex>
 
</wlatex>

A lap 2012. február 3., 15:54-kori változata


A mérés célja:

  • megismerkedni egy kaotikus rendszerrel,
  • tanulmányozni a mozgás kaotikussá válását.

Ennek érdekében:

  • röviden bemutatjuk a kaotikus kettős ingát,
  • mérjük a kaotikus kettős inga mozgását V-scope segítségével,
  • kiértékeljük a mérési eredményeket.


Tartalomjegyzék


Elméleti összefoglaló

A kaotikus kettős inga

1. ábra

Kettős ingát úgy készíthetünk, hogy egy inga végéhez csuklóval egy másik ingát erősítünk (1. ábra). Ez a rendszer, egyszerűsége ellenére, kaotikusan viselkedik.

A káosz fogalma

2. ábra

A kaotikus rendszer viselkedése hosszútávon megjósolhatatlan. Ennek oka a kezdőfeltételekre való rendkívüli érzékenység: ha a rendszert a legcsekélyebb mértékben különböző kezdeti feltételekkel hagyjuk magára, akkor véges időn belül teljesen eltérően fog viselkedni. Ugyanakkor pontosan ugyanazt a kezdőállapotot – ha másért nem, a Heisenberg-féle határozatlansági reláció miatt – soha nem tudjuk megvalósítani.

Mikor lehet egy rendszer kaotikus? Ha a rendszernek legalább három szabad paramétere van és a rendszert leíró differenciál-egyenletek nemlineáris tagot is tartalmaznak. A három szabad paraméter azért szükséges, mert ekkor a fázistérben kialakulhat olyan trajektória, amely nem konvergál sem egy véges ponthoz, sem a végtelenbe, és ugyanakkor soha nem záródik. Két dimenzióban ez nem lehetséges (2. ábra).

A kettős inga, mint kaotikus rendszer

A kettős inga egy állapotát legegyszerűbben a két kar szöghelyzetével és szögsebességével adhatjuk meg. Ez összesen négy paraméter, de – konzervatív rendszer esetében – az energia-megmaradás miatt a négyből csak három paraméter változhat függetlenül. A rendszer differenciál-egyenletei könnyen felírhatóak és adott kezdeti feltételek mellett numerikus módszerekkel megoldhatóak. Numerikus modellezésnél, a valódi kísérletektől eltérően, természetesen megtehető, hogy pontosan ugyanabból az állapotból indítjuk el a rendszert - és ekkor a megoldás is ugyanaz lesz.

A mérési gyakorlaton azt vizsgáljuk, hogy különböző indítási helyzetek (azaz különböző kezdeti energiák) esetében mennyire érzékeny a rendszer a kezdőfeltételekre. Ehhez a kettős ingát a lehető legpontosabban ugyanabból a helyzetből többször egymásután el kell indítani, és az egyes mozgásokat össze kell hasonlítani. Az összehasonlítás sokféle paraméter szerint lehetséges, de a különbségek akkor a leglátványosabbak, ha az egyes karok forgásszögét ábrázoljuk az idő függvényében.

A V-scope mérőberendezés

A V-scope mérőberendezés és a Vscope for Windows szoftver részletes leírása a Csatolt ingák mérése V-scope-pal című fejezetben található.

A mérési elrendezés

A gyakorlaton vizsgált kettős inga golyós csapágyakkal egymáshoz, illetve egy stabil állványhoz erősített fa lapokból áll (tehát az 1. ábrán látható rajztól eltérően kettős fizikai inga). A golyóscsapágyaknak köszönhetően a rendszer csillapítása kicsi (de természetesen nem nulla). Az energiaveszteség csökkentése érdekében fontos az állvány minél stabilabb rögzítése (ólom és beton nehezékekkel).

A mozgás vizsgálatakor a rögzített tengelyű, hosszú ingakar (továbbiakban nagy kar) rögzített végét választjuk a koordinátarendszer origójának. A két kart összekapcsoló tengelyhez rögzíthetjük a V-scope sárga, míg a rövidebb ingakar (továbbiakban kis kar) végéhez a kék gombocskát. A V-scope tornyait a kettős ingától kb. 3 m távolságra, az ingák lengéssíkjával párhuzamosan állítjuk fel. A méréshez használható "sablon"-ban a vízszintes tengelyt \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nek, a függőleges tengelyt \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nak definiáltuk.

