Kinematika - 1.4.6

A Fizipedia wikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Bacsi (vitalap | szerkesztései) 2013. április 11., 08:43-kor történt szerkesztése után volt.

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Kinematika
Feladatok listája:
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. Egy mozgó pont helyvektorának komponensei: \setbox0\hbox{$x=at^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$y=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$z=b-ct^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Határozzuk meg a pont pályáját, sebességét és gyorsulását, valamint azt az időtartamot, amely alatt a pont a pályának a koordináta-tengelyek közötti szakaszát megteszi. Legyen például: \setbox0\hbox{$a= 15 \,\mathrm{m/s^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, \setbox0\hbox{$b=4 \,\mathrm{m}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$c=20 \,\mathrm{m/s^{2}}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.

Megoldás

  1. A tömegpont \setbox0\hbox{$y$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-irányban nem mozdul el, ezért a mozgás során végig az \setbox0\hbox{$xz$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-síkban halad. Az \setbox0\hbox{$x=at^2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$z=b-ct^{2}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egyenletek egyikéből kifejezve az időt, a másikba behelyettesítve meghatározhatjuk a tömegpont pályáját
    \[z=b-\frac{c}{a}x\,,\]
    amely egy egyenest ír le. A helykoordináták időfüggése alapján a pont sebességének komponensei az alábbiak szerint számolhatók ki.
    \[v_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=2at\]
\[v_{y}(t)=\frac{dy}{dt}=0\]
\[v_{z}(t)=\frac{dz}{dt}=-2ct\]
A gyorsulás pedig
\[a_{x}(t)=\frac{dv_{x}}{dt}=2a\]
\[a_{y}(t)=\frac{dv_{y}}{dt}=0\]
\[a_{z}(t)=\frac{dv_{z}}{dt}=-2c\]

Az \setbox0\hbox{$x$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tengelynél a \setbox0\hbox{$t=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% pillanatban van. A feladat szerint meg kell határoznunk, hogy ezután mennyi idő telik el, míg a tömegpont eléri a \setbox0\hbox{$z$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%-tengelyt, vagyis mikor lesz \setbox0\hbox{$z=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
\[z(T)=0\qquad\Rightarrow\qquad T=\sqrt{\frac{b}{c}}=\frac{1}{\sqrt{5}}s\]