„Kinematika - 1.4.7” változatai közötti eltérés

A Fizipedia wikiből
 
(3 szerkesztő 7 közbeeső változata nincs mutatva)
8. sor: 8. sor:
 
}}
 
}}
 
== Feladat ==
 
== Feladat ==
</noinclude><wlatex># (1.4.7) Egy síkban mozgó pontszerűnek tekinthető test sebességvektorát az alábbi összefüggés írja le: $\mathbf{v}(t)=A\sin(\omega t)\mathbf{i} + B\sin(\omega t+\varphi)\mathbf{j}$.
+
</noinclude><wlatex># (*1.4.7 alapján) Egy síkban mozgó pontszerűnek tekinthető test sebességvektorát az alábbi összefüggés írja le: $\mathbf{v}(t)=A\sin(\omega t)\mathbf{i} + B\sin(\omega t+\varphi)\mathbf{j}$.
 
#: a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a $t=0\,s$ időpontban a test az $\mathbf{r}_{0}=x_{0}\mathbf{i} + y_{0}\mathbf{j}$ koordinátájú pontban tartózkodott!
 
#: a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a $t=0\,s$ időpontban a test az $\mathbf{r}_{0}=x_{0}\mathbf{i} + y_{0}\mathbf{j}$ koordinátájú pontban tartózkodott!
 
#: b) Határozza meg a test gyorsulásvektorát az idő függvényében!
 
#: b) Határozza meg a test gyorsulásvektorát az idő függvényében!
#: c) Milyen pályán mozog a test?
+
#: c) Milyen pályán mozog a test, ha $\varphi=n\pi/2$ valamilyen $n$ egész számmal?
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A sebességet integrálva megkaphatjuk a tömegpont helyzetének időfüggését. Ügyeljünk a kezdeti feltételre.}}{{Végeredmény|content=a) $$\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}$$ b) $$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}$$ c) ellipszis}}</wlatex></includeonly><noinclude>
+
#: d) Amennyiben $\varphi = \pi / 2$, úgy adjuk meg a pálya görbületi sugarát a $t = 0$ időponthoz tartozó helyen.
 +
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Útmutatás|content=A sebességet integrálva megkaphatjuk a tömegpont helyzetének időfüggését. Ügyeljünk a kezdeti feltételre.}}{{Végeredmény|content=a) $$\mathbf{r}(t)=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}$$ b) $$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}$$ c) Ha $n$ páratlan, akkor ellipszis, ha páros, akkor egyenes. $$ \phantom{a} $$ d) $$R = \frac{B^2}{A \omega} $$}}</wlatex></includeonly><noinclude>
  
 
== Megoldás ==
 
== Megoldás ==
 
<wlatex>#: a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg. $$\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}$$
 
<wlatex>#: a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg. $$\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}$$
 
#: b) A gyorsulásvektor $$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.$$
 
