Kinematika - 1.4.18

Feladat

1. (1.4.18) Egy vékony egyenes cső $\setbox0\hbox{$0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ pontja körül állandó $\setbox0\hbox{$\omega$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ szögsebességgel forog vízszintes síkban. A csőben egy golyó mozog a csőhöz képest állandó $\setbox0\hbox{$v_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ sebességgel. Milyen pályát ír le a golyó a csövön kívül álló megfigyelőhöz képest és mekkora a sebesség nagysága, mint az idő függvénye?
   

Megoldás

1. Tegyük fel, hogy a golyó a $\setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ időpillanatban $\setbox0\hbox{$r_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ távolságban van az origótól és cső éppen vízszintes helyzetben, vagyis $\setbox0\hbox{$\varphi_{0}=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ és $\setbox0\hbox{$\varphi(t)=\omega t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$. A golyó mozgását először polár koordináták segítségével írjuk fel.

   $\[r(t)=|r_{0}-v_{0}t|\qquad\qquad\varphi(t)=\omega t\]$

   Az abszolút értékkel figyelembe vettük azt az esetet is, amikor a golyó már áthaladt az origón. A sugár és tangenciális irányú sebességeket

   $\[v_{r}(t)=\frac{\mathrm{d}r(t)}{\mathrm{d}t}=v_{0}\mathrm{sgn}(r_{0}-v_{0}t)\]$

   $\[v_{\varphi}(t)=r(t)\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}=|r_{0}-v_{0}t|\omega\]$

   szerint számolhatjuk ki. A képletben $\setbox0\hbox{$\mathrm{sgn}(x)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%$ a szignumfüggvény. A sebesség nagysága $v(t)=\sqrt{v_{r}(t)^2+v_{\varphi}(t)^2}=\sqrt{v_{0}^{2}+\omega^{2}(r_{0}-v_{0}t)^2}

   \[ az idő függvényében.\]