„Kinematika - 1.3.1” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Az $x$ tengelyen mozgó tömegpont gyorsulása az idő függvényében az 1.3.1. ábrán látható. [[Kép:Kfgy1_1.3.1.gif|none|400px]]
+
</noinclude><wlatex># Az $x$ tengelyen mozgó tömegpont gyorsulása az idő függvényében az 1.3.1. ábrán látható.  
 
#: a) Ábrázolja a tömegpont sebességét az idő függvényében, ha a kezdeti sebesség $v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$!
 
#: a) Ábrázolja a tömegpont sebességét az idő függvényében, ha a kezdeti sebesség $v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$!
 
#: b) Határozza meg a tömegpont helyét a $t=1 \,\mathrm{s}$ és $t=3 \,\mathrm{s}$ időpillanatokban, ha a tömegpont $t=0$-ban az $x=0$ pontban volt!
 
#: b) Határozza meg a tömegpont helyét a $t=1 \,\mathrm{s}$ és $t=3 \,\mathrm{s}$ időpillanatokban, ha a tömegpont $t=0$-ban az $x=0$ pontban volt!
14. sor: 14. sor:
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=b)$$x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=4\,\mathrm{m}$$ c)$$v_{\mbox{átl}}=-1\,\mathrm{\frac{m}{s}}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content=b)$$x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=4\,\mathrm{m}$$ c)$$v_{\mbox{átl}}=-1\,\mathrm{\frac{m}{s}}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
<wlatex># a) A feladatot az ábrán jelzett idő intervallumokon külön kell megoldani. [[Kép:Kfgy1_1.3.1M.gif|none|400px]] Itt az első két intervallumon történő számolást mutatjuk be. Az első intervallum $t=0$-tól $t=2\,\mathrm{s}$-ig tart. Ezen a szakaszon $a_{1}=-4\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$, $v(t=0)=v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$ és $x(t=0)=0$. A gyorsulás alapján a sebesség $$v(0<t<2\,\mathrm{s})=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'=v_{0}+a_{1}t$$ szerint függ az időtől, melyet egy egyenes szakasszal ábrázolhatunk a sebesség-idő grafikonon. A hely idő függését az alábbiak szerint adhatjuk meg. $$x(0<t<2\,\mathrm{s})=\underbrace{x(0)}_{0}+\int_{0}^{t}v(t')dt'=v_{0}t+\frac{a_{1}}{2}t^{2}$$ Ezek alapján az idő intervallum végén, vagyis a $t=2\,\mathrm{s}$ időpontban $$v_{1}=v(t=2\,\mathrm{s})=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad\qquad \mbox{és}\qquad\qquad x_{1}=x(t=2)=12\,\mathrm{m}\,.$$ Ezek az adatok jelentik a következő idő intervallum kezdeti feltételeit. A második intervallumon ($2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s}$) $a_{2}=-2\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. Az első szakaszhoz hasonlóan $$v(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=v(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}a(t')dt'=v_{1}+a_{2}(t-2\,\mathrm{s})$$$$x(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=x(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}v(t')dt'=x_{1}+v_{1}(t-2\,\mathrm{s})+\frac{a_{2}}{2}(t-2s)^{2}\,.$$ A többi idő intervallumon ugyanezeket a lépéseket kell megismételni. A kapott sebesség-idő grafikont az ÁBRÁn láthatjuk.  
+
<wlatex># a) A feladatot az ábrán jelzett idő intervallumokon külön kell megoldani. [[Kép:Kfgy1_1.3.1M.gif|none|400px]] Itt az első két intervallumon történő számolást mutatjuk be. Az első intervallum $t=0$-tól $t=2\,\mathrm{s}$-ig tart. Ezen a szakaszon $a_{1}=-4\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$, $v(t=0)=v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$ és $x(t=0)=0$. A gyorsulás alapján a sebesség $$v(0<t<2\,\mathrm{s})=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'=v_{0}+a_{1}t$$ szerint függ az időtől, melyet egy egyenes szakasszal ábrázolhatunk a sebesség-idő grafikonon. A hely idő függését az alábbiak szerint adhatjuk meg. $$x(0<t<2\,\mathrm{s})=\underbrace{x(0)}_{0}+\int_{0}^{t}v(t')dt'=v_{0}t+\frac{a_{1}}{2}t^{2}$$ Ezek alapján az idő intervallum végén, vagyis a $t=2\,\mathrm{s}$ időpontban $$v_{1}=v(t=2\,\mathrm{s})=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad\qquad \mbox{és}\qquad\qquad x_{1}=x(t=2)=12\,\mathrm{m}\,.$$ Ezek az adatok jelentik a következő idő intervallum kezdeti feltételeit. A második intervallumon ($2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s}$) $a_{2}=-2\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$. Az első szakaszhoz hasonlóan $$v(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=v(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}a(t')dt'=v_{1}+a_{2}(t-2\,\mathrm{s})$$$$x(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=x(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}v(t')dt'=x_{1}+v_{1}(t-2\,\mathrm{s})+\frac{a_{2}}{2}(t-2s)^{2}\,.$$ A többi idő intervallumon ugyanezeket a lépéseket kell megismételni. A kapott sebesség-idő grafikont az 1.3.1M ábrán láthatjuk. [[Kép:Kfgy1_1.3.1.gif|none|400px]]
#: b) Az a) rész eredményei alapján $$x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=4\,\mathrm{m}\,.$$
+
#: b) Az a) rész eredményei alapján $$x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=12\,\mathrm{m}\,.$$
#: c) Az átlag sebesség a $1\,\mathrm{s}<t<3\,\mathrm{s}$ intervallumon $$v_{\mbox{átl}}=\frac{x(t=3\,\mathrm{s})-x(t=1\,\mathrm{s})}{3\,\mathrm{s}-1\,\mathrm{s}}=-1\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.$$
+
#: c) Az átlag sebesség a $1\,\mathrm{s}<t<3\,\mathrm{s}$ intervallumon $$v_{\mbox{átl}}=\frac{x(t=3\,\mathrm{s})-x(t=1\,\mathrm{s})}{3\,\mathrm{s}-1\,\mathrm{s}}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.$$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. augusztus 27., 12:40-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengelyen mozgó tömegpont gyorsulása az idő függvényében az 1.3.1. ábrán látható.
    a) Ábrázolja a tömegpont sebességét az idő függvényében, ha a kezdeti sebesség \setbox0\hbox{$v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%!
    b) Határozza meg a tömegpont helyét a \setbox0\hbox{$t=1 \,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$t=3 \,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpillanatokban, ha a tömegpont \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ban az \setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontban volt!
    c) Mekkora a tömegpont átlagsebessége a \setbox0\hbox{$t=1 \,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és a \setbox0\hbox{$t=3 \,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% közötti időintervallumban?

