„Kinematika - 1.3.8” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
(Új oldal, tartalma: „<noinclude> Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1. Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám Kategória:Kinematika {{Kísérleti fizika gyakorlat | tárgynév …”)
 
13. sor: 13. sor:
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A $v(t)=dx/dt$ összefüggés alapján írjuk fel az $x(t)$ függvényre vonatkozó differenciál egyenletet!}}{{Végeredmény|content=a) $$v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.$$ b) $$v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A $v(t)=dx/dt$ összefüggés alapján írjuk fel az $x(t)$ függvényre vonatkozó differenciál egyenletet!}}{{Végeredmény|content=a) $$v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.$$ b) $$v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
<wlatex># a) A $v(t)=dx/dt$ összefüggés alapján az $x(t)$ függvényre vonatkozó differenciál egyenlet $$\frac{dx}{dt}=D\sqrt{x(t)}$$ alakban írható. A kezdeti feltétel $x(0)=0$. $$\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{dt}=D$$$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=D$$$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=Dt+C\,,$$ ahol $C$ egy tetszőleges konstans melynek pontos értékét a kezdeti feltétellel illesztjük. $$x(t)=\frac{(Dt+c)^{2}}{4}$$ A kezdeti feltétel miatt $c=0$, vagyis $$x(t)=\frac{D^{2}t^{2}}{4}.$$ Ez alapján $$v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.$$
+
<wlatex># a) A $v(t)=dx/dt$ összefüggés alapján az $x(t)$ függvényre vonatkozó differenciál egyenlet $$\frac{dx}{dt}=D\sqrt{x(t)}$$ alakban írható. A kezdeti feltétel $x(0)=0$. $$\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{dt}=D$$$$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=D$$$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=Dt+C\,,$$ ahol $C$ egy tetszőleges konstans melynek pontos értékét a kezdeti feltétellel illesztjük. $$x(t)=\frac{(Dt+c)^{2}}{4}$$ A kezdeti feltétel miatt $c=0$, vagyis $$x(t)=\frac{D^{2}t^{2}}{4}.$$ Ez alapján $$v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.$$ #: b) Jelöljük $T$-vel azt a pillanatot, amikor a részecske az $x=b$ pontban van. $$x(T)=b\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{2\sqrt{b}}{D}$$ Így az átlag sebesség $$v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.$$
#: b) Jelöljük $T$-vel azt a pillanatot, amikor a részecske az $x=b$ pontban van. $$x(T)=b\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{2\sqrt{b}}{D}$$ Így az átlag sebesség $$v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.$$
+
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap 2013. április 11., 08:29-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Kinematika
Feladatok listája:
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (1.3.8.) Egy részecske a pozitív \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely irányába mozog, úgy, hogy sebessége az alábbi törvény szerint változik: \setbox0\hbox{$v=D\sqrt{x}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, ahol d pozitív állandó. Tételezzük fel, hogy a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban a részecske az origóban volt. Határozzuk meg
    a) a részecske sebességének és gyorsulásának függését az időtől!
    b) a részecske átlagsebességét, míg az \setbox0\hbox{$x=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontból az \setbox0\hbox{$x=b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontba jut!

Megoldás

  1. a) A \setbox0\hbox{$v(t)=dx/dt$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% összefüggés alapján az \setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% függvényre vonatkozó differenciál egyenlet
    \[\frac{dx}{dt}=D\sqrt{x(t)}\]
    alakban írható. A kezdeti feltétel \setbox0\hbox{$x(0)=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    \[\frac{1}{\sqrt{x}}\frac{dx}{dt}=D\]
    \[\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=D\]
    \[\frac{1}{2\sqrt{x}}=Dt+C\,,\]
    ahol \setbox0\hbox{$C$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egy tetszőleges konstans melynek pontos értékét a kezdeti feltétellel illesztjük.
    \[x(t)=\frac{(Dt+c)^{2}}{4}\]
    A kezdeti feltétel miatt \setbox0\hbox{$c=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, vagyis
    \[x(t)=\frac{D^{2}t^{2}}{4}.\]
    Ez alapján
    \[v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{D^{2}t}{2}\qquad\mbox{és}\qquad a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{D^{2}}{2}\,.\]
    #: b) Jelöljük \setbox0\hbox{$T$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel azt a pillanatot, amikor a részecske az \setbox0\hbox{$x=b$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pontban van.
    \[x(T)=b\qquad\Rightarrow\qquad T=\frac{2\sqrt{b}}{D}\]
    Így az átlag sebesség
    \[v_{atlag}=\frac{b}{T}=\frac{D\sqrt{b}}{2}\,.\]