https://fizipedia.bme.hu:80/index.php?title=Kinematika_-_Ferde_haj%C3%ADt%C3%A1s&feed=atom&action=history
Kinematika - Ferde hajítás - Laptörténet
2024-03-29T10:50:04Z
Az oldal laptörténete a wikiben
MediaWiki 1.21.1
https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Kinematika_-_Ferde_haj%C3%ADt%C3%A1s&diff=15099&oldid=prev
Werner, 2014. szeptember 23., 19:10-n
2014-09-23T19:10:47Z
<p></p>
<table class='diff diff-contentalign-left'>
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<col class='diff-marker' />
<col class='diff-content' />
<tr style='vertical-align: top;'>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">←Régebbi változat</td>
<td colspan='2' style="background-color: white; color:black; text-align: center;">A lap 2014. szeptember 23., 19:10-kori változata</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno">9. sor:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">9. sor:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== Feladat ==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== Feladat ==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></noinclude><wlatex>#  Egy testet vízszintes terepen, a felszínnel $\alpha = 30^{\circ}$-os szöget bezáróan, $v_0 = 40 m/s$ sebességgel lövünk ki. Milyen messzire csapódik be a test a talajba a kilövés helyétől? Milyen magasra jut el mozgása során? Mekkora a pályája görbületi sugara a kilövés helyén, ill. a pálya tetőpontján?($g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$)</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></noinclude><wlatex>#  Egy testet vízszintes terepen, a felszínnel $\alpha = 30^{\circ}$-os szöget bezáróan, $v_0 = 40 m/s$ sebességgel lövünk ki. Milyen messzire csapódik be a test a talajba a kilövés helyétől? Milyen magasra jut el mozgása során? Mekkora a pályája görbületi sugara a kilövés helyén, ill. a pálya tetőpontján?($g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$)</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= $$ d = \frac{2 v_0^2 \sin (\alpha) \cos (\alpha)}{g} = 141.3m$$ $$h = \frac{v_0^2 \sin^2 (\alpha)}{2 g} = 20.39m $$ $$R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha) = 188.3 m$$ $$R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g} = 122.3 m$$}}</wlatex></includeonly><noinclude></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color:black; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div></wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= $$ d = \frac{2 v_0^2 \sin (\alpha) \cos (\alpha)}{g} = 141.3m$$ $$h = \frac{v_0^2 \sin^2 (\alpha)}{2 g} = 20.39m $$ $$R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha)<ins class="diffchange diffchange-inline">} </ins>= 188.3 m$$ $$R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g} = 122.3 m$$}}</wlatex></includeonly><noinclude></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== Megoldás ==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>== Megoldás ==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><wlatex># A koordináta-rendszerünk origóját vegyük fel a kilövés helyén. A test gyorsulásvektora időben állandó, $$\vec{a} = (0,-g) \; .$$</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f9f9f9; color: #333333; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #e6e6e6; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><wlatex># A koordináta-rendszerünk origóját vegyük fel a kilövés helyén. A test gyorsulásvektora időben állandó, $$\vec{a} = (0,-g) \; .$$</div></td></tr>
</table>
Werner
https://fizipedia.bme.hu/index.php?title=Kinematika_-_Ferde_haj%C3%ADt%C3%A1s&diff=15098&oldid=prev
Werner: \
2014-09-23T19:09:05Z
<p>\</p>
<p><b>Új lap</b></p><div><noinclude><br />
[[Kategória:Kísérleti fizika gyakorlat 1.]]<br />
[[Kategória:Szerkesztő: Bácsi Ádám]]<br />
[[Kategória:Mechanika - Mozgástan]]<br />
{{Kísérleti fizika gyakorlat<br />
| tárgynév = Kísérleti fizika gyakorlat 1.<br />
| témakör = Mechanika - Mozgástan<br />
}}<br />
== Feladat ==<br />
</noinclude><wlatex># Egy testet vízszintes terepen, a felszínnel $\alpha = 30^{\circ}$-os szöget bezáróan, $v_0 = 40 m/s$ sebességgel lövünk ki. Milyen messzire csapódik be a test a talajba a kilövés helyétől? Milyen magasra jut el mozgása során? Mekkora a pályája görbületi sugara a kilövés helyén, ill. a pálya tetőpontján?($g=9,81\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}$)<br />
</wlatex><includeonly><wlatex>{{Végeredmény|content= $$ d = \frac{2 v_0^2 \sin (\alpha) \cos (\alpha)}{g} = 141.3m$$ $$h = \frac{v_0^2 \sin^2 (\alpha)}{2 g} = 20.39m $$ $$R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha) = 188.3 m$$ $$R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g} = 122.3 m$$}}</wlatex></includeonly><noinclude><br />
== Megoldás ==<br />
<wlatex># A koordináta-rendszerünk origóját vegyük fel a kilövés helyén. A test gyorsulásvektora időben állandó, $$\vec{a} = (0,-g) \; .$$<br />
Tudjuk, hogy $t = 0$ időpontban a test sebességvektora $\vec{v}(0) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha))$, ennek ismeretében a gyorsulás integrálásával,<br />
majd a kezdeti sebesség illesztésével megkapjuk a sebesség-idő függvényt:<br />
$$\vec{v}(t) = (v_0 \cos(\alpha), v_0 \sin(\alpha) - g t )$$.<br />
Ismételt integrálással, kihasználva, hogy az origót a kilövés helyén vettük fel, a test helyvektora:<br />
$$\vec{r}(t) = (v_0 \cos(\alpha) t, v_0 \sin(\alpha) t - \frac{g}{2} t^2) $$<br />
Akkor csapódik a test a földbe, amikor $y(t) = 0$ lesz ismét:<br />
$$v_0 \sin(\alpha) t_{cs} - \frac{g}{2} t_{cs}^2 = 0 $$<br />
Ebből a $t = 0$ megoldás a kilövés pillanatát jelzi. Nekünk a másik kell, ami $$t_{cs} = \frac{2 v_0 \sin(\alpha)}{g}$$<br />
A becsapódás távolságát úgy nyerjük, hogy ezt beírjuk az $x(t)$ kifejezésbe:<br />
$$d = v_0 \cos(\alpha) t_{cs} = \frac{2 v_0^2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{g}$$<br />
A maximális magasságot ott éri el a test, ahol $y'(t) = 0$, azaz<br />
$$v_0 \sin(\alpha) - g t_{max} = 0 \; ,$$<br />
amiből<br />
$$t_{max} = \frac{v_0 \sin(\alpha)}{g} \; .$$<br />
Beírva ezt az $y(t)$ függvénybe nyerjük a maximális magasságot:<br />
$$h = y(t_{max}) = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2 g}$$<br />
A kilövési pontban a sebesség nagysága $v_0$, a gyorsulásnak az erre merőleges komponense $g \cos(\alpha)$, ebből a görbületi sugár:<br />
$$R_{start} = \frac{v_0^2}{g \cos(\alpha)}$$<br />
A tetőponton a sebesség nagysága $v_0 \cos(\alpha)$, a gyorsulás pedig éppen merőleges rá. Ezért a görbületi sugár:<br />
$$R_{fent} = \frac{v_0^2 \cos^2(\alpha)}{g}$$ </wlatex><br />
</noinclude></div>
Werner