#: b) A gyorsulásvektor $$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.$$
#: c) Vezessük be az $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ helyvektor komponensei helyett az $$X(t)=\frac{\omega}{A}\left(x(t)-x_{0}-\frac{A}{\omega}\right)\qquad \mbox{és}\qquad Y(t)=\frac{\omega}{B}\left(y(t)-y_{0}-\frac{B}{\omega}\cos\varphi\right)$$ változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolás és egy nyújtás kombinációjának felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapján $$X(t)=-\cos(\omega t) \qquad \mbox{és} \qquad Y(t)=-\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi\,.$$ Az egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csak $X(t)$ és $Y(t)$ hordozzák. $$X(t)^2-2X(t)Y(t)\cos\varphi+Y(t)^{2}=\sin^{2}\varphi$$ Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. Hogy pontosabban lássuk, hogy milyen pályáról van szó, vezesük be az $$U(t)=\frac{X(t)+Y(t)}{\sqrt{2}} \qquad \mbox{és} \qquad V(t)=\frac{X(t)-Y(t)}{\sqrt{2}}$$ változókat! Ez a transzformáció egy 45 fokos forgatásnak felel meg. Az új változókkal az $$U(t)^2(1-\cos\varphi)+V(t)^{2}(1+\cos\varphi)=\sin^{2}\varphi$$ egyenletre jutunk. Érdemes megvizsgálni az egyenletet különböző $\varphi$ értékek esetén. Ha $\sin\varphi=0$ (ez lehetséges $\varphi=n\pi$ esetén, ahol $n$ tetszőleges egész szám), akkor a pálya egyenlete egy egyenes menti harmonikus rezgőmozgást ír le. Ha $\cos\varphi=0$ (ez lehetséges $\varphi=n\pi+\pi/2$ esetén), akkor a pálya egyenlete egy körmozgást ír le. A visszatranszformálás során azonban a valódi térbeli mozgásra csak akkor kapunk körmozgást, ha $A=B$. Minden egyéb esetben a test pályája egy ellipszis.
+
#: c) Vezessük be az $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ helyvektor komponensei helyett az $$X(t)=x(t)-x_{0}-\frac{A}{\omega}\qquad \mbox{és}\qquad Y(t)=y(t)-y_{0}-\frac{B}{\omega}\cos\varphi$$ változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolásnak felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapján $$X(t)=-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t) \qquad \mbox{és} \qquad Y(t)=-\frac{B}{\omega}\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi\,.$$ Az egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csak $X(t)$ és $Y(t)$ hordozzák. $$\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)^2-2\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)\cos\varphi+\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)^2=\sin^{2}\varphi$$ Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. A feladatban csak a $\varphi=n\pi/2$ eseteket kell vizsgálni, ahol $n$ egy egész szám. Ha $n$ páros, akkor $\sin\varphi=0$ és $\cos\varphi=(-1)^n$, vagyis a pálya egyenlete $$X^2-2XY+Y^2=0\qquad\mbox{vagy}\qquad X^2+2XY+Y^2=0$$ alakban írható. Tovább alakítva $$X=Y\qquad\mbox{vagy}\qquad X=-Y$$ egyenletet kapunk, vagyis a pálya egyenlete egy egyenes menti harmonikus rezgőmozgást ír le. <br> Ha $n$ páratlan, akkor $\cos\varphi=0$ és $\sin\varphi$ a $\pm 1$ értékeket veheti fel, mindkét esetben $\sin^{2}\varphi=1$. A pálya egyenlete ekkor $$\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)^2+\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)^2=1$$ alakban írható. Amennyiben $A=B$, az egyenlet egy körmozgást ír le. Egyéb esetekben a test egy ellipszis pályán mozog.
 +
#: d) Ha $\varphi = \pi / 2$, úgy  a kezdeti sebességvektor $\vec{v}(0) = B \vec{j}$, a kezdeti gyorsulásvektor pedig $\vec{a}(0) = A \omega \vec{i}$. Ezek láthatóan merőlegesek egymásra, így a görbületi sugarat nagyon egyszerűen meg tudjuk adni: $$R = \frac{v^2}{|a|} = \frac{B^2}{A \omega}$$
 
</wlatex>
 
</wlatex>
 
</noinclude>
 
</noinclude>

A lap jelenlegi, 2016. szeptember 21., 09:52-kori változata

Navigáció Pt·1·2·3
Kísérleti fizika gyakorlat 1.
Gyakorlatok listája:
  1. Deriválás
  2. Integrálás
  3. Mozgástan
  4. Erőtan I.
  5. Erőtan II.
  6. Munka, energia
  7. Pontrendszerek
  8. Merev testek I.
  9. Merev testek II.
  10. Rugalmasság, folyadékok
  11. Rezgések I.
  12. Rezgések II.
  13. Hullámok
Mechanika - Mozgástan
Feladatok listája:
  1. Kinematika - 1.1.7
  2. Kinematika - 1.2.6
  3. Kinematika - 1.2.8
  4. Kinematika - 1.3.1
  5. Kinematika - Változó mozgás
  6. Kinematika - 1.3.8
  7. Kinematika - 1.4.6
  8. Kinematika - 1.4.7
  9. Kinematika - 1.4.10
  10. Kinematika - 1.4.17
  11. Kinematika - 1.4.18
  12. Kinematika - 1.4.20
  13. Kinematika - 1.4.23
  14. Kinematika - Ferde hajítás
© 2012-2013 BME-TTK, TÁMOP4.1.2.A/1-11/0064

