Kinematika - 1.4.17

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Gombkoto (vitalap | szerkesztései) 2015. március 6., 16:21-kor történt szerkesztése után volt.

(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*1.4.17) Egy gőzgép hajtókereke egyenletes \setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szögsebességgel forog az \setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% középpontján átmenő tengely körül. A kerék \setbox0\hbox{$l$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hosszúságú hajtórúdjának \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% csuklópontja az \setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tól \setbox0\hbox{$r$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban van, \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% vége pedig a dugattyúkarhoz csatlakozik, amely vízszintesen mozog ide-oda. Mekkora az \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pont sebessége abban a pillanatban, amikor \setbox0\hbox{$ON$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a vízszintessel \setbox0\hbox{$\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szöget zár be? (\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a dugattyú-karral egy egyenesen fekszik.)
    Kfgy1 03 1 4 17.svg

Megoldás

  1. Vegyük kezdőpillanatnak azt, amikor az \setbox0\hbox{$N$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% csuklópont az \setbox0\hbox{$OM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenesre illeszkedik, vagyis amikor \setbox0\hbox{$\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, így \setbox0\hbox{$\varphi(t)=\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Az \setbox0\hbox{$OM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% szakasz hosszát jelöljük \setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-vel. Ha \setbox0\hbox{$O$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a koordinátarendszer origója, akkor \setbox0\hbox{$x(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyben \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pont tisztán \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% tengely menti mozgását is leírja (\setbox0\hbox{$y(t)\equiv 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%). Az \setbox0\hbox{$NOM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% háromszögre cosinus-tételt alkalmazva
    \[l^{2}=r^{2}+x(t)^{2}-2rx(t)\cos(\varphi(t))\]
    adódik. Ebből a másodfokú egyenletből
    \[x(t)=r\cos(\omega t)+\sqrt{l^{2}-r^{2}\sin^{2}(\omega t)}\]
    eredményre jutunk. Az \setbox0\hbox{$M$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pont sebessége
    \[v(t)=\frac{dx}{dt}=-r\omega\sin\varphi\left[1+\frac{r\cos\varphi}{\sqrt{l^{2}-r^{2}\sin^{2}\varphi}}\right]\,.\]
    Elkerülhető a másodfokú egyenlet, ha az \setbox0\hbox{$OM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-re merőleges magassággal két derékszögú háromszögre osztjuk az \setbox0\hbox{$ONM$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% háromszöget.