„Kinematika - 1.4.6” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
(egy szerkesztő 2 közbeeső változata nincs mutatva)
2. sor: 2. sor:
 
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
 
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]
 
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
 
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]
[[Kategória:Kinematika]]
+
[[Kategória:Mechanika - Mozgástan]]
 
{{Kísérleti fizika gyakorlat
 
{{Kísérleti fizika gyakorlat
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
 
| tárgynév    = Kísérleti fizika gyakorlat 1.
| témakör    = Kinematika
+
| témakör    = Mechanika - Mozgástan
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># Egy mozgó pont helyvektorának komponensei: $x=at^{2}$, $y=0$ és $z=b-ct^{2}$. Határozzuk meg a pont pályáját, sebességét és gyorsulását, valamint azt az időtartamot, amely alatt a pont a pályának a koordináta-tengelyek közötti szakaszát megteszi. Legyen például: $a= 15 \,\mathrm{m/s^{2}}$, $b=4 \,\mathrm{m}$ és $c=20 \,\mathrm{m/s^{2}}$.
+
</noinclude><wlatex># (1.4.6) Egy mozgó pont helyvektorának komponensei: $x=at^{2}$, $y=0$ és $z=b-ct^{2}$. Határozzuk meg a pont pályáját, sebességét és gyorsulását, valamint azt az időtartamot, amely alatt a pont a pályának a koordináta-tengelyek közötti szakaszát megteszi. Legyen például: $a= 15 \,\mathrm{m/s^{2}}$, $b=4 \,\mathrm{m}$ és $c=20 \,\mathrm{m/s^{2}}$.
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A pálya meghatározásához fejezd ki az időt valamely helykoordináta segítségével! A gyorsulás kiszámításához deriváld le kétszer a helyvektort az idő szerint!}}{{Végeredmény|content=$$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2at$$
+
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A pálya meghatározásához fejezd ki az időt valamely helykoordináta segítségével! A gyorsulás kiszámításához deriváld le kétszer a helyvektort az idő szerint!}}{{Végeredmény|content=$$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2at$$$$v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0$$$$v_{z}(t)=\frac{dz}{dt}=-2ct$$ $$a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=2a$$ $$a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0$$ $$a_{z}(t)=\frac{dv_{z}}{dt}=-2c$$$$T=\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
$$v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0$$$$v_{z}(t)=\frac{dz}{dt}=-2ct$$ $$a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=2a$$ $$a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0$$ $$a_{z}(t)=\frac{dv_{z}}{dt}=-2c$$$$T=\frac{1}{\sqrt{5}}\,\mathrm{s}$$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex># A tömegpont $y$-irányban nem mozdul el, ezért a mozgás során végig az $xz$-síkban halad. Az $x=at^2$ és $z=b-ct^{2}$ egyenletek egyikéből kifejezve az időt, a másikba behelyettesítve meghatározhatjuk a tömegpont pályáját $$z=b-\frac{c}{a}x\,,$$ amely egy egyenest ír le. A helykoordináták időfüggése alapján a pont sebességének komponensei az alábbiak szerint számolhatók ki. $$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2at$$$$v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0$$$$v_{z}(t)=\frac{dz}{dt}=-2ct$$ A gyorsulás pedig $$a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=2a$$ $$a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0$$ $$a_{z}(t)=\frac{dv_{z}}{dt}=-2c$$ <br> Az $x$-tengelynél a $t=0$ pillanatban van. A feladat szerint meg kell határoznunk, hogy ezután mennyi idő telik el, míg a tömegpont eléri a $z$-tengelyt, vagyis mikor lesz $z=0$. $$z(T)=0\qquad\Rightarrow\qquad T=\sqrt{\frac{b}{c}}=\frac{1}{\sqrt{5}}s$$
 
<wlatex># A tömegpont $y$-irányban nem mozdul el, ezért a mozgás során végig az $xz$-síkban halad. Az $x=at^2$ és $z=b-ct^{2}$ egyenletek egyikéből kifejezve az időt, a másikba behelyettesítve meghatározhatjuk a tömegpont pályáját $$z=b-\frac{c}{a}x\,,$$ amely egy egyenest ír le. A helykoordináták időfüggése alapján a pont sebességének komponensei az alábbiak szerint számolhatók ki. $$v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2at$$$$v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0$$$$v_{z}(t)=\frac{dz}{dt}=-2ct$$ A gyorsulás pedig $$a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=2a$$ $$a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0$$ $$a_{z}(t)=\frac{dv_{z}}{dt}=-2c$$ <br> Az $x$-tengelynél a $t=0$ pillanatban van. A feladat szerint meg kell határoznunk, hogy ezután mennyi idő telik el, míg a tömegpont eléri a $z$-tengelyt, vagyis mikor lesz $z=0$. $$z(T)=0\qquad\Rightarrow\qquad T=\sqrt{\frac{b}{c}}=\frac{1}{\sqrt{5}}s$$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2013. augusztus 27., 21:02-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (1.4.6) Egy mozgó pont helyvektorának komponensei: \setbox0\hbox{$x=at^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$z=b-ct^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Határozzuk meg a pont pályáját, sebességét és gyorsulását, valamint azt az időtartamot, amely alatt a pont a pályának a koordináta-tengelyek közötti szakaszát megteszi. Legyen például: \setbox0\hbox{$a= 15 \,\mathrm{m/s^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$b=4 \,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$c=20 \,\mathrm{m/s^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Megoldás

  1. A tömegpont \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-irányban nem mozdul el, ezért a mozgás során végig az \setbox0\hbox{$xz$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-síkban halad. Az \setbox0\hbox{$x=at^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$z=b-ct^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenletek egyikéből kifejezve az időt, a másikba behelyettesítve meghatározhatjuk a tömegpont pályáját
    \[z=b-\frac{c}{a}x\,,\]
    amely egy egyenest ír le. A helykoordináták időfüggése alapján a pont sebességének komponensei az alábbiak szerint számolhatók ki.
    \[v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2at\]
    \[v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0\]
    \[v_{z}(t)=\frac{dz}{dt}=-2ct\]
    A gyorsulás pedig
    \[a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=2a\]
    \[a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0\]
    \[a_{z}(t)=\frac{dv_{z}}{dt}=-2c\]

    Az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tengelynél a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pillanatban van. A feladat szerint meg kell határoznunk, hogy ezután mennyi idő telik el, míg a tömegpont eléri a \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tengelyt, vagyis mikor lesz \setbox0\hbox{$z=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    \[z(T)=0\qquad\Rightarrow\qquad T=\sqrt{\frac{b}{c}}=\frac{1}{\sqrt{5}}s\]