Megoldás

  1. a) A feladatot az ábrán jelzett idő intervallumokon külön kell megoldani.
    Kfgy1 1.3.1M.gif
    Itt az első két intervallumon történő számolást mutatjuk be. Az első intervallum \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tól \setbox0\hbox{$t=2\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-ig tart. Ezen a szakaszon \setbox0\hbox{$a_{1}=-4\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$v(t=0)=v_{0}=10 \,\mathrm{m/s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$x(t=0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A gyorsulás alapján a sebesség
    \[v(0<t<2\,\mathrm{s})=v(0)+\int_{0}^{t}a(t')dt'=v_{0}+a_{1}t\]
    szerint függ az időtől, melyet egy egyenes szakasszal ábrázolhatunk a sebesség-idő grafikonon. A hely idő függését az alábbiak szerint adhatjuk meg.
    \[x(0<t<2\,\mathrm{s})=\underbrace{x(0)}_{0}+\int_{0}^{t}v(t')dt'=v_{0}t+\frac{a_{1}}{2}t^{2}\]
    Ezek alapján az idő intervallum végén, vagyis a \setbox0\hbox{$t=2\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban
    \[v_{1}=v(t=2\,\mathrm{s})=2\,\mathrm{\frac{m}{s}}\qquad\qquad \mbox{és}\qquad\qquad x_{1}=x(t=2)=12\,\mathrm{m}\,.\]
    Ezek az adatok jelentik a következő idő intervallum kezdeti feltételeit. A második intervallumon (\setbox0\hbox{$2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) \setbox0\hbox{$a_{2}=-2\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az első szakaszhoz hasonlóan
    \[v(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=v(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}a(t')dt'=v_{1}+a_{2}(t-2\,\mathrm{s})\]
    \[x(2\,\mathrm{s}<t<5\,\mathrm{s})=x(t=2\,\mathrm{s})+\int_{2\,\mathrm{s}}^{t}v(t')dt'=x_{1}+v_{1}(t-2\,\mathrm{s})+\frac{a_{2}}{2}(t-2s)^{2}\,.\]
    A többi idő intervallumon ugyanezeket a lépéseket kell megismételni. A kapott sebesség-idő grafikont az 1.3.1M ábrán láthatjuk.
    Kfgy1 1.3.1.gif
    b) Az a) rész eredményei alapján
    \[x(t=1\,\mathrm{s})=6\,\mathrm{m}\qquad\mbox{és}\qquad x(t=3\,\mathrm{s})=12\,\mathrm{m}\,.\]
    c) Az átlag sebesség a \setbox0\hbox{$1\,\mathrm{s}<t<3\,\mathrm{s}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% intervallumon
    \[v_{\mbox{átl}}=\frac{x(t=3\,\mathrm{s})-x(t=1\,\mathrm{s})}{3\,\mathrm{s}-1\,\mathrm{s}}=3\,\mathrm{\frac{m}{s}}\,.\]