Feladat

  1. (*1.4.7 alapján) Egy síkban mozgó pontszerűnek tekinthető test sebességvektorát az alábbi összefüggés írja le: \setbox0\hbox{$\mathbf{v}(t)=A\sin(\omega t)\mathbf{i} + B\sin(\omega t+\varphi)\mathbf{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%.
    a) Írja fel a tömegpont helyvektorát mint az idő függvényét, ha a \setbox0\hbox{$t=0\,s$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időpontban a test az \setbox0\hbox{$\mathbf{r}_{0}=x_{0}\mathbf{i} + y_{0}\mathbf{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% koordinátájú pontban tartózkodott!
    b) Határozza meg a test gyorsulásvektorát az idő függvényében!
    c) Milyen pályán mozog a test, ha \setbox0\hbox{$\varphi=n\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% valamilyen \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egész számmal?
    d) Amennyiben \setbox0\hbox{$\varphi = \pi / 2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, úgy adjuk meg a pálya görbületi sugarát a \setbox0\hbox{$t = 0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% időponthoz tartozó helyen.

Megoldás

  1. a) A tömegpont helyvektora az alábbiak szerint határozható meg.
    \[\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_{0}+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(t')dt'=\left(x_{0}+\frac{A}{\omega}-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t)\right)\mathbf{i} +\left( y_{0}+\frac{B}{\omega}\cos\varphi- \frac{B}{\omega}\cos(\omega t+\varphi)\right)\mathbf{j}\]
    b) A gyorsulásvektor
    \[\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=A\omega\cos(\omega t)\mathbf{i} + B\omega\cos(\omega t+\varphi)\mathbf{j}\,.\]
    c) Vezessük be az \setbox0\hbox{$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% helyvektor komponensei helyett az
    \[X(t)=x(t)-x_{0}-\frac{A}{\omega}\qquad \mbox{és}\qquad Y(t)=y(t)-y_{0}-\frac{B}{\omega}\cos\varphi\]
    változókat a rövidebb jelölés érdekében! Ez a transzformáció egy eltolásnak felel meg. A helyvektor komponenseinek időfüggése alapján
    \[X(t)=-\frac{A}{\omega}\cos(\omega t) \qquad \mbox{és} \qquad Y(t)=-\frac{B}{\omega}\cos(\omega t)\cos\varphi + \sin(\omega t)\sin\varphi\,.\]
    Az egyenletek átrendezhetők olyan formába, amelyben az időfüggést már csak \setbox0\hbox{$X(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$Y(t)$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% hordozzák.
    \[\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)^2-2\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)\cos\varphi+\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)^2=\sin^{2}\varphi\]
    Ez az egyenlet határozza meg a test pályáját. A feladatban csak a \setbox0\hbox{$\varphi=n\pi/2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% eseteket kell vizsgálni, ahol \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% egy egész szám. Ha \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% páros, akkor \setbox0\hbox{$\sin\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\cos\varphi=(-1)^n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, vagyis a pálya egyenlete
    \[X^2-2XY+Y^2=0\qquad\mbox{vagy}\qquad X^2+2XY+Y^2=0\]
    alakban írható. Tovább alakítva
    \[X=Y\qquad\mbox{vagy}\qquad X=-Y\]
    egyenletet kapunk, vagyis a pálya egyenlete egy egyenes menti harmonikus rezgőmozgást ír le.
    Ha \setbox0\hbox{$n$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% páratlan, akkor \setbox0\hbox{$\cos\varphi=0$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% és \setbox0\hbox{$\sin\varphi$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% a \setbox0\hbox{$\pm 1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0% értékeket veheti fel, mindkét esetben \setbox0\hbox{$\sin^{2}\varphi=1$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. A pálya egyenlete ekkor
    \[\left(\frac{\omega X(t)}{A}\right)^2+\left(\frac{\omega Y(t)}{B}\right)^2=1\]
    alakban írható. Amennyiben \setbox0\hbox{$A=B$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, az egyenlet egy körmozgást ír le. Egyéb esetekben a test egy ellipszis pályán mozog.
    d) Ha \setbox0\hbox{$\varphi = \pi / 2$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, úgy a kezdeti sebességvektor \setbox0\hbox{$\vec{v}(0) = B \vec{j}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%, a kezdeti gyorsulásvektor pedig \setbox0\hbox{$\vec{a}(0) = A \omega \vec{i}$}% \message{//depth:\the\dp0//}% \box0%. Ezek láthatóan merőlegesek egymásra, így a görbületi sugarat nagyon egyszerűen meg tudjuk adni:
    \[R = \frac{v^2}{|a|} = \frac{B^2}{A \omega}\]