Kinematika - 1.4.23

A Fizipedia wikiből
Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*1.4.23) Egy aknavetővel a völgyből \setbox0\hbox{$h$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% magasságú fennsíkra tüzelnek. (1.4.23. ábra). A fennsíktól milyen távolságban kell felállítani az aknavetőt, hogy a lövedék a fennsík szélétől a legmesszebbre repüljön? Mekkora ez a távolság? Milyen szögben kell lőni? A lövedék kezdeti sebessége \setbox0\hbox{$v_{0}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    Kfgy1 03 1 4 23.svg

Megoldás

  1. A lövedék pályája egy parabolát ír le. Olyan pálya lehet az optimális, amelyik éppen érinti a fennsík peremét. Ez az állítás indirekt módon látható be. Képzeljünk el egy olyan pályát, amely a fennsík pereme felett halad el. Ennél azonban biztosan távolabbra tudunk lőni, ha az aknavetőt közelebb toljuk és ugyanabban a szögben lövünk. Természetesen az olyan pályák, melyek a fennsík pereme alatt haladnának, teljes mértékben érdektelenek.

    Tehát olyan pályákat vizsgálunk, amelyek éppen a fennsík peremét érintik. Amikor a lövedék eléri a peremet, akkor a sebességének nagysága a kilövés szögétől és a kilövés helyétől függetlenül \setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% lesz, melyet az alábbi energetikai megfontolásból számolhatunk ki.
    \[\frac{1}{2}mv_{0}^{2}=mgh+\frac{1}{2}mv_{1}^{2}\qquad\Rightarrow\qquad v_{1}=v_{0}\sqrt{1-\frac{2hg}{v_{0}^{2}}}\]
    Most vizsgáljuk meg, hogy milyen szögűnek kell lennie a \setbox0\hbox{$v_{1}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% sebességnek ahhoz, hogy a maximális legyen a felszínen megtett út. Ha a vízszintessel bezárt szög \setbox0\hbox{$\alpha$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, akkor a sebbeség különböző irányú komponenseinek nagysága
    \[v_{1x}=v_{1}\cos\alpha\qquad\qquad v_{1y}=v_{1}\sin\alpha\,.\]
    A a felszínen a becsapódásig \setbox0\hbox{$t_{1}(\alpha)=2v_{1y}/g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% idő telik el. Ezalatt a lövedék vízszintes irányba
    \[x_{1}(\alpha)=v_{1x}t_{1}=\frac{2v_{1}^{2}}{g}\sin\alpha\cos\alpha\]
    utat tesz meg. A kifejezés maximális, ha \setbox0\hbox{$\alpha=45^{\circ}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és ekkor a megtett út \setbox0\hbox{$D=x_{1\mathrm{max}}=v_{1}^{2}/g$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A kérdés tehát az, hogy honnan és milyen szög alatt kell lőni ahhoz, hogy a pálya a fennsík peremét érintse, és ebben a pillanatban a vízszintessel \setbox0\hbox{$45$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% fokos szöget zár be a sebesség.
    1.4.23.M.svg
    Kihasználhatjuk azt a tényt, hogy a mozgás során az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú sebesség végig változatlan. Amikor a lövedék a fennsík pereménél van, akkor \setbox0\hbox{$v_{x}=v_{1}\sin 45^\circ=v_{1}/\sqrt{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ennek azonban meg kell egyeznie a kilövés pillanatában mérhető \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% irányú sebességgel \setbox0\hbox{$v_{x}=v_{0}\cos\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezek alapján ki lehet számolni azt a szöget, amely alatt a lövedéket ki kell lőni.
    \[\frac{v_{1}}{\sqrt{2}}=v_{0}\cos\varphi\]
    \[\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}=\cos\varphi\qquad\Rightarrow\qquad \varphi=\arccos\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}\]


    Ahhoz, hogy meghatározzuk a kilövés helyét, ki kell számolnunk, hogy mennyi időbe (\setbox0\hbox{$\Delta t$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%) telik, amíg a lövedék a kilövés után eléri a fennsík peremét. Ehhez meg kell oldanunk a
    \[h=v_{0}\sin\varphi\Delta t-\frac{g}{2}\Delta t^{2}\]
    másodfokú egyenletet. A két megoldás közül az egyik (kisebb) azt az időtartamot adja meg, ami alatt a lövedék eléri a fennsík peremét. A másik (nagyobb) megoldás azt az időpontot határozza meg, amikor a lövedék \setbox0\hbox{$D$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% távolságban becsapódik. Nekünk most az előbbire van szükségünk, mert ez alapján az aknavető távolsága a fennsík szélétől
    \[d=\frac{v_{1}}{\sqrt{2}}\Delta t_{1}=\frac{v_{1}}{2g}\left[\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}-v_{1}\right]\]

    Összefoglalva az eredményeket:
    Ahhoz, hogy a lövedék a lehető legmesszebb csapódjon be a fennsíkon, az aknavetőt a fennsík szélétől
    \[d=\frac{\sqrt{v_{0}^{2}-2hg}}{2g}\left[\sqrt{v_{0}^{2}+2gh}-\sqrt{v_{0}^{2}-2hg}\right]\]
    távolságban kell elhelyezni és a lövedéket
    \[\varphi=\arccos\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{hg}{v_{0}^{2}}}\]
    szögben kell kilőni. A fennsíkon megtett út ebben az esetben
    \[D=\frac{v_{0}^{2}}{g}-2h\,.\]