Mérési feladatok

1. Ellenőrizze, hogy a V-scope tornyai megfelelően vannak-e csatlakoztatva a mikroszámítógéphez, illetve a mikroszámítógép a PC-hez! Kapcsolja be a mikroszámítógépet és a PC-t, majd indítsa el a V-scope for Windows szoftvert! A "Sablonok" mappában nyissa meg a méréshez előkészített, de adatokat nem tartalmazó kaotikus.vsw fájlt ("sablon"-t)! A Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.5 részében leírtak szerint állítsa be az origót a nagy ingakar tengelyéhez. (A mérőpár egyik tagja tartsa ott valamelyik gombocskát a beállítás alatt!) Rögzítse a sárga gombocskát a nagy, a kék gombocskát a kis ingakar végén lévő tartóba, majd ellenőrizze a Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.4 részében leírt beállításokat!

2. A nagy kar végén lévő cérna segítségével térítse ki a nagy kart körülbelül 5°-kal a függőlegeshez képest! A kis kart hagyja szabadon, függőleges helyzetben lógni! A piros "Record New Data" gombra való kattintással indítsa el a V-scope-ot és a "műszerek"-en olvassa le és jegyezze fel a sárga gombocska x és y koordinátáját! Ha az értékek már nem változnak, engedje el a cérnát! (Vigyázzon arra, hogy az indításkor ne rántsa meg a cérnát, az inga ne kapjon kezdősebességet!) A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven a "D/Vscope/Meresek" mappába!

Ezután a piros "Record New Data" gombra való kattintással indítsa el újra a V-scope-ot, és a "műszerek" segítségével állítsa be a lehető legnagyobb pontossággal az előző indítási helyzetet! Győződjön meg róla, hogy mindkét inga nyugalomban van és engedje el a cérnát! A mérés befejeztével mentse el a fájlt új néven!

Ismételje meg még kétszer a mérést! (Tehát ugyanabból az indítási helyzetből összesen 4 mérést végezzen!)

3. Ismételje meg a 2. pontban leírtakat a nagy ingakar 30, 60, 90, 120, 150 és 175°-os kitérítésével! Mindegyik esetben négy-négy mérést végezzen!

4. Nyissa meg a Vscope for Windows szoftver segítségével egyenként a fájlokat! A visszajátszó gombok (Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.5 része, 1. táblázat) segítségével keresse meg azt a pillanatot, amikor a mozgás elindul! Az "óráról" (az időt mutató "műszerről") olvassa le az ehhez a pillanathoz tartozó \setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időt! Az Edit/Trim Data parancs hatására megjelenő "Trim Data" ablakban (Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.7 része) vágja le a \setbox0\hbox{$t_0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpont előtti adatokat! Ezáltal a mozgás kezdőpillanata \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lesz. Ehhez hasonlóan vágja le a \setbox0\hbox{$t=30\,\text{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% utáni adatokat! Így a továbbiakban egyforma hosszúságú adatsorokkal lehet dolgozni. Ezután mentse el a módosított fájlt! A Save Table paranccsal kapcsolatos problémák miatt (Csatolt ingák mérése V-scope-pal jegyzet 1.6 része) az adatok text­fájlba való kiolvasásához használja a kiolvaso.exe programot!

Az adatok további kiértékelése szabadon választható programmal (pl. Excel táblázatkezelő, Pascal, Basic, gnuplot, stb.) végezhető.

5. A V-scope a gombocskákat nem egy időben, hanem felváltva méri (először a sárga, majd a kék gombocskát). Így a kék gombocska relatív helyzetének pontosabb kiszámításához a sárga gombocska koordinátáihoz tartozó időadatokat a mintavételezési periódussal csökkenteni kell, és a kék gombocska koordinátáihoz tartozó időpontokhoz interpolációval kell meghatározni a sárga gombocska koordinátáit. Ezután a sárga és a kék gombocska \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátáiból határozza meg a kék gombocska sárga gombocskához viszonyított \setbox0\hbox{$x_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% relatív koordinátáit!

6. A sárga gombocska \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, illetve a kék gombocska \setbox0\hbox{$x_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$y_\text{rel}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátáiból határozza meg a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Figyeljen arra, hogy a kis kar többször is körbefordulhat, ezért a szög \setbox0\hbox{$2\pi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-nél nagyobb, illetve negatív is lehet! (Egy lehetséges módszer a gombocskák sebességének, majd a karok előjeles szögsebességének meghatározása, majd ennek a függvénynek idő szerinti numerikus integrálása. Természetesen más módszert is választhat.)

7. Ábrázolja (külön-külön) a nagy és a kis kar forgásszögét az idő függvényében! Az ugyanonnan elindított mérések eredményeit ugyanabban a grafikonban ábrázolja! Vizsgálja meg, hogy különböző indítási helyzetek esetében mennyi ideig "reprodukálódik" a mozgás és mikor válik kaotikussá! Eredményeit foglalja táblázatba és értékelje!