Kinematika - 1.2.17

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2013. szeptember 24., 18:21-kor történt szerkesztése után volt.

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (1.2.17) --- TÖRÖLNI --- Egy \setbox0\hbox{$l_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú, tökéletesen rugalmas és korlátlanul nyújtható fonál egyik végét falhoz rögzítjük. Erről a végpontról a fonálon mászva \setbox0\hbox{$v_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességgel elindul egy hangya a másik vége felé. Ugyanabban a pillanatban azonban egy gonosz manó \setbox0\hbox{$c>>v_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% állandó sebességgel elkezdi húzni a fonál szabad végét. A hangyának a fonálhoz viszonyított sebessége az egész mozgás során állandó. Utolérheti-e a hangya a manót? (Mi történik, ha a hangya a manótól indul a fal felé?)

Megoldás

  1. A fonál hosszúsága az idő függvényében
    \[l(t)=l_{0}+ct\,,\]
    mert a manó egyenletes sebességgel húzza.
    Ha a hangya faltól mért távolságát \setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel jelöljük, akkor egy adott \setbox0\hbox{$t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pillanatban a hangya lába alatt a fonál lokális sebessége
    \[v_{fon}(t)=c\frac{x(t)}{l(t)}\,.\]
    A hangya fonálhoz viszonyított sebessége mindig \setbox0\hbox{$v_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ezért a falhoz viszonyított sebesség
    \[v(t)=v_{0}+v_{fon}(t)\]
    \[x'(t)=v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,.\]
    A kapott differenciálegyenletet az \setbox0\hbox{$x(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás
    \[x(t)=\frac{v_{0}}{c}\left(l_{0}+ct\right)\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}+ct}{l_{0}}\right)\]
    alakban írható (érdemes az eredményt ellenőrizni a differenciálegyenletbe történő visszahelyettesítéssel).
    A feladatban az a kérdés, hogy a hangya és a manó közti \setbox0\hbox{$\Delta s(t)=l(t)-x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolság lecsökkenhet-e zérusra. Ha igen, akkor jelöljük \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel azt az időpontot, amikor ez bekövetkezik.
    \[\Delta s(T)=0\]
    \[T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)\]
    A hangya tehát minden esetben utoléri a manót.

    Ha a hangya a manótól indul, akkor a pillanatnyi sebessége
    \[v(t)=-v_{0}+v_{fon}(t)\,.\]
    \[x'(t)=-v_{0}+\frac{cx(t)}{l_{0}+ct}\,,\]
    amelyet az \setbox0\hbox{$x(0)=l_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% kezdeti feltétellel kell megoldani. A megoldás
    \[x(t)=\frac{v_{0}}{c}(l_{0}+ct)\left[\frac{c}{v_{0}}+\mbox{ln}\left(\frac{l_{0}}{l_{0}+ct}\right)\right]\]
    alapján meghatározhatjuk, hogy eléri-e a falat, vagyis létezik-e olyan \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, melyre
    \[x(T)=0\,.\]
    \[T=\frac{l_{0}}{c}\left(e^{\frac{c}{v_{0}}}-1\right)\]
    A hangya tehát minden esetben eléri